江苏省扬州市宝应中学高三上学期期中考试模拟数学试卷（二）

8540分1．已知集合M={x|－3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤－3或x≥1}＝(▲)A．M∩N B．M∪N C．CR(M∩N) D．CR(M∪N)2．设z＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），且z2＝－2i，则有(▲)A．a＋b＝－1 B．a－b＝－1 C．a－b＝0 D．a＋b3．已知cos(α＋eq\s\do1(\f(π,4)))＝eq\s\do1(\f(\r(,6),6))，则sin2α的值为(▲)A．eq\s\do1(\f(1,3)) B．eq\s\do1(\f(2,3)) C．eq\s\do1(\f(\r(,3),3)) D．eq\s\do1(\f(\r(,5),3))4．如图，己知函数f(x)的图像关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是(▲)A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xln|x| C．f(x)＝eq\s\do1(\f(e\o(,\d\fo()\s\up6(|x|)),x)) D．f(x)＝eq\s\do1(\f(ln|x|,x))5．设等边三角形△ABC的边长为1，平面内一点M满足eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\s\do1(\f(1,2))eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\s\do1(\f(1,3))eq\o(AC,\s\up8(→))，向量eq\o(AM,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))夹角的余弦值为(▲)A．eq\s\do1(\f(\r(,6),3)) B．eq\s\do1(\f(\r(,3),6)) C．eq\s\do1(\f(\r(,19),12)) D．eq\s\do1(\f(4\r(,19),19))6．若随机变量，且，则(▲)A．0.1587 B．0.3174 C．0.3413 D．0.7．若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为 (▲)A．[－4，0] B．(1，28] C．[－4，0)∪(1，28]D．[－4，0)∪(1，28)8．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是(▲)A．(，0)B．(，)C．(﹣3，)D．(0，1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若存在x0∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]，使得2xeq\o(\s\up1(2),0)－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取得值是(▲)A．eq\s\do1(\f(3,2)) B．2eq\r(2) C．3 D．eq\s\do1(\f(9,2))10．若，，且，则下列不等式恒成立的是(▲)A． B． C． D．11．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的的是(▲)A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数” C．正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“优美函数” D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形12．已知函数f（x）的定义域为，图像关于轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是(▲)A．B．C．D．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知，，，，，的夹角是135°，若⊥，则＝．14.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图）此时测得地面上树的影子长为米，坡面上树的影子长为米，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为，垂直于地面上的标杆在地面上的影子长为米（如图），则树的高度为米.16．已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝．（1）求角B；（2）求△ABC的面积．18．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合．19．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离.20．（本小题满分12分）已知函数，且的解集为[﹣1，2]．（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式(m≥0)；（3）设，若对于任意，[﹣2，1]都有，求M的最小值．21．华为的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频，同时它的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了，科研人员曾就是否需采取用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的片芯片有片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的片芯片中有片线程结构有很大的改善.（1）完善列联表判断：这次实验是否有的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关？（2）在“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程，如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为，每个环节出错需要修复的费用均为元，第四个环节生产正常的概率为，此环节出错需要修复的费用为元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：参考数据：22．（本小题满分12分）设函数(aR)，，．（1）讨论函数的单调性；（2）若（其中），证明：；（3）是否存在实数a，使得在区间(0，)内恒成立，且关于x的方程在(0，)内有唯一解？请说明理由．8540分1．已知集合M={x|－3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤－3或x≥1}＝(▲)A．M∩N B．M∪N C．CR(M∩N) D．CR(M∪N)答案：C解析：因为集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|x≤3}，所以M∩N＝{x|－3＜x＜1}，M∪N={x|x≤3}，则CR（M∩N）={x|x≤－3或x≥1}，CR（M∪N）={x|x＞3}．2．设z＝a＋bi（a，b∈R，i是虚数单位），且z2＝－2i，则有(▲)A．a＋b＝－1 B．a－b＝－1 C．a－b＝0 D．a＋b答案：D解析：因为z2＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi＝－2i，所以a2－b2＝0，2ab＝－2，解得eq\b\lc\{(\a\ac\co1\hs2\vs2(a＝1,b＝－1))或eq\b\lc\{(\a\ac\co1\hs2\vs2(a＝－1,b＝1))，所以a＋b＝0，故选D．3．已知cos(α＋eq\s\do1(\f(π,4)))＝eq\s\do1(\f(\r(,6),6))，则sin2α的值为(▲)A．eq\s\do1(\f(1,3)) B．eq\s\do1(\f(2,3)) C．eq\s\do1(\f(\r(,3),3)) D．eq\s\do1(\f(\r(,5),3))答案：B解析：因为cos2(α＋eq\s\do1(\f(π,4)))＝eq\s\do1(\f(1＋cos(2α＋\s\do1(\f(π,2))),2))＝eq\s\do1(\f(1－sin2α,2))＝eq\s\do1(\f(1,6))，所以sin2α＝eq\s\do1(\f(2,3))．4．如图，己知函数f(x)的图像关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是(▲)A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xln|x| C．f(x)＝eq\s\do1(\f(e\o(,\d\fo()\s\up6(|x|)),x)) D．f(x)＝eq\s\do1(\f(ln|x|,x))答案：D解析：根据f(x)关于原点对称可知该函数为奇函数，对于A选项f(－x)＝x2ln|x|＝f(x)，为偶函数，不符合；对于B选项趋于0或趋于无穷的极限不对；对于C选项当x>0的时候，f(x)＞0恒成立不符合该函数图像，故错误；对于D选项，f(－x)＝eq\s\do1(\f(ln|x|,－x))＝－f(x)，符合判定，故选D．5．设等边三角形△ABC的边长为1，平面内一点M满足eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\s\do1(\f(1,2))eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\s\do1(\f(1,3))eq\o(AC,\s\up8(→))，向量eq\o(AM,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))夹角的余弦值为(▲)A．eq\s\do1(\f(\r(,6),3)) B．eq\s\do1(\f(\r(,3),6)) C．eq\s\do1(\f(\r(,19),12)) D．eq\s\do1(\f(4\r(,19),19))答案：D解析：|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝eq\s\do1(\f(19,36))，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\s\do1(\f(\r(,19),6))，对eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\s\do1(\f(1,2))eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\s\do1(\f(1,3))eq\o(AC,\s\up8(→))两边用eq\o(AB,\s\up8(→))点乘，eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\s\do1(\f(2,3))，与eq\o(AB,\s\up8(→))夹角的余弦值为eq\s\do1(\f(4\r(,19),19))．6．若随机变量，且，则(▲)A．0.1587 B．0.3174 C．0.3413 D．0.6．【答案】A解：随机变量，∴正态分布的对称轴为又，∴∴选A．7．若关于x的方程2x3－3x2＋a＝0在区间[－2，2]上仅有一个实根，则实数a的取值范围为 (▲)A．[－4，0] B．(1，28] C．[－4，0)∪(1，28] D．[－4，0)∪(1，28)答案：C解析：设f(x)＝2x3－3x2＋a，可得f'(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，x∈[－2，2]，令f'(x)≥0，可得－2≤x≤0，1≤x≤2，令f'(x)＜0，可得0≤x≤1，可得函数递增区间为[－2，0)，(1，2]，递减区间为(0，1)，由函数在区间[－2，2]上仅有一个零点，f(－2)＝a－28，f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋4，若f(0)＝a＝0，则f(x)＝x2(2x－3)，显然不符合题意，故f(0)≠0，所以eq\b\lc\{(\a\ac\co1\hs2\vs2(f(－2)＝a－28≤0,f(0)＝a＞0,f(1)＝a－1＞0))或eq\b\lc\{(\a\ac\co1\hs2\vs2(f(0)＝a＜0,f(2)＝a＋4≥0))，可得1＜a≤28或－4≤a＜0．8．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是(▲)A．(，0)B．(，)C．(﹣3，)D．(0，1)8．C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．若存在x0∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]，使得2xeq\o(\s\up1(2),0)－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ可能取得值是(▲)A．eq\s\do1(\f(3,2)) B．2eq\r(2) C．3 D．eq\s\do1(\f(9,2))答案：AB解析：因为若“∃x0∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]，使得2xeq\o(\s\up1(2),0)－λx0＋1＜0成立”是假命题，即“∃x0∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]，使得λ＞2x0＋eq\s\do1(\f(1,x0))成立”是假命题，即等价于“x∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]，使得λ≤2x+eq\s\do1(\f(1,x))成立”是真命题，令f（x）=2x+eq\s\do1(\f(1,x))，x∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]，易知当x∈[eq\s\do1(\f(1,2))，2]时，f（x）在[eq\s\do1(\f(1,2))，eq\s\do1(\f(\r(,2),2))]上单调递减，在(eq\s\do1(\f(\r(,2),2))，2]上单调递增，所以当x=eq\s\do1(\f(\r(,2),2))时，函数f（x）取最小值，即f(x)min＝f(eq\s\do1(\f(\r(,2),2)))＝2eq\r(,2)，所以λ≤f(x)min＝2eq\r(,2)．故实数λ的取值范围为（－∞，2eq\r(,2)]．10．若，，且，则下列不等式恒成立的是(▲)CD．A． B． C． D．11．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的的是(▲)A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数” C．正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“优美函数” D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形ABC12．已知函数f（x）的定义域为，图像关于轴对称，导函数为，且当时，，设，则下列大小关系正确的是(▲)A．B．C．D．AD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．已知，，，，，的夹角是135°，若⊥，则＝．13．14.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14.2eq\r(3)15．小明拟测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图）此时测得地面上树的影子长为米，坡面上树的影子长为米，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为，垂直于地面上的标杆在地面上的影子长为米（如图），则树的高度为米.15.；16．已知函数.若函数在区间内没有零点，则的取值范围是.16,，,函数在区间内没有零点(1)，则，则，取，；（2），则，解得：，取，；综上可知：的取值范围是，四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在①b2+ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB＝2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，A＝，b＝．（1）求角B；（2）求△ABC的面积．17．【解答】解：（1）若选①b2+ac＝a2+c2，由余弦定理可得，cosB＝＝，故B＝，若选②acosB＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosB＝bsinBinA，因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，即tanB＝，因为B为三角形的内角，故B＝，③由sinB+cosB＝2可得2sin（B+）＝2，所以sin（B+）＝1，因为B为三角形的内角，故B＝；（2）由正弦定理可得，，所以a＝＝，所以S△ABC＝＝＝．18．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的最小值及取最小值时的的集合．18．【解答】解：f（x）＝cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x＝cos2x﹣sin2x﹣sin2x＝cos2x﹣sin2x＝，（1）令，解可得，，k∈Z，故函数的单调递增区间[]，k∈Z，（2）∵，∴，∴当＝π即x＝时，函数取得最小值﹣．故f（x）在上的最小值及取最小值时的x的集合{}19．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点.（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离.【解析】（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，在中，；（3）∵，∴.20．（本小题满分12分）已知函数，且的解集为[﹣1，2]．（1）求函数的解析式；（2）解关于x的不等式(m≥0)；（3）设，若对于