高考数学一轮复习训练第9章第1讲直线的方程

第九章第1讲[A级基础达标]1．直线eq\r(3)x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30° B．60°C．120° D．150°【答案】B2．(2019年阿克苏期末)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k3＜k2＜k1 B．k2＜k3＜k1C．k1＜k2＜k3 D．k2＜k1＜k3【答案】A3．(2019年扬州期中)若直线过点(eq\r(3)，－3)和点(0，－4)，则该直线的方程为()A．y＝eq\f(\r(3),3)x－4 B．y＝eq\f(\r(3),3)x＋4C．y＝eq\r(3)x－6 D．y＝eq\f(\r(3),3)x＋2【答案】A4．(2019年滁州期末)直线y＝2x＋1在x轴上的截距为()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－1 D．1【答案】A5．(2020年福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()【答案】B【解析】当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合．6．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．【答案】x＋13y＋5＝0【解析】BC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，所以BC边上中线所在直线方程为eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.7．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．【答案】(2，－2)【解析】直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,－2x＋y＋6＝0))解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)．8．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．【答案】[－2,2]【解析】b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．所以b的取值范围是[－2,2]．9．若经过两点A(4,2m＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2020＝0的倾斜角的一半，则m的值为________【答案】－eq\f(3,2)【解析】因为直线4x－3y＋2020＝0的斜率为eq\f(4,3)，所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2020＝0的倾斜角α满足tanα＝eq\f(4,3)，因为α∈[0，π)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(4,3)，解得taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2).由已知及倾斜角与斜率的关系得eq\f(2m＋1＋3,4－2)＝eq\f(1,2)，所以m＝－eq\f(3,2).[B级能力提升]10．(2020年孝感模拟)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l方程为－kx＋y＋k－1＝0，且与线段AB相交，则k的取值范围为()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B．k≥eq\f(3,4)或k≤eq\f(1,4)C．－4≤k≤eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)≤k≤4【答案】A【解析】直线l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化为y－1＝k(x－1)，所以直线l过定点P(1,1)，且斜率为k.如图所示，则直线PA的斜率是kPA＝eq\f(－3－1,2－1)＝－4，直线PB的斜率是kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥eq\f(3,4).11．(2020年东北三省四校调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) B．[－1,0]C．[0,1] D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【答案】A【解析】由题意知，y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq\f(1,2).12．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))【解析】设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y)．则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2,4)，B(3,2)，设直线l的斜率为k.又kOA＝2，kOB＝eq\f(2,3).如图所示，可知eq\f(2,3)≤k≤2.所以直线l的斜率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).13．如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝eq\f(1,2)x上时，求直线AB的方程.解：由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x.设A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).由点C在直线y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三点共线得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直线AB的方程为(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.[C级创新突破]14．(多选)下列四个命题中，错误的有()A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π]C．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αD．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα【答案】ABCD【解析】对于A，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，所以A错误；对于B，直线倾斜角的取值范围是[0，π)，所以B错误；对于C，一条直线的斜率为tanα，此直线的倾斜角不一定为α，如y＝x的斜率为taneq\f(5π,4)，它的倾斜角为eq\f(π,4)，所以C错误；对于D，一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tanα或不存在，D错误．15．(一题两空)(2020年温州模拟)已知直线l：(m2＋1)x－2y＋