专题14解析几何中的轨迹与方程（解密讲义）（原卷版）

专题14解析几何中的轨迹与方程（解密讲义）【知识梳理】【考点1】直线与圆1.直线的方程及应用（1）直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线（2）两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．（3）求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．（4）两个距离公式两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).2.圆的方程及应用（1）圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.（2）圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．（3）点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.3.直线与圆、圆与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.（2）圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：d>r1＋r2⇔两圆外离；d＝r1＋r2⇔两圆外切；|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．方法技巧：1、求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；2、对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．3、解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【考点2】曲线方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b24．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下方法技巧：1、准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．2、求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．3、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．考点命题点考题直线与圆=1\*GB3①直线的方程=2\*GB3②圆的方程2023北京卷T15，2023新课标I卷T62022新高考II卷T15，2022全国甲卷（文）T142022新高考II卷T3，2022新高考II卷T10曲线方程=1\*GB3①椭圆、双曲线和抛物线的方程=2\*GB3②求轨迹方程2023北京卷T12，2023北京卷T62023全国甲卷（文）T7，2023全国甲卷（理）T8，2023全国甲卷（理）T12，2023全国乙卷（理）T11，考点一直线与圆命题点1直线的方程典例01（2021·全国·统考高考真题）抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2，则p=（A．1 B．2 C．22 D．典例02（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA',BB',CC',DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD1,CC1,BB1A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9典例03（2020·山东·统考高考真题）已知直线l:y=xsinθ+cosθ的图像如图所示，则角A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角命题点2圆的方程典例01（2023·全国·统考高考真题）已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0A．1+322 B．4 C．1+3典例02（2023·全国·统考高考真题）已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-12+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为8典例03（2022·天津·统考高考真题）若直线x-y+m=0m>0与圆x-12+y-12=31．在平面直角坐标系内，A1,0，B2,0，动点C在直线y=x上，若圆M过A，B，C三点，则圆M面积的最小值为（A．π2 B．π4 C．π D2．已知圆C：x2+y2-4y+3=0，一条光线从点PA．圆C关于x轴的对称圆的方程为xB．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则PBD．若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CNM面积的最大值为13．（多选）设动直线l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C:(x-4)2+(y-5)2=12于A．直线l过定点(2,3) B．当|AB|取得最大值时，m=1C．当∠ACB最小时，其余弦值为14 D．AB⋅考点二曲线方程命题点1椭圆、双曲线和抛物线的方程典例01（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线y2=45x,F1,F2分别是双曲线xA．x210-C．x2-y典例02（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p>0)于点典例03（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为．典例04（2023·全国·统考高考真题）已知点A1,5在抛物线C：y2=2px上，则A到命题点2求轨迹方程典例01（2021·浙江·统考高考真题）已知a,b∈R,ab>0，函数fx=ax2+b(x∈RA．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线典例02（2020·全国·统考高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若AC⋅BC=1，则点A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线典例03（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0,12的距离，记动点P的轨迹为(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于331．已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,-3，记P的轨迹为E，则（A．E是一个半径为5的圆 B．E是一条与l相交的直线C．E上的点到l的距离均为5 D．E是两条平行直线2．已知A1,A2是椭圆C:x24+y23=1的长轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点Q与点A．双曲线 B．抛物线C．椭圆 D．两条互相垂直的直线3．已知抛物线C1:y2=-2px(p>0)的焦点与椭圆C2:x2a2+yA．33 B．22 C．2-14．过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于Ax1,2p，A．1 B．2 C．3 D．4AA·新题速递1．（2024·全国·模拟预测）过直线y=x上一点M作圆C：x-22+y2=1的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点1,3A．5x-y-2=0 B．x-5y+14=0C．5x+y-8=0 D．x+5y-16=02．（2023·山东聊城·统考三模）已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+yA．3 B．1 C．49 D．3．（2024·吉林白山·统考一模）“-1≤b<1”是“方程1-x2=x+b有唯一实根”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件4．（2024·广东汕头·汕头市潮阳实验学校校考二模）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N为线段BD1上的两个三等分点，动点A．23π3 B．3π6 C5．（2024·全国·模拟预测）已知F是抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，P是抛物线上的一个动点．若Q3,1为抛物线内部一点，且△PQF周长的最小值为4+A．x=-12 BC．y=-12 D6．（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知F1，F2分别是椭圆C:x29+y24=1的左、右焦点，P是椭圆A．2 B．12 C．55 D7．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，A-p2,0，B是以FA为半径的圆F与抛物线A．直线BF⊥x轴 B．直线AB与抛物线C相切C．PA⋅PB≥08．（多选）（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知I1:xA．与I1,B．与I1,C．向I1D．向I1引两切线的夹角与向I9．（多选）（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知曲线C:x2m-1+y2m=1是顶点分别为A,B的双曲线，点A．0<m<1B．C的焦点为1,0C．C的渐近线可能互相垂直D．当m=12时，直线MA,MB10．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）与直线y=33x和直线y=3x11．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点A12,0，A2-2,0，P为平面内一动点，记直线PA1的斜率为k，直线PA2的斜率为k(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线MA1，的斜率为k3，直线NA2的斜率为k12．（2019·上海杨浦·上海市控江中学校考三模）设抛物线Γ的方程为y2=2px，其中常数p>0，F是抛物线(1)若直线x=3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；(2)设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求|PA||PF|(3)设p=2,l1、l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A,B,l2与抛物线Γ交于点C,DBB·易错提升1．在直角坐标系xOy内，圆C:(x-2)2+(y-2)2=1，若直线l:x+y+m=0绕原点O顺时针旋转90∘A．-2,2C．-2-2,-2+22．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，过F作圆x2+y2=A．33 B．53 C．633．若点P既在直线l:x-y+2=0上，又在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的左、右焦点分别为F