河北省沧州盐山中学2018-2019高二下学期期中考试数学（理）试卷

20182019学年下学期期中考试试卷高二理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）复数的虚部是（）A.i B.1 C.i D.1在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是

A. B.

C. D.（）聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则A.7 B.35 C.48 D.63用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数的实部是2，所以复数z的虚部是3i”对于这段推理，下列说法正确的是

A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误

C.推理形式错误导致结论错误 D.推理没有问题，结论正确用反证法证明命题：“a，b，c，，，，且，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为A.a，b，c，d全都大于等于0 B.a，b，c，d全为正数

C.a，b，c，d中至少有一个正数 D.a，b，c，d中至多有一个负数从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（）A.48 B.72 C.90 D.962017年离考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是（）A. B. C. D.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.A. B.7 C. D.28事件A，B相互独立，它们都不发生的概率为，且，则=（）A. B. C. D.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（）A. B. C. D.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A.28 B.49 C.56 D.85已知（12x）2017=a0+a1（x1）+a2（x1）2+…+a2016（x1）2016+a2017（x1）2017（x∈R），则a12a2+3a34a4+…2016a2016+2017a2017=（）A.2017 B.4034 C.4034 D.0请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）设随机变量X～B（3，），随机变量Y＝2X＋1，则Y的方差D（Y）＝________．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为_________某学校组织的数学竞赛中，学生的成绩服从正态分布，且，则式子的最小值为

．将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:(x2+x+1)0=1,(x2+x+1)1=x2+x+1,(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1,……观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其构造方法:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有2k+1个数,若(x2+x+1)5(1+ax)的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为____.

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）(10)当实数a为何值时z=a22a+（a23a+2）i．

（1）为纯虚数；

（2）为实数；

（3）对应的点在第一象限．18.(12)

观察下列式子：（Ⅰ）由此猜想一个一般性的结论；（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.19.(12)设过原点O的直线与圆（x4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；

（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．

20.(12)2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：城市品牌ⅠⅡⅢⅣⅤ甲品牌（百万）438612乙品牌（百万）57943（Ⅰ）如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？（Ⅱ）如果不考虑其他因素，为拓展市场，甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传．（ⅰ）在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率；（ⅱ）以Ｘ表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．下面临界值表供参考：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，n＝a+b+c+d．

21.(12)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．

22.(12)随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？

答案和解析1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.D8.B9.C10.A11.B

12.C

【解析】解：∵（12x）2017=a0+a1（x1）+a2（x1）2+…+a2016（x1）2016+a2017（x1）2017（x∈R），

∴2×2017（12x）2016=a1+2a2（x1）+…+2017a2017（x1）2016，

令x=0，则4034=a12a2+3a34a4+…2016a2016+2017a2017，

故选：C．

对（12x）2017=a0+a1（x1）+a2（x1）2+…+a2016（x1）2016+a2017（x1）2017（x∈R），两边求导，取x=0即可得出．

本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】14.【答案】15.【答案】18

16.【答案】1

【解答】

根据题意可得广义杨辉三角第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,

故(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为30+45a=75,得a=1.

故答案为1.17.【答案】解：（1）复数z是纯虚数，则由，得，即a=0．

（2）若复数z是实数，则a23a+2=0，得a=1或a=2．

（3）在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，

则，

即，解得a＜0或a＞2．

【解析】18.【答案】（Ⅰ）解：∵1+＜，1+＜，1++＜，∴一般性结论：1++…+＜;

（Ⅱ）证明:①时，左右，猜想成立；②假设时猜想成立，即则当时，即时，猜想也成立.综上:由①②可知，猜想成立.

【解析】本题考查归纳推理及用放缩法和数学归纳法证明不等式.

（Ⅰ）根据题意可猜想出1++…+＜;

（Ⅱ）用数学归纳法，放缩法即可证明.19.【答案】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ）

又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ

∴2ρ=8cosθ，

化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z．

（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为

点（2，0）到直线的距离为：，

∴△OAB面积的最大值．

【解析】

（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），由点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ，能求出点M的轨迹C的极坐标方程．

（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为，点（2，0）到直线的距离为：，由此能求出△OAB面积的最大值．

本题考查点的轨迹的极坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意列出2×2列联表如下：优质城市单车品牌优质城市非优质城市合计甲品牌（个）325乙品牌（个）235合计5510所以,

所以没有85%的理由认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关;

（Ⅱ）(i)令事件C为“

城市

Ⅰ被选中”；事件D为"城市

Ⅱ被选中”，

则,

所以;

(ii)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，

故X的分布列为：X123P∴数学期望.

【解析】本题考查独立性检验的应用及超几何分布,分布列和数学期望及条件概率．

(Ⅰ)根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，即可得结论;

(Ⅱ)(i)由条件概率公式求解即可;(ii)由题意求得X的取值1，2，3，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．

21.【答案】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．

∴曲线C的左焦点F的坐标为．

∵在直线l上，

∴直线l的参数方程为（t为参数）．

将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t22t2=0，

∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．

（2）由曲线C的方程为＋＝1，

可设曲线C上的动点P(2cosθ，2sinθ)，

则以P为顶点的内接矩形周长为:

4×(2cosθ＋2sinθ)＝16sin，

因此该内接矩形周长的最大值为16.

【解析】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．

（1）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；

（2）可设曲线C上的动点P(2cosθ，2sinθ)，则以P为顶点的内接矩形周长为:4×(2cosθ＋2sinθ)＝16sin​，求出此函数的最大值．22.【答案】解：（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f==，

故可估计概率为，

显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布，

即X～B，故所求概率为=；

（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）（0，1](1,2](2,3](3,4](4,5]快递费（单位：元）1015202530包裹件数43301584故样本中每件快递收取的费用的平均值为：=15，

故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．

②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），

若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：

包裹件数范围

0～100101～200

201～300

301～400

401～500

包裹件数（近似处理）

50

150

250

350

450

实际揽件数

50

150

250

350

450

频率

0.1

0.1

0.5

0.2

0.1

EY

50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为26