6.4.3.3正弦定理和余弦定理及其应用（原题版）

6.4.3.3正弦定理和余弦定理及其应用掌握正弦定理、余弦定理及其变形.理解三角形的面积公式并能应用能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的解三角形问题．灵活运用正、余弦定理进行边、角关系的相互转化.知识点一正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝；b2＝；c2＝变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知识点二三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．知识点三三角形中常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).考点一利用正、余弦定理解三角形例1．（2024·全国·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（

）A．1 B． C．2 D．【对点演练1】（2024·全国·高一假期作业）已知的外接圆半径为2，且内角满足，，则（

）A． B． C． D．【对点演练2】（2024·全国·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（

）A． B． C． D．考点二利用正、余弦定理判断三角形形状例2（2023年山东滨州期中）在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【对点演练1】（2024·全国·高三专题练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（

）A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【对点演练2】（2024·全国·高三专题练习）若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形考点三三角形的周长与面积问题例3（2023年高考全国甲卷）记内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．【对点演练1】(2022高考浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．【对点演练2】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．考点四三角形中的最值、范围问题例4．（2024·全国·高一假期作业）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【对点演练】已知的内角的对边分别为，且.(1)求边长和角A；(2)求的周长的取值范围.例5中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（

）A． B． C．8 D．【对点演练】在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.例6（2024·全国·高三专题练习）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．【对点演练】（2024上内蒙古赤峰统考开学）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是.一、单选题1．中，，则b等于（

）A． B． C． D．2．（2024·四川内江·统考一模）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形3．（2024·全国·高一假期作业）在中角A、B、C所对边a、b、c满足，，，则（

）.A．4 B．5 C．6 D．6或4．（2024·全国·高一假期作业）如图，在中，，，D是BC的中点，E是线段AC上的点，且，，则（

）A． B． C．2 D．5．（2024·全国·高三专题练习）在中，，则（

）A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角6．（2024·全国·高一假期作业）已知钝角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．若边上中线长为，，求的面积（

）A． B．C．或 D．7．（2024·全国·高一假期作业）在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（2024·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A． B． C． D．1多选题9.（2024上·河北·高三张北县第一中学校联考阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（

）A．满足条件的不可能是直角三角形B．面积的最大值为C．当时，的内切圆的半径为D．若为锐角三角形，则10．（2024上·云南·高三云南省下关第一中学校联考阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，且，则的最大值为C．若，，，则符合条件的有两个D．若，则是锐角三角形11．（2024·全国·高一假期作业）设的内角的对边分别为，，，下列结论正确的是（

）A．若，则满足条件的三角形只有1个B．面积的最大值为C．周长的最大值为D．若为锐角三角形，则的取值范围是12．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）如图，的内角，所对的边分别为．若，且，是外一点，，则下列说法．正确的是（

）A．是等边三角形B．若，则四点共圆C．四边形面积最小值为D．四边形面积最大值为填空题13．（2024·全国·高一假期作业）在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则．15．（2024·全国·高二竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是．16．（2024·全国·模拟预测）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的面积S的取值范围为．四、解答题17．（2024·全国·高一假期作业）已知锐角内角及对边，满足.(1)求的大小；(2)