四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期12月教学质量检测数学试题

三台中学高2022级高二上期12月教学质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】将直线方程化为斜截式方程得直线斜率为，进而得倾斜角是120°.【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得：，所以直线的斜率为，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角是120°.故选：C.2.空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：指数值0~5051~100101~150151~200201~300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下：下列叙述正确的是（）A.这20天中的中位数略大于150B.10月4日到10月11日，空气质量越来越好C.这20天中的空气质量为优的天数占25%D.10月上旬的极差大于中旬的极差【答案】C【解析】【分析】利用折线图中数据信息以及变换趋势，对选项一一分析判断即可.【详解】对于A，由折线图知100以上有10个，100以下有10个，中位数是100两边最近的两个数的均值，观察这两个数，比100大的数离100远点，因此两者均值大于100但小于150，故A错误；对于B，由折线图知10月4日到10月11日，越来越大，则空气质量越来越差，故B错误；对于C，由折线图知小于50有5天，则20天中的空气质量为优的天数占25%，故C正确；对于D，由折线图知10月上旬的最小值与中旬的最小值差不多，但10月上旬的最大值比中旬的最大值小的多，则10月上旬的极差小于中旬的极差，故D错误；故选：C.3.向量，，，若，，共面，则等于（）A.0 B.1 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合空间向量共面定理，即可求解.【详解】根据题意，由向量，，，，，共面，得，，，即，解得．故选：A．4.已知是双曲线的右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用几何特征及双曲线的性质计算即可.【详解】易知是直角三角形，双曲线的渐近线方程为，设，由可知，所以.故选：A5.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】列举出5条线段中任取3条的所有基本事件，求出构成三角形的基本事件的个数，由古典概型求概率的公式求解即可.【详解】从5条线段中任取3条的所有基本事件有10个，即，其中能构成三角形的基本事件有3个，即，故所求概率.故选：A.6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点关于直线对称点，找出最短路程.【详解】先找出B关于直线的对称点C再连接AC即为“将军饮马”的最短路程.如图所示，设点关于直线的对称点为，在直线上取点P，连接PC，则．由题意可得，解得，即点，所以，当且仅当A，P，C三点共线时等号成立，所以“将军饮马”的最短总路程为．故选：A．7.当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】确定曲线为圆的下半部分，确定直线的定点，根据直线与半圆相切时得到斜率，再计算，结合图像得到答案.【详解】，即，，是圆的下半部分，直线过定点，且，，画出图像，如图所示：当直线与半圆相切且斜率存在时，圆心到直线的距离，解得，，根据图像知：.故选：C8.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值.【详解】如图，M为椭圆C上任意一点，则，又因为N为圆E：上任意一点，，当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．由题意知，，，则，所以的最小值为.故选：B．【点睛】求最值时，可以利用定点，和E，当M、N、E、共线且M、N在E、之间时最短，等于.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一组数据从小到大为5，6，7，8，，11，若这组数据的平均数是8，则（）A. B.极差为6 C.40%分位数为7 D.方差为5【答案】BC【解析】【分析】根据数据的平均数、极差、百分位数、方差的概念逐项求解判断即可.【详解】由题得，所以，所以A错误；根据定义极差为，所以B正确；因为，40%分位数为7，所以C正确；根据方差公式，方差为，所以D错误.故选：BC．10.若方程所表示曲线为，则下面四个说法中错误的是（）A.若，则为椭圆B.若为椭圆，且焦点在轴上，则C.曲线可能是圆D.若为双曲线，则【答案】AD【解析】【分析】利用二元二次函数与圆锥曲线的关系数，逐一分析判断各选项即可.【详解】因为方程所表示的曲线为，AC.当，取时，方程为，表示圆，故A错误，C正确；B.若为椭圆，且焦点在y轴上，则，即，故B正确；D.若为双曲线，可得，解得或，故D错误.故选：AD.11.如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（）A. B.异面直线，所成角为C.点到直线距离为 D.的面积是【答案】ACD【解析】【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可.【详解】因为四边形，都是正方形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，则，所以，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，又，分别是线段，的中点，所以，，所以，，又，不共线，所以，故A正确；，，设异面直线，所成角为，则，又，所以，即异面直线，所成角为，故B错误；由，，得，所以点到直线的距离为，故C正确；因为，所以到的距离即为到的距离，所以的面积，故D正确．故选：ACD．12.我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线：是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴的上端点为，左焦点为，离心率为，则（）A. B.顶点到渐近线的距离为C. D.的外接圆的面积为【答案】ACD【解析】【分析】根据离心率求出，利用双曲线的性质结合选项逐个判定即可.【详解】因为，所以，解得；对于A，，A正确；对于B，渐近线的方程为，右顶点到渐近线的距离为，B不正确；对于C，设双曲线的焦距为，由得，，因为，所以，C正确；对于D，由可知，的外接圆的半径为，所以面积为，D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答卷中的横线上.13.若：与：是两条平行的直线，则实数______.【答案】1【解析】【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求出的值．【详解】若：与：是两条平行的直线，则，解得，或，当时，：，：，即，可得两直线重合，不符合题意，舍去，当时，：，：，满足题意，所以实数.故答案为：.14.如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．【答案】##0.4375【解析】【分析】电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，由此求解即可【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，所以电路能正常工作的概率为，故答案为：15.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，，则截口所在椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】取焦点在轴建立平面直角坐标系，由题意及椭圆性质有为椭圆通径，得，结合及解出代入离心率公式计算即可.【详解】解：取焦点在轴建立平面直角坐标系，由及椭圆性质可得，为椭圆通径，所以，又，解得所以截口所在椭圆的离心率为故答案为：【点睛】求椭圆的离心率或其范围的方法：（1）求的值，由直接求；（2）列出含有的齐次方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解．16.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则__________．【答案】3【解析】【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可.【详解】如图，的焦点为，由拋物线的定义，知，又，所以是等边三角形，所以，，直线的方程为，设，，联立方程得，所以，．由，得，解得．故答案为：3四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a、b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的第60百分位数（精确到0.1）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中频率的计算方法及性质，列出方程，即可求解；（2）根据频率分布直方图中百分位数的计算方法，即可求解.【小问1详解】解：由题意，因为第三、四、五组的频率之和为，可得，解得，所以前两组的频率之和为，即，所以.【小问2详解】解：由前两个分组频率之和为，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，设第60百分位数为x，则，解得，故第60百分位数为．18.某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：次序（）123456甲（秒）142140139138141140乙（秒）138142137139143141（1）分别计算甲、乙两人这六次训练平均成绩，偏优均差；（2）若，则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有两次甲、乙水平相当的概率．注：若数据中的最优数据为，定义为偏优均差．本题中的最优数据即最短时间．【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根据题意及表中所给数据计算平均成绩，偏优均差即可；（2）列出满足条件的基本事件总数，找出满足条件的基本事件数，利用古典概型求解即可.【小问1详解】由题可知，，，，．【小问2详解】六次训练中只有第4，6次甲、乙水平相当，从六次中任选三次的结果有，，共20种，其中有两次甲、乙水平相当的结果有4种，故所求概率．19.已知直三棱柱中，D为的中点．（1）从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；①；②；③．（2）若，，，求直线与平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质，根据不同的选择，即可证明；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出长度，利用，求得，再求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法即可求得结果.【小问1详解】连接，如下所示：选择①，②，证明③如下：因为，，面，故面，又面，故可得.又为直三棱柱，故面，因为面，故；又面，故面，又面，故可得，因为为的中点，故可得在平面中，垂直平分，则.选择①，③，证明②如下：因为为的中点，且，在△中，由三线合一可知；又为直三棱柱，故面，因为面，故；又面，故面，又面，故；又，面，故面面，故.选择②，③，证明①如下：因为为的中点，且，在△中，由三线合一可知；又为直三棱柱，故面，因为面，故；又面，故面，又面，故；又面，故面，因为面，故.【小问2详解】因为，则，故，则，又为直棱柱，故面面，故，故两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如下所示：设，则，故，因为，故，解得，故，，设平面的法向量，则，即，取，解得，则，又，设直线与平面所成角，则.即直线与平面所成角的正弦值为.20.已知抛物线的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．（1）求抛物线的方程：（2）过点作直线l交抛物线于B，C两点，求的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出抛物线方程，表示出各点坐标，利用已知可求出，得出方程；（2）设出直线方程，与抛物线联立，得出即可.【小问1详解】由题可设抛物线方程为，则，因为点A的横坐标为2，由于抛物线的对称性，不妨设在轴上方，则，所以，，所以，解得，所以抛物线的方程为【小问2详解】显然直线l的斜率不为0，设方程为，设，联立方程，可得，则，，则，所以.即.21.已知圆，两点、.（1）若，直线过点且被圆所截的弦长为，求直线的方程；（2）若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）计算出圆心到直线的