2023年高考数学真题及解析合集

2023年新课标全国I卷数学真题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合〃={-2,-l,0,1,2},7√={X∣X2-X-6>0},则MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

1-i_

2.已知Z=则Z-Z=()

2+21

A.一iB.iC.0D.1

3.已知向量Z=(Ll)I=(L-I),若(£+4)∙Lg+〃5)，则()

A.λ+μ=∖B.4+〃=-1

C.4〃=1D.λμ=-∖

4.设函数/(x)=2#句在区间(0,1)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(-8,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+∞)

22

5.设椭圆G：A+y2=l(a>l)，G：二+/=1的离心率分别为q,e2.若02=J⅛,则α=

a4

()

?/7

A.ɪB.√2C.√3D.√6

3

6.过点(0,-2)与圆/+y2-4.丫_1=0相切的两条直线的夹角为α,则Sina=()

A.1B.巫C.—D.—

444

7.记，为数列｛%｝的前〃项和，设甲：｛叫为等差数列；乙：｛义4为等差数列，则()

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知Sin(α-夕)=Lcosαsin夕=,，贝IJCOS(2α+2∕)=().

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.有一组样本数据占户2,…，/，其中为是最小值，%是最大值，则()

A.x2,x3,x4,X5的平均数等于X∣,X2,…，X6的平均数

B.%，匕，匕，%的中位数等于士，*2/、匕的中位数

C.X2,X3,X4,X5的标准差不小于x∣,*2,…，%的标准差

x

D.X2,X3,X4,X5的极差不大于玉,工2,…，∙6的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

4=20χlg',其中常数Po(P(I>0)是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源

Po

的声压级:

声源与声源的距离/m声压级∕dB

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1()50-60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为P∣,P2,P3,

则().

A.pl≥p2B.p2>IOp3

C.P3=lOOpoD.p∣≤IOOp2

11.已知函数/(χ)的定义域为R,f(χy)=y2f(χ)+χ2f(y),则().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(X)是偶函数D∙X=O为/(X)的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽

略不计)内的有()

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为L8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0。Im的圆柱体

试卷第2页，共4页

三、填空题

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2

门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数

字作答).

14.在正四棱台/8CD中，∕8=2,44=I,∕4=√Σ,则该棱台的体积为

15.已知函数/(x)=CoSOX-1(。>0)在区间[0,2可有且仅有3个零点，则。的取值范围

是.

22

16.已知双曲线u[-2=l(α>0,b>0)的左、右焦点分别为4,E.点A在C上，点B在

a~D

y轴上，F∖A±F∖B,F∖A=-^B,则C的离心率为.

四、解答题

17.已知在ΔJ8C中，l+B=3C,2sin(∕-C)=Sin8.

⑴求SirL4；

(2)设为8=5,求NB边上的高.

18.如图，在正四棱柱/8CQ-40CQl中，45=2,44=4.点4,打(2,3分别在棱

(1)证明：B2C2ZZA2D2；

(2)点P在棱8。上，当二面角尸一知心一。?为150。时，求BF.

19.已知函数/(x)=α(e"+α)-x.

试卷第3页，共4页

⑴讨论了(X)的单调性；

3

(2)证明：当α>0时，/(x)>21na+^.

2

L

20.设等差数列｛”“｝的公差为d,且d>l.令bl,=g，记S,二分别为数列｛αj,｛4｝

的前〃项和.

⑴若3%=3%+的应+7；=21,求｛《,｝的通项公式；

(2)若也｝为等差数列，且%-7=99,求d.

21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次

投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概

率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X,服从两点分布，且P(X=I)=I-P(X,=O)=%,i=1,2,…,〃，则

£|Σ^∙Γ∑^•记前〃次(即从第i次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(y)∙

Ij=IJ/=1

22.在直角坐标系XOy中，点P到X轴的距离等于点P到点(o,g)的距离，记动点P的

轨迹为此.

⑴求WZ的方程；

(2)已知矩形NBCO有三个顶点在力上，证明：矩形HBC。的周长大于3石.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合〃中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一：因为N={XN-X-6≥0}=(-8,-2卜［3,+s),而M={-2,-1,0,1,2},

所以历CN={-2}.

故选：C.

方法二：因为M={-2,T(M,2},将-2,Toj2代入不等式χ2-χ-6≥0,只有—2使不等式

成立，所以Λ∕cN={-2}.

故选：C.

2.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共规复数的概念得到口从而解出.

【详解】因为Z=G=Myr丁=一”所以Z弓‘即"

故选：A.

3.D

【分析】根据向量的坐标运算求出Z+∕l5,%+品,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为α=(1,1),B=(1,T),所以a+；IB=(I+4/-4),〃+〃办+一〃)，

由(α+/lB)J.(α+"B)可得，+4可•(〃+〃B)=O,

即(1+可(1+〃)+(1_外(1_4)=0,整理得：λμ=-∖,

故选：D.

4.D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数y=2，在R上单调递增，而函数/(x)=2Mr)在区间((U)上单调递减，

则有函数y=x(x-q)=(x-3)2-土在区间(0,1)上单调递减，因此^≥1,解得α≥2,

242

所以。的取值范围是［2,+8).

答案第1页，共22页

故选：D

5.A

【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.

【详解】由02=岳厂得W=3q2,因此*=3xg,而α>l,所以°=乎.

故选：A

6.B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解：方法二：根据切线的

性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得

上2+8左+1=0,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为f+∕-4x-l=0,BP(X-2)2+∕=5,可得圆心C(2,0),半径/=石，

过点尸(0,-2)作圆C的切线，切点为4,8,

因为IPq=¢2+H)=26,则IPH=JIPef一∕=jj,

可得sinNMC=含乎,cosZAPC=孺邛,

则sinN∕PB=sin2NZPC=2sinN/PCcosNA尸C=2X×亚—

444

√101

cosZAPB=cos2ZAPC=co?AAPC-sir?Z.APC--一<∣,

4J44

即N/P8为钝角,

所以Sina=sin(π-N∕P8)=SinNAPB=返

4

法二：圆W+/-4x-l=0的圆心C(2,0),半径r=6,

过点尸(0,-2)作圆C的切线，切点为48,连接/3,

可得IPq=+(-2『=26,则IPH=IP'=JIPeff2=g^,

因为+∖PB[-2∖PA∖-ψB∣cosZ4P5=P4j+愕]-2¢/|普ZACB

且Z.ACB=π-Z.APB,则3+3-6cos∕∕P3=5+5-10CoS(π-∕∕PB),

BP3-cosZ.APB=5÷5cosNAPB,解得cosNAPB=-∙ɪ<0,

4

答案第2页，共22页

即/4P8为钝角，则COSa=Ce)S(兀一/4P3)=—cos∕ZP3=ɪ,

且。为锐角，所以Sina=后京二叵;

4

方法三：圆/-4x-l=0的圆心C(2,0),半径r=6

若切线斜率不存在，则切线方程为V=O,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为N=丘-2,即日-y-2=0,

则=亚,整理得公+8%+1=0，且A=64-4=60>0

设两切线斜率分别为匕,4，则&+k2=-S,klk2=1,

2

可得4-k2∖=y∣(kl+A2)-‹l⅛2=2屈，

所以tanα=!I而即旦L4=1有，可得CoSa=与？，

1+A1K2cosa√15

.∣.22.2Sin2a.

则mSlna+cosa=sιna+-----=1，

15

且αe(θ,])sina>0,解得Sina=巫.

故选：B.

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第“

项的关系推理判断作答

【详解】方法1,甲：｛%｝为等差数列，设其首项为q,公差为d,

答案第3页，共22页

.Cn(n-∖)SMn-∖.ddS

则mS"=g+k"'Tf=α∣+丁=丁+4——,ɪn-

'2n-An2

V

因此｛2｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之，乙：｛1｝为等差数列，即鼠?_&='-'+|母=崇奈为常数'设为

n∕7÷1nn(n+1)

即与奇"则S=Ff心+】)，有Sl=("gτ∙"(f,"≥2,

a

两式相减得：„=〃%+i1)。〃-2",即an+1-an=2t,对〃=1也成立,

因此｛〃〃｝为等差数列，则甲是乙的必要条件,

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：为等差数列，设数列｛q｝的首项4,公差为d,即S.=叼+若Dd,

则2=q+券2d=g"+q-g,因此｛2｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

Vccς

反之，乙：｛、｝为等差数列，即》-j=。d=S∣+("7)Z),

nw+1nn

即

S“=nSl+n(n-∖)D,Sn.,=(n-l)Sl+(«-!)(«-2)0,

当“≥2时,上两式相减得:-S,,.,=S1+2(n-1)0,当”=1时,上式成立，

于是%=%+2(n-l)D,又an+l-αn=α1+2nD-[at+2(〃-1)0=2。为常数，

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8.B

【分析[根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α+∕7),再利用二倍角的余弦

公式计算作答.

【详解】因为sin(α-∕7)=SinaCOs∕?-CoSaSin尸=一，而COSaSin夕=1,因此SinaCoS尸=2,

362

2

则sin(α+/?)=sinacosβ+cosasin/=§,

所以cos(2a+2夕)=cos2(a+/?)=1-2sin2(a+/?)=1-2×(-∣)2=ɪ.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

答案第4页，共22页

(I)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角

总有一定关系.解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函

数.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变

角”，使其角相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围.

9.BD

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设3，演，匕，匕的平均数为利，%，々，…，%的平均数为〃，

则“=X∣+X?+X3+%+Xs+%x2+X3+X4+X5=2(x∣+XJYX5+X?+XJ+匕)

、n~m~64,12—

因为没有确定2(国+苫6)，/+£+毛+匕的大小关系，所以无法判断也”的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得nι="=3.5;

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得m=2,〃=U；故A错误；

对于选项B：不妨设X]≤%2≤%3≤%4≤%5≤%6，

可知Z,X3,X4,X5的中位数等于演/2,…户6的中位数均为Wt，故B正确；

对于选项C：因为看是最小值，乙是最大值，

则》2户3，%工5的波动性不大于3，％，一/6的波动性，即％，工3户4户5的标准差不大于演，工2，…，/

的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数"=1(2+4+6+8+10+12)=7,

标准差Sl=^∣[(2-7)2+(4-7)2+(6-7/+^-7J+¢0-7)+(2-75]=ʃɪ,

4,6,8,10,则平均数机=:(4+6+8+10)=7,

标准差S?=已[(4—7)2+(6_7『^8-7)2XIO-T(2]√5,

显然亚Z>5,即s∣>S2;故C错误；

3

答案第5页，共22页

对于选项D：不妨设x∣≤J⅛≤J⅛≤x,4Rs≤X6，

则工6-王*X5-X2，当且仅当玉=超，毛=工6时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

10.ACD

【分析】根据题意可知人«60,90],%u[50,60],4=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知:Lpιe[60,90],Lpj∈[50,60],Lpj=40,

对于选项A：可得4,-4，=20*也图-20、尼&=20乂也包，

PoP0Pi

因为4≥%,则4-%=20xlg∕⅛0,即lgj≥O,

所以，-21且P/>0,可得pep?,故A正确：

对于选项B：可得4,-乙八=20x∣g∙∙-20xIg8∙=20×1g—,

POPOPi

因为4-4=L%-40210,则20xlgR≥10,即

P3P3幺

所以∙∙≥五且P2,p3〉0，可得P2≥V⅛3,

P3

当且仅当42=50时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4,=20x1g立=40,即lgH=2,

PoP0

可得隹=100,即P3=lθθp°,故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：L-L=20×lg^,

Pl

且4-%≤90-50=40,则20Xlg邑≤40,

Pi

即lgg∙≤2,可得以≤100,且百,P2>0,所以P∣≤IOOP2,故D正确；

PiPi

故选：ACD.

11.ABC

【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC,举反例/(χ)=0

即可排除选项D.

方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D,可构造特殊函数"x)=HInl'x≠°进行

10,x=0

答案第6页，共22页

判断即可.

【详解】方法一：

因为/(Xy)=y2f(χ)+χ2f(y)，

对于A,令x=y=O,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令X=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=-l,∕(r)=/(x)+//(-I)=/(x),

又函数/(x)的定义域为R,所以/(x)为偶函数，故C正确，

对于D,不妨令/(x)=0,显然符合题设条件，此时/(x)无极值，故D错误.

方法二：

因为/(初)=∕∕(x)+χ2∕O0,

对于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正确.

对于B,令x=y=l,"1)=1/(1)+1/(1),则/⑴=0,故B正确.

对于C,令x=y=-l,/(1)≈/(-1)+/(-1)=2/(-1),则/(-1)=0,

令y=TJ(-χ)=/(χ)+χ2f(-∖)=f(χ),

又函数/(X)的定义域为R,所以/(X)为偶函数，故C正确，

对于D,当/VRo时，对/(Λy)=y2∕(χ)+χ2∕(y)两边同时除以χ2y2,得到

f(xy)/(ɪ),Λy)

x2y2X2y2'

故可以设△?=InklQ≠0),则/*)=,：ln∣,x*O,

X21[0,x=0

当x>0肘，f(x)=X2In%,则/'(x)=2xlnx+χ2.J∙=χ(21nx+l),

令/。)<0,得o<χ<ej令/'(')>°，得

故/(X)在(θ,eT)上单调递减，在e*,+8)上单调递增，

(」、(

因为/(X)为偶函数，所以/(X)在-e2,0上单调递增，在-OO,e2上单调递减,

答案第7页，共22页

显然，此时X=O是/(X)的极大值，故D错误.

故选：ABC.

12.ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为0.99m<lm,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为鬲，且JΣ>1.4,

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为鬲，且石<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；

对于选项D：因为正方体的体对角线长为百m,且百›1.2,

设正方体N8C。-48CQ的中心为。，以ZG为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心。到

正方体的表面的最近的距离为,

如图，结合对称性可知：OG=gcj=y-,C1O1=OC1-OOi=ɪ-0,6»

则3=即"5"一"6,解得〃=；-竿>0∙34>0.01'

λλ∖54ɪ-Z√3

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：ABD.

答案第8页，共22页

【点睛】关键点睛：对于C、D：以正方体的体对角线为圆柱的轴，结合正方体以及圆柱的

性质分析判断.

13.64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数

运算求解.

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有=16种；

(2)当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C；C；=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C；=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

14.巫IL瓜

66

【分析】结合图像，依次求得4Q,∕o,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作垂足为易知4〃为四棱台/3CD—44CA的高,

因为/5=2,44=VAAλ=√2,

则AO=-AC=→√24fi=与Ao=UlC=U

11itl1∖jlAB=V∑，

答案第9页，共22页

⅛AM=-ɪ(JC-∕41Cl)=ɪ-,则/Al=Jz/-/A/?=-ɪ=-ɪ,

所以所求体积为P=JX(4+1+J?TT)X负=它.

326

故答案为：巫.

6

15.[2,3)

【分析】令/(x)=0,得COSOx=I有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.

【详解】因为0WxW2τr,所以OW0xW2ftw,

令/(x)=cos<yχ-l=O,则COSs=I有3个根，

令f=0x,则COSf=I有3个根,其中f∈[0,2oπ],

结合余弦函数y=cos∕的图像性质可得4τt≤2on<6π,故24<υv3,

【分析】方法一:利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到I盟|,I明∣,∣%∣,MW关于

的表达式，从而利用勾股定理求得。=机，进而利用余弦定理得到α,c的齐次方程，从

而得解.

方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x0=；5c2,产=4。2,将点

A代入双曲线C得到关于α,Ac的齐次方程，从而得解：

【详解】方法一：

依题意,设I典∣=2m,则忸周=3机=忸用剧=2α+2m,

在RtA∕8与中，9∕H2+(2a+2m)2=25m2,则(α+3机)(α-m)=0,故“=机或α=-3，"(舍去)，

所以|/用=4α,.%=2α,忸周=忸用=3α,则MM=5α,

AF4a4

故cos"兆=海t=4F

16α+4a4c22

所以在ΛAF1F2中，cosZξ∕g≈~=-,整理得5c=9a,

2×4a×2a5

答案第10页，共22页

依题意,得月(-c,0),乙(c∙,0),令Z(XO,%),8(0,f),

___2___252

因为用力=一§鸟8,所以(XO-Gyo)=-W(-。,，)，则XO=§。,歹0二—丁，

又即_L而，所以即∙瓶=(IC(Jf)=+2_52=0,则r=叱，

”OSr24/2?5r216r2

又点A在。上，则99［，整理得与一式τ=1,则与一普=1，

-2------江=19a29b29a29b2

ab

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25,(c2-a2)-∖6a2c2=9a2(c2-a1),

整理得25c-50/+9/=0,则(5/一9叫(5/一叫=0,解得5/=9/或方=6?,

又e〉l,所以e=46或e=(舍去)，故e=二叵.

555

故答案为：—.

5

【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股

定理与余弦定理得到关于α,4c的齐次方程，从而得解.

17.(l)^ʌθ

10

(2)6

【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求SinB,再由正弦定理求出6,

根据等面积法求解即可.

【详解】(1)∙.∙A+B≈3C,

答案第11页，共22页

TT

.λτι-C=3C即。=—,

f4

又2sin(Z-C)=SinB=Sin(Z+C),

/.2sinAcosC-2cosJsinC=sinAcosC+cosJsinC,

.∙.sinAcosC=3cosJsinC,

.,.sinA=3cosJ,

即tan4=3,所以0<4<],

33√W

,

..sinA=√ιo^-io-

1√io

(2)由(1)知，cosA=

√io-io

由SinB=Sin(N÷C)=SinAcosC+cosZSinC二

‹2√5

5×------

b

由正弦定理,>可得b=J—=2>∕Γθ,

sinCsinB√2

^2^

/.ɪAB.h=LAB∙AC∙sinA,

22

.∙.h=b∙sin/=2Λ∕1F×ɜʌʌɑ=6.

10

18.(1)证明见解析;

(2)1

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；

(2)设尸(0,2")(0≤2≤4),利用向量法求二面角，建立方程求出4即可得解.

【详解】(1)以C为坐标原点，S,C8,cq所在直线为x,%z轴建立空间直角坐标系，如图,

答案第12页，共22页

则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),J2(2,2,1),

.∙.=(0,-2,1),ΛA=(0,-2,1),

.∖B^∕∕TD[,

又与G，43不在同一条直线上，

,

..B2C7//A2D2,

(2)设P(0,2M)(0≤%≤4),

则/=(-2,-2,2),砥=(0,-2,3-4Λ^(-2,0,l)，

设平面P4G的法向量】=(χ,y,z)，

n∙AC=-2x-2y+2z=0

则＜22

n∙PQ=-2y+(3-λ)z=O

令z=2,得歹=3-√l,x=义一1,

=(/1—1,3—Λ,2),

设平面A2C2D2的法向量加=(a,b9c),

m.JC=-2a~2⅛+2c=0

则22

in∙D2C2=-Zz+c=0

令a=l,得b=l,c=2,

/.m=(1,1,2),

答案第13页，共22页

∙∙∙H阿卜翡二厨4+(U+(3T)f4,

化简可得，Λ2-4λ+3=0,

解得4=1或4=3,

••，(0,2,1)或2(0,2,3),

.∙.B2P=∖.

19.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导，再分类讨论α≤0与α>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即

可得解；

(2)方法一：结合(1)中结论，将问题转化为/-g-lnα>O的恒成立问题，构造函数

g(α)=α2-∣-lna(α>0),利用导数证得g(4)>0即可.

方法二：构造函数MX)=e*-x-l,证得e'≥x+l,从而得到/(x)≥x+In。+1+»-x,进

而将问题转化为/-∣-lna>0的恒成立问题，由此得证.

【详解】(1)因为"x)=α(e'+α)-x,定义域为R,所以/'(x)="e'-1,

当时，由于e、>0,贝∣Jαe"≤O,故/'@)=。^-1<0恒成立，

所以/(x)在R上单调递减；

当“>0时，令/'(x)=αe*-l=0,解得X=-In4,

当x<-lna时，/'(x)<0,则/(x)在(-8,-Ina)上单调递减;

当x>-lnq时，/'(x)>0,则/(x)在(-ln0,+8)上单调递增；

综上：当tz≤O时，在R上单调递减：

当“>0时，/(x)在(-∞,-lnα)上单调递减，〃x)在(-ln4,+s)上单调递增.

(2)方法一：

xlno2

由(1)得，/()min=/(-ln«)=a(e^+a)+ln<7=l+α+ɪnɑ,

答案第14页，共22页

331

要证∕∙(x)>2In4+万，即证1+/+lnα>Zlno+j,即证/一3-InQ>O恒成立,

令g(α)=Q2―1—历“〃>0),则g，(Q)=2^_,=20T,

2aa

令gp)<O,则o<α<也；令gp)>O,则α>";

22

所以g(α)在上单调递减，在上单调递增,

所以g(%=g隹J=(用-2^'n^^"M岳°

则g(α)>O恒成立,

3

所以当Q>0时，/(x)>21nQ+］恒成立，证毕.

方法二:

令人(X)=e，一%-1,则/(x)=e'-l,

由于>=e'在R上单调递增，所以"(力=廿-1在R上单调递增,

又“(0)=e°-l=0,

所以当x<0时，Λz(x)<O;当χ>0时，”(x)〉0；

所以MX)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

故MX)NMo)=0,则e'≥x+l,当且仅当"=0时,等号成立,

2γ+lnt,22

因为/(x)=α(e'+Q)-x=〃e'÷tz-x=e+a-x≥x+Ina+l-^-a-xf

当且仅当x+lnα=0,即X=-In。时，等号成立,

331

所以要证/(x)>2inα+5,即证x+lnα+l+c∕-%>21n4+5,即证T一3一Ina>0,

☆g(a)=a2_2_］na(a〉0),则D=2α―工=即:ɪ,

2aa

令g'(α)<0,则0<α<①；令g'(α)>O,则α>也;

22

所以g(α)在［。,号］上单调递减，在,+②］上单调递增，

所以g(α)"=gj*=j9-l-ln^=ln√2>0,则g(α)>O恒成立,

答案第15页，共22页

3

所以当〃>0时，/(x)>2InQ+e恒成立，证毕.

20.(1)4=3"

⑵〃埸

【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；

(2)由也｝为等差数列得出［=d或q=Z/,再由等差数列的性质可得/o-4o=l,分类

讨论即可得解.

,

【详解】(1).*3α2=301+a3,:.3d=α1+2d,解得q=d,

/.S3~3%=3(q+d)=6d,

DTL7126129

又τ3=a+b2+b3=N+/互=Z'

9

.2+4=6"二=21,

d

即2∕-7d+3=0,解得d=3或d=!(舍去)，

2

.,.Q〃=%+(〃-∖)∙d=3n.

(2)•.•｛"｝为等差数列，

…，12212

2h2=⅛1+⅛3,即—=--1----,

a2%a3

∙∙∙ð(ɪ-ɪ)=-^-=—,即如-3°“+2/=0,解得q=d或α=Z∕,

a2a3a2a3axɪ

∙.∙J>1,%>0,

又$99-^=99,由等差数列性质知，9‰50-99⅛50=99,即/°—砥=1,

••々50=1，即磕_。50_2550=0,解得〃50=51或々50=—50(舍去)

。50

当q=Z∕时，a50=al+49J=5U=51,解得d=l,与d>l矛盾，无解；

当α∣="时，¾)=q+49d=50d=51,解得d=∣^.

综上一M

21.(1)0.6

答案第16页，共22页

吟目

⑶n

E(Y)=2+—

1oYJ3

【分析】(1)根据全概率公式即可求出；

(2)设尸(4)=p,,由题意可得∕⅛=0∙4p,+0.2,根据数列知识，构造等比数列即可解出:

(3)先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.

【详解】(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件及，

所以，P(Bj=P(A1B2)+P(qBJ=R4)R囚力+KB)Rβ2∣勾

=0.5×(l-0.6)+0.5×0.8=0.6.

(2)设P(4)=p,,依题可知,P(Bj=I-P,,则

P(4+J=P(44+J+尸(耳4M)=P(4yAM14%PSP‰⑸)，

即P"I=0∙6p,+(1-0.8)χ(l-pj=OApi+0.2,

构造等比数列{p,∙+2},

设PHl+4=∙∣(P,+2),解得义=-；,贝IIPHl-；=1■(Pi-；)，

ɔɔɔɔ∖ɔZ

又p∣=!，"-!=!，所以.,-U是首项为公比为刍的等比数列，

236Iɔj6ɔ

(3)因为Pj=∖x(∙∣)+；,;=1,2,∙∙∙√7,

5

所以当〃∈N*时,

18

【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式,

答案第17页，共22页

然后根据数列的基本知识求解.

2ɪ

22.(∖)y=χ+-

(2)见解析

【分析】(1)设P(χ,y),根据题意列出方程一+卜一；)=/,化简即可；

(2)法一：设矩形的三个顶点//,。2+、,《6,从+?,。卜，。2+3,S,a<b<c,分别令

kAB=a+b=m<0,kβc=b+c=n>O,且加〃=-1,利用放缩法得gc≥(a+:卜1+/,设

函数/(x)=(x+gj(l+χ2),利用导数求出其最小值，则得C的最小值，再排除边界值即可.

法二：设直线N8的方程为N=仪x-a)+〃+!，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式

4

和放缩法得同I3力bJ。+Fr利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即

可.

法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可

证明.

【详解】(1)设P(XJ),则M=JX2+(y-gj,两边同平方化简得y=/+；,

故WZ∖y^χ2+~.

4

(2)法一：设矩形的三个顶点/(“,。2+£|,8(帅2+；),《吩2+3在%上,且"6<<；,

易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0,

答案第18页，共22页

则脑,演C=T,α+b<6+c,令

=a+b=m<O

同理令魇(•=b+c="〉O,且加〃二一1,则〃7=-~1,

n

设矩形周长为c,由对称性不妨设Im∣≥ι∏ι.怎C-G=C-q=〃-"?=〃+ɪ，

n

222

则;C=|/81+1SCI=(b-α)√l+∕n+(c-⅛)√l+w>(c-α)√l+w=(〃+，卜1+/.w>o,易

知(〃+,)&+"2>0

则令/(x)=(x+B)(1+X2),X>0,∕'(X)=2^X+^

令/'(X)=O,解得X=也,

2

(ʃʌ

当Xeθ,ɪ-时，/(x)<0,此时/(χ)单调递减，

隹+8，∕,(x)>0,此时/U)单调递增,

当x∈

=(⅛-α)√l+n2，即切=〃时等号成立，矛盾,

故C>3√i,

得证.

法二：不妨设4民。在沙上，且8/J.D4,

DA的斜率均存在且不为0,

答案第19页，共22页

则设民4,D4的斜率分别为a和W，由对称性，不妨设k∣≤ι,

K

直线Z