高三数学一轮复习基础练习22：函数综合运用

基础夯实练22函数综合运用

一、利用导数研究恒(能)成立问题

1.己知函数y(x)=(χ-2)e*.

⑴求为)在［—1,3］上的最值;

(2)若不等式OX2对Xe［2,+8)恒成立，求实数”的取值范围.

2.(2023・镇江模拟)已知函数y(x)=Hnx~x(a∈R).

⑴求函数y(x)的单调区间；

(2)当4>0时，设g(x)=χ-Inx—1,若对于任意x∣,X2e(0,+o°),均有y(x1)<g(x2),求。的

取值范围.

3.(2023•福州模拟)已知函数∕x)=xlnx.

⑴求曲线y=Ax)在点(1,y∪))处的切线方程；

(2)当x2l时，/(x)Wav2—“，求4的取值范围.

4.已知函数yU)=e2∙r一Or(α∈R),e为自然对数的底数.

⑴求函数7U)的极值；

(2)若关于X的不等式x+W∣Wyα)恒成立，求实数”的取值范围.

二、利用导数证明不等式

I.已知函数yU)=0x+xlnx,且曲线y="r)在点(e,火©))处的切线与直线4x—y+1=O平行.

⑴求实数。的值；

(2)求证：当x>0时，y(x)>4χ-3.

2.(2023∙淄博模拟)已知函数外)=F-χ-l.

(1)求函数火幻的单调区间和极值；

(2)当x20时，求证：J(x)+x+1≥2χ2+cosx∙

3.己知函数於)=xlnχ一如

(1)当a=-1时∙，求函数/(x)在(O,+8)上的最值;

12

(2)证明：对一切x∈(O,+∞),都有Inx+1>产一其成立.

4.(2022•新高考全国∏)已知函数兀O=Xetu-e∖

⑴当a=l时，讨论犬X)的单调性；

⑵当x>0时，火x)<-l,求a的取值范围；

⑶设"eN*'证明：√⅛+√fc+∙"+√⅛7'nω+1^

三、利用导数研究函数的零点

Inx~∖~fix

1.(2023・济南质检)已知函数式X)=Tɪ产,a∈R.

(1)若α=0,求人处的最大值；

⑵若0<α<l,求证：信)有且只有一个零点.

2.函数凡r)=αr+xlnx在x=l处取得极值.

(1)求y(x)的单调区间；

(2)若y=/(x)一机一1在定义域内有两个不同的零点，求实数,〃的取值范围.

3.(2022∙河南名校联盟模拟)已知./(X)=。-1)eʌ—孑？+ɜɑ(ɑ∈R).

(1)若函数40在［0,+8)上单调递增，求”的取值范围；

(2)当a≤e时，讨论函数兀V)零点的个数.

4.(2022•全国乙卷)已知函数y(x)=αχ-1―(α+l)lnx.

(1)当α=0时,求式x)的最大值；

(2)若«r)恰有一个零点，求a的取值范围.

四、隐零点与极值点偏移问题

1.已知函数fix)=^ax2—(2a+l)x+2lnx(a∈R).

⑴当AO时，求函数/U)的单调递增区间；

(2)当〃=0时，证明：八])<2^一十一4.(其中6为自然对数的底数)

2.设fix)=XGx-1W(2,7H∈R.

(1)设8。)=/(九)一2加¥,当〃?>0时，讨论函数g(x)的单调性；

(2)若函数人x)在(0,+8)有两个零点X],χ2,证明：χ1+χ2>2.

参考答案

一、利用导数研究恒(能)成立问题

1.解(1)依题意/(x)=(χ-l)ex,

令/(x)=0,解得x=l,

当x<l时，/(x)<0;

当Ql时，/(x)>0,

.∙√(x)在［-1,1)上单调递减，

在(1,3］上单调递增，

而y(l)=-e,火3)=e3,

Λ-i)=-∣

.∙√(x)在［―1,3］上的最小值为一e,最大值为e3.

(2)依题意，2(x—2)er+24x≥0χ2在［2,+8)上恒成立.

当x=2时，4a>4a,Λa∈R;

当x>2时，原不等式化为〃片葺=子

令g(χ)=ɔeqʌ

.2χ-Iex

则πg'(x)=-p

∖'x>2,.∙.g'(x)>O,

...g(x)在(2,+oo)上单调递增，

∙'∙g(x)>g(2)=ei,.*.α<e2,

综上，实数”的取值范围是(一如e2］.

2.解(1)函数TU)=HnX-X("∈R)的定义域为(0,+∞),

a-χ+a

∙∙∕(χ)=LΜ，

①当好0时，/(x)<O恒成立，

；・函数的单调递减区间为(O,+∞);

②当4>0时，由/(x)=0,

解得X=G

当x∈(0,4)时，/(x)>O,

当xC(α,+8)时，f(x)<O,

函数Kr)的单调递增区间为(O,a),单调递减区间为(a,+∞).

综上可得，当“或时，人月的单调递减区间为(0,+∞);当a>0时，_Ax)的单调递增区间为(0,

a),单调递减区间为(4,+∞).

(2)由己知，

转化为yU)max<g(x)min∙

由(1)知，当α>0时，函数T(X)的单调递增区间为(0,a),单调递减区间为(ɑ,+∞).

故iX)的极大值即为最大值，

危)InaX=刎

=Hna—a,

1X—ɪ

∙.∙g(x)=χ-Inx—1,贝)g'(x)=1—叫=∙Y，当0<Λ<1时，g<x)<0,当x>l时，g<x)>0,

函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

故g(x)的极小值即为最小值，

∙'∙g(x)min=g(l)=0,

.".r∕lna-a<0,即Ina-I<0,

解得0<a<e.

.∙.α的取值范围为(0,e).

3.解(1»(X)=InX+1,/(1)=1,

又J(I)=0,

故兀0在点(1,0)处的切线方程为y=x—1.

(2)当XNl时，令g(x)=xlnx—a(x2-1),

得g(D=O,g,(x)-lnx+1~2ax,

令/?(x)=Inx+1~2ax,

.11~2ax

则mh'(x)=--2a=~~~--.

①若α≤0,得"(x)>0,

则gQ)在［1,+8)上单调递增,

故g'(x)洗'(D=l-2"≥0,

所以g(x)在［1,+oo)上单调递增，

所以g(x)≥g(l)=O,

从而XlnX—α(Λ2-1巨0,不符合题意；

②若”>0,令"(X)=0,得X=/

(i)若0<α<∣,则方>1，

当Xe°，方时，∕7'(χ)>0,

g'(χ)在(1，灯上单调递增，

从而g'(x)>g'⑴=1-2a>0,

所以g(x)在［1,上单调递增，

此时g(x)≥^(l)=O,不符合题意；

(ii)若α≥∣,

则,"(X)W°在U，+8)上恒成立，

所以gU)在［1,+oo)上单调递减，g<%)H⑴=1—2把0,

从而g(x)在［1,+oo)上单调递减，

所以g(x)≤g(D=0,

所以JdnX—〃。2—1)Wo恒成立.

综上所述，〃的取值范围是仕，+∞).

4.解(1)；/(X)=e2x-0χ,

Λ∕(x)=2e2γ-a,

当区0时，/(x)>0,於)单调递增，函数段)无极值.

当公>0时，令，(x)=0,得2e2x-α=0,

得X=TIn冬

易知当x∈(-8,3n?时，/(x)<0,危)单调递减，

当x∈(gln令+8)时，/(χ)>0,/(x)单调递增，

ln

・7/W的极小值为/gn?=J22—6∕×∣∣n^=~--ln^,危)无极大值.

综上,当a<0时,左)无极值;

当α>0时，危)的极小值为fin?,7U)无极大值.

(2)Eħ得，

elx-ax>a∖nx-ax+^a,

整理得e2x-Hnx—%≥0.

令Λ(x)=e2r-tzɪnχ-^U>0),

则∕z(x)≥O恒成立，h,(x)=2elv—~(x>O),

当.<O时，h,(x)>O,MX)单调递增,

且当χτθ'时，Λ(x)<O,不满足题意.

当〃=O时，Λ(x)=e2v>0,满足题意.

.Inx÷^∙

当a>0时，由⅛(x)>0^⅜->e2.v.

Inx÷^

令Pa)=~/?一，

[∙e2x-2(InX+^Jelvɪ-21nχ-1

则p,(x)—尹=静，

令q(%)=1-21nX—l(x>O),

12

则d(X)=-F—1<0,，依)单调递减，

又夕(D=0，

故当XW(0』)时，^(x)>0,

即p'α)>o,Pa)单调递增，

当X∈(l,+8)时，式尤)<0,

即P3<O,Pa)单调递减,

∙*∙P(X)max=P(I)=2e2,

∙∙⅛⅛,即OVqW2e2.

综上，实数。的取值范围为[0,2et

二、利用导数证明不等式

L⑴解#r)的定义域为(O,+∞),f(x)=lnx+l+af

由题意知，/(e)=2+4=4,则。=2.

(2)证明由(1)知，J(x)=2x+x∖nχ9

令g(x)=∕x)—(4χ-3)=xlnx~2x+3,

则g'(x)=Inx-I,

由Inχ-1>0得x>e,

由InX-I<0得0<r<e,

故g(x)在(O,e)上单调递减，

在(e,+00)上单调递增，

∙,∙g(x)min=g(e)=3—e>0,

即g(x)>0,即yζr)>4χ-3.

2.(1)解易知函数T(X)的定义域为R,

VΛx)=e'-χ-l,

,∙√(x)=e'-l,

令/(x)>0,解得x>0,7U)在(0,+8)上单调递增，

令/(x)<0,解得x<0,KX)在(-8,0)上单调递减，

叩式X)的单调递增区间为(O,+∞),单调递减区间为(一8,0),

•••函数加)的极小值为Ho)=0,无极大值.

(2)证明要证y(x)+x+l≥++cosx,

即证e'-IV2—cosx>0,

设g(x)=ev-CoSX,要证原不等式成立，即证g(x)K)成立,

,.,⅛,(x)=ev-x÷sinx,sinx>—1,

/.g,(x)=ev-x÷sinJt>e'-Λ­I

(当且仅当X=-T+2Aπ,&GZ时等号成立)，

由(1)知，Μ一乂一吐0。=0时等号成立)，

.∙.∕(x)>0,.∙.g(x)在(0,+8)上单调递增,

二在区间［O,+oo)上，

g(x)≥趴O)=0，

当JC>O时，/(x)÷x÷l≥^x2÷cosJtWiiE.

3.(1)解函数兀T)=XInx—ax的定义域为(0,+∞),

当”=—1时，式X)=XlnX+x,

/(x)=Inx+2,

由/(x)=0,得X=/，

当O<x<AB't,/(x)<0;

当Q玄时，/(Λ)>0,

所以yu)在(o,J上单调递减，在值，+8)上单调递增，

因此兀V)在X=A处取得最小值，即y(X)min=/(3)=-E，无最大值.

(2)证明当QO时，

12

lnx+l>Q—不

γ2

等价于X(Inx+l)>-FT-ʒ,

ec

由(1)知，当Q=-I时，

√U)=xlnX+Λ>-^2，

当且仅当X=E时取等号，

X2

设Ga)=KTXW(0,+∞),

VC

1—Y

则Ga)=GT?，

易知G(x)max=G(l)=一±,

12

当且仅当X=I时取到，从而可知对一切无G(o,+∞),都有於)>G(x),即InX+1>最万一/

4.⑴解当“=1时，

Λ0=(χ-l)ev,x∈R,

则/(x)=xd,

当x<0时，/(x)<0,

当QO时，F(X)>0,

故式X)在(一8,0)上单调递减，在(0,+⑼上单调递增.

(2)解设∕?(X)=Xe"-e'+l,

则∕ι(0)=0,

又"(x)=(l+ax)eux-ev,

设gθ)=(l÷0r)eav-ev,

则g∖x)=(2a+a2x)eax~ex,

若W,

则g<0)=2a—1>0,

因为g。)为连续不间断函数,

故存在依£(0,+s),

使得VX£(0,XO),总有g'(x)>0,

故g(x)在(O,Xo)上单调递增，

故g(Ag(O)=O,

故∕ι(x)在(0,m)上单调递增，

故MX)>∕z(0)=0,与题设矛盾.

若0<6Z≤^,

则h∖x)=(1+czx)ear-ev

—gθΛ÷ln(l÷αv)_gv

下证：对任意x>0,

总有ln(l+^)<r成立，

证明：设Sa)=In(I+x)-χ,x>0,

1~~X

故S3=RT∣=r<0,

故S(X)在(0,+8)上单调递减，

故S(X)<S(0)=0,

即In(I÷x)<x成立.

由上述不等式有片+31+m)-e'<ear+ai-eA=e2αr-ev<0,

故h∖x)<0总成立，

即在(0,+8)上单调递减，

所以∕7(x)<∕z(0)=0,满足题意.

若a<0,则h'(x)=eax-ex+axeM<\-1+0=0,

所以∕7(x)在(0,+8)上单调递减，

所以∕z(x)<∕z(O)=O,满足题意.

综上，a≤2-

(3)证明取a=/

ɪ

则Vx>0,总有其于-ex+KO成立，

ɪ

令Z=/,则Pd,Z2=ex,x=21n6

故2∕lnr<Z2-1,即21n/<7—：对任意的A恒成立.

所以对任意的〃∈N*,

有2卡<行一岳

整理得ln(w+l)-Inn<-j===1

故舟+卢+…+击"hl2^'n1+ln3^,n2+

.÷ln(n÷1)—Inn

=ln(π+l),

故不等式成立.

三、利用导数研究函数的零点

1.(1)解若α=0,则XX)=乎，其定义域为(0,+∞),

1-Inx

.VW=

由/(x)=°,得x=e,

当O<x<e时，/(x)>0;

当x>e时，/(x)C0,

.∙√(x)在(0,e)上单调递增,

在(e,+oo)上单调递减，

∙*∙Λx)max=Λe)=∣.

(2)证明/(X)=-T-÷6tJ]χ--ln---χ----a---x=一11^，

由⑴知，於)在(0,e)上单调递增,在(e,+oo)上单调递减,

V0<a<l,

.∙.当x>e时,

C∖nx+ax,Inx

fix')=---=〃+丁。λ

故7U)在(e,+8)上无零点；

-Inx+ax

当OVX<e时l，fix)=,

；昭)="-e<0,

Xe)=tz+∣>O,

且y(x)在(0,e)上单调递增，

.∙√(x)在(0,e)上有且只有一个零点,

综上，y(x)有且只有一个零点.

2.解(Iv(X)的定义域为(O,+oo),f(x)=a+∖nx+l,

由了(l)="+l=O,解得a=-1.

则式X)=一x+xlnX,

.V(X)=In%,令F(X)>0,解得x>l;令F(X)<0,解得Oa<1.

，府)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1).

(2)y=∕(x)一机一1在(0,+8)内有两个不同的零点，

则函数y=Λx)与)，=加+1的图象在(O,+oo)内有两个不同的交点.

由(1)知，人X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,KX)min=ΛD=-1,Xe)=0,

作出兀V)图象如图.

由图可知，当一BP—2<w<-1时，y=yU)与y=，〃+1的图象有两个不同的交点.

因此实数〃，的取值范围是(一2,-1).

3.解(1)∕(x)—(χ-1)et-∣tu3+∣a,

则/(x)=x(e*一分).

；函数人X)在［0,+oo)上单调递增，

.∙.∕(x)-Xer-a%)≥0在［0,+8)上恒成立，

则ej-ar>0,x>0.

当X=O时，则IK),即a∈R;

当x>0时，贝IJ6F<p

构建^(x)=γU>0),

X—∖e'

贝Ug'(x)=F-(X>0)，

令gtr)>O,则x>l,

令g,(x)<0,则081,

.∙.g(x)在((U)上单调递减，

在(1,+8)上单调递增，

则g(x)≥g(l)=e,

.*.a<ef

综上所述，“We.

令段)=0,

则x=I或ex-ɜɑ(ɪ2+^+1)=0,

对于ev-^(x2÷x÷1)=0,

x

eI

即RT卞

构建贻)j⅛Γ

LlXr-IeJ

则∕7'(x)=f+χ+12,

令"(x)>0,则x>l或XV0,

令"(x)<0,贝∣Jθ<x<l,

.∙.Mx)在(-8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

A(O)=I,Λ(x)>0,

当x∈R时恒成立，

e∙r1

则当a=e时，p+t+]=]〃有两个根x∣=l,X2<0；

当0<«<e时，w；+]=Ta只有一个根X3<0;

e'1

当‘区°时'F+x+I=¥无根.

综上所述，当«<o时，y(x)只有一个零点；

当0<4We时，KX)有两个零点.

4.解(1)当α=0时，

贝幻=-F-InMX>0)，

所以/(x)='_1='A

当x∈(0,l)时，/(x)>0,KX)单调递增；

当x∈(l,+oθ)时，/(x)<0,7U)单调递减，

所以7(x)max=T(I)=-I.

1〃+1Cix—lɪ—1

(2)由次X)=OX一(“+I)InX(X>0),得/(x)=。+?-^~=---ɜ------(x>0).

当α=。时，由(1)可知，兀r)不存在零点；

当“<0时，

/(X)=

当x∈(θ,i)时，∕α)>o,yU)单调递增，

当χ∈(l,+00)时，f(x)<Q,火x)单调递减,

所以“r)max=yθ)=α-1VO，

所以式X)不存在零点；

当α>0时，

F(X)=

当α=l时，/(Λ-)≥0,

犬X)在(0,+8)上单调递增，

因为/U)=。-I=0，

所以函数1X)恰有一个零点；

当a>l时，0<:<l,故y(x)在(0,0，(1,+8)上单调递增，在七，1)上单调递减.

因为大l)=α-l>0,

所以刁U)>0,

当x-θ+时，段)一一8,由零点存在定理可知y(x)在(0,上必有一个零点，所以α>l满足

条件，

当0<“<l时，3>1,故段)在(0,1),&+oo)上单调递增，在(1,0上单调递减.

因为式l)=α-l<0,

所以，C)<#)<0，

当x∙→+oo时，y(x)一+oo,由零点存在定理可知外)在(1,+8)上必有一个零点，即0<α<l

满足条件.

综上，若"r)恰有一个零点，则”的取值范围为(0,+∞).

四、隐零点与极值点偏移问题

1.(1)解九x)的定义域为(0,+∞),

,2aχ-lx~2

/(x)=6fA-(2α+1)+-=-------------

当0<*2,即悬时，於)在(0,5)，(2，+8)上单调递增.

当\=2,即a=；时，/(x)K),«r)在(0,+吟上单调递增.

当1>2,即0<a，时，火x)在(0,2),&+—上单调递增.

综上所述，当悬时，段)的单调递增区间为(0,》(2,+∞);

当时，加)的单调递增区间为(0,+∞);

当0<“<|时，,/U)的单调递增区间为(0,2),&+∞).

(2)证明当a=0时，由βx)<2er-χ-4化简得er-lnχ-2>0,

构造函数Λ(jt)=ev-InX—2(x>0),

Λ,(x)=ev-ɪ,令g(x)="(x),则gXr)=eλ+J>O,"㈤在(0,十⑹上单调递增，

&-2<0,ft,(l)=e-1>0,

故存在w∈Q,1),使得"(M)=0,即e"=?.

当x∈(0,沏)时,λ,(x)<O,MX)单调递减;

当XW(X0，+8)时，∕7,(χ)>0,〃(x)单调递增.

所以当X=M时，"(X)取得极小值，也是最小值.

λ(x)min=A(Xo)=e'r°—Inxo-2=7-In——2=J+xo-2>21/l“o—2=0,