2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.已知等比数列｛%｝中，y^i=2,%=8,则为=()

A.16B.4C,2D.1

【答案】B

【分析】先通过色等=<?求出等比数列的公比，然后利用等比数列的定义可得答案.

al+4

【详解】设等比数列｛%｝的公比为q,

a+%_aq+aq

则2l2=4=2,

al+a2ai+a2

=幺=»=4

q2

故选：B.

2.有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得

次品的条件下，第二次取得正品的概率为()

【答案】B

【分析】利用条件概率公式，结合古典概型计算即可.

【详解】法一：

设第一次取得次品为事件A,第二次取得正品为事件B,

则尸(A8)=∙^⅛=2,P(A)=∙⅛=3,

',Cq7'，C；7

所以P(BlA)=需<xg=l∙

法二：

在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品，

42

故第二次拿出正品的概率为P=W=;.

63

故选：B.

3,若(2χ-l)4=α∕4+。3文3+。14+。0，则/+/+%=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

［分析］利用赋值法可求4+a2+a4的值.

【详解】令X=1,则%+4+%+4+4)=1，

令x=-l,则-4+4=(-3)4=81,

a1+81”

故4+%+⅞=^—=41,

故选：B.

4.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，成功将中国空间站建设完毕,

中国空间站将于2023年正式进入运营阶段.现空间站要安排甲、乙等6名航天员到3个不同的实验

舱开展实验，3舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方案共有（）

A.450种B.720种C.90种D.360种

【答案】A

【分析】由题分为人数为1,2,3的三组以及人数为2,2,2的三组讨论即可.

【详解】由题知,6名航天员安排三舱，

三舱中每个舱至少一人至多三人，

可分两种情况考虑：

第一种,分人数为123的三组,共有C；,C；C3A；=360种；

第二种,分人数为2,2,2的三组,共有・A；=90种;

所以不同的安排方法共有360+90=450种.

故选：A.

5.关于（/—2x）的二项展开式,下列说法正确的是（）

A.二项式系数和为128

B.各项系数和为-7

C.第三项和第四项的二项式系数相等

D.XT项的系数为-240

【答案】A

【分析】计算二项式系数和即可得选项A的正误;将X=I代入二项式中即可得选项B正误;分别写出

第三项和第四项的二项式系数即可判断选项C的正误;写出二项式的通项,使X的次方为-1,解出项数,

即可得『项的系数,即可判断选项D的正误.

【详解】解油题知,9-2Xj中二项式系数和为27=128,故选项A正确；

将X=I代入二项式中可得各项系数和为(-I)，=T,故选项B错误；

在中,第三项的二项式系数为C；,第四项的二项式系数为C；,

因为,所以选项C错误;

在(g-2x)中,第r+1项7；M=GE]∙(-2x)r

=G.(-2)'∙∕-7

取2-7=-1,即r=3,

故7；=C；・(—2。『=—280/，

故一项的系数为-280,故选项D错误.

故选:A

6.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶

等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术''的算法，展现了聪明才智•如南宋数学家

杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍薨垛等的求和都与高阶等差数列有关

•如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层

小球的个数为()

A.464B.465C.466D.495

【答案】B

【分析】记第〃层有。“个球，则根据题意可得%-a,-="(〃22),再根据累加法求解即可.

【详解】记第〃层有。“个球，则4=1,%=3,4=6,%=10,

〃〃)贝悌。层

结合高阶等差数列的概念知外-4=2,a,-a2=3,a4-α,=4,L,an-an_t=(N2,3

的小球个数

+

ax=(¾-α29)+(029-¾)+(%-4)+4=30+29+28++2+1=465.

故选：B

7.已知百~8(〃，p),且E(34+2)=92D(3J+2)=12.96,则下列说法不正确的有()

A."=4,P=O.6

B.n=6,p=0.4

C.P(⅞>l)=l-0.66

D.PC<2)=P(4=0)+PK=I)

【答案】A

【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断A、B,利用根据二项分布概率公式即

可计算判断C、D.

【详解】因为E(3J+2)=3E(∕+2=92D(3J+2)=9D⑶=12.96,

3np+2=9.2〜n=6

由4~8(〃，P)时，E(J)=叩,D[ξ)=np{∖-p),所以9〃P(I-P)=I2.96'所以

p=OAf

故选项A错误，选项B正确,

又Pe=0)=Cθ0.66=0.66,P记NI)=I-Pe=O)=l-0.66,Pe<2)=Pe=0)+PC=1),故选项C、

D正确.

故选：A.

8.已知函数/。)=〃(/-耳-手，若不等式∕*)vθ有且仅有1个整数解，则实数。的取值范围为

()

^In2ln3"∣<ln3Ω「ln2ln2∖「1n3ln2∖

ʌ-卜丁‘一再］b∙(而‘Jc∙⅛,vjd∙⅛,vj

【答案】D

Inx

【分析】将不等式八x)<0有且仅有1个整数解，转化为y=诉二TJ的图像在直线y=0的上方仅

Inx

有1个大于1的整数解，利用导数求得y=χτ=J的单调性，构造出关于实数α的不等式，解之即

可求得实数。的取值范围

【详解】由/⑴=0,可得不等式/(χ)<o有且仅有1个整数解，

即不等式/(X)<0有且仅有1个大于1的整数解，

x>l时，x2一X=X(X-I)>0,

不等式叱7)与<°可化为”Inx

X(X27)，

Inx

即。=x(%2-X)的图像在直线。〃的上方仅有1个大于1的整数解,

、∖nχx2-x-(3x2-2x)lnx

令ZZ(X)=心_价Q>D,则〃(X)=一,2—(x>l)

x∖x~x)X(X-ɪ)

4*k{x)=X2-X-(3x2-2x)Inx(x>1),

则MX)=2x-l-[(6x-2)InX+3x-2]=(l-x)-(6x-2)lnx<0

则依力在(1,÷∞)上单调递减，又MD=O,

则Kx)<O在α田)上恒成立,则〃‘(")<O在a,内)上恒成立，

则久幻在(Lyo)上单调递减，

Inx

又=x(f_x)的图像在直线y=a的上方仅有1个大于1的整数解,

则这个整数解为2,则版3)≤a<∕z(2)

In3=%⑵=In2In2

又M3)=

3(9-3)2(4-2)~4~

故选：D

二、多选题

9.A,B,C,D,E五个人并排站在一起，下列说法正确的是()

A.若4B不相邻，有72种排法B.若A,5不相邻，有48种排法

C.若4,B相邻，有48种排法D.若A,B相邻，有24种排法

【答案】AC

【分析】求得A,5不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A,8相邻时的排法总数判断选项CD.

【详解】A,B,C,D,E五个人并排站在一起，若4,B不相邻,

则先让C,D,E自由排列，再让A,B去插空即可,

则方法总数为A；A：=72(种).则选项A判断正确；选项B判断错误；

A,B,C,D,E五个人并排站在一起，若A,8相邻，

则将4,8“捆绑”在一起，视为一个整体，与C,D,E自由排列即可，

则方法总数为A；=48(种).则选项C判断正确：选项D判断错误.

故选：AC

10.如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，

小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中,

每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为

0,1,2,3,…,10,用X表示小球落入格子的号码，则()

A-P(X=I)=P(X=9)=能

B.P(X=I)=P(X=9)=

C.E(X)=IO

D.O(X)=I

【答案】AD

【分析】分析得到XB[10-∣],进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求

期望和方差.

【详解】设A="向右下落”，N="向左下落”，则P(A)=P(可=g,

因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次,

所以X小0窈，于是P(X=I)=*x(gj=击，同理可得："=9)=或出9Xg=+，

A正确，B错误:

由二项分布求期望及方差公式得：E(X)=IOXg=5,O(X)=I0x；x(l-；)=|,C错误，D正确.

故选：AD

11.已知数列｛4｝满足4+2%++2"T/="∙2"M,贝I]()

A.4=4B.｛%｝的前10项和为150

C.｛(-l)Z｝的前11项和为-14D.｛4—1用的前16项和为168

【答案】ACD

【分析】根据递推公式得4=2〃+2,进而根据等差数列的求和公式即可判断AB,根据并项求和可

判断C,根据正负去绝对值以及等差数列求和可判断D.

【详解】由q+2%++2"%,="∙2"T得:

当“≥2时，β∣+2iz,÷+2"=(〃—1>2",

两式相减得2"&=〃22一(〃-1)2"=("+1)2",

故q=2"+2,(w?2),当”=1时，q=4也符合，故",,=2"+2,

对于A,q=4,故A正确，

对于B,｛4｝的前10项和为H+2?XIO=I30,故B错误，

对于C,｛(T)"q｝的前11项和为-4+%-4+4---即=-4+5?(2)=-14,故C正确,

10-α,,,l≤"≤3∕eN*,

对于D,当%-IO=2"-8≥0,解得w≥4,所以同-IOl=

an-10,n≥4

所以｛∣a,,70∣｝的前16项和为

(10-αl)+(10-¾)+(10-03)+(α4-10)+(α5-10)+(α16-10)

=(6+4+2)+(0+2+4++24)=12+^-----ɔ—-=168,故D正确，

故选：ACD

12.定义：设尸(%)是/(x)的导函数，/"(x)是函数:(x)的导数，若方程/(x)=0有实数解%,

则称点(XOj(XO))为函数y=f(χ)的“拐点”羟过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”

就是三次函数图像的对称中心，已知函数〃")=加+/+*出;=0)的对称中心为(1,1),则下列说

法中正确的有()

A.a=；力=TB.函数"x)既有极大值又有极小值

C.函数”χ)有三个零点D.过(-1,；)可以作两条直线与y="χ)图像相切

【答案】ABD

【分析】求得了'(X)=3"2+2⅛X,f∖x)=6ax+2b,根据题意列出方程组，求得的值，可判定A

正确；求得/'(x)=χ2-2x,得出函数的单调性，结合极值定义，可判定B正确；根据极大值和极

小值都大于0,可判定以C错误；设切点为T(X°,%),求得切线方程，代入点(Tg),求得为的值,

可判定D正确.

【详解】对A,由题意，函数〃司=/+加+*可得/'(x)=3ο√+次，f∖x)=6ax+2h,

[Γ(l)=0[6α+2⅛=0

所以1/、I，即，5,,解得α=∖b=T,所以A正确；

/(1)=1a+b+-=∖3

对B,因为/(x)=gχ3-χ2+g,可得/'(X)=X*-2x,

当xw(e,0)时，∕{x)>O,/(x)单调递增；

当xe(0,2)时，∕,(x)<0,/(x)单调递减；

当xe(2,a)时，/(x)单调递增；

所以函数f(x)既有极大值又有极小值，所以B正确；

对C,当X=O时，函数/(x)取得极大值，极大值为"0)=g,

当*=2时，函数“X)取得极小值，极小值为/(2)=；,

因为/(0)>0,42)>0,即〃x)的极大值与极小值都大于0，

所以函数至多有一个零点，所以C错误；

对D,设切点为T(X(1,%),可得/(XO)=¥-2与，即切线的斜率/=x；-2x。，

所以切线方程为y-gx：-*+1)=(片-2x°)(x-x0),

1Ila,5，

-

又由切线过点(-与)，则]-(qXo-苟+])=(诟2x0)(-1-Jf0),

2

整理得宕-3/-2=0,QP(x0+I)(x0-2)=0,解得Xo=-I或％=2,

即满足题意的切点只有两个，所以满足题意的只有两条切线，所以D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.袋中有同样大小的球7个，其中4个红球，3个黄球，现从中随机地摸出4球，则红色球与黄

色球的个数恰好相等的概率为.(结果用最简分数表示)

【答案曜

【分析】根据超几何分布求概率.

【详解】红色球与黄色球的个数恰好相等即红色球与黄色球的个数都为2,

所以所求概率为岂噬.

1Q

故答案为：ʌj.

14.橘生淮南则为橘，生于淮北则为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方

就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随

之改变.某科研院校培育橘树新品种,使得橘树在淮北种植成功,经过科学统计,单个果品的质量只单

位：g)近似服从正态分布N(90Q2),且P(86<J≤9O)=O.2,在有IOOO个的一批橘果中，估计单

个果品质量不低于94g的橘果个数为.

【答案】300

【分析】先按照正态分布计算出不低于94g的概率，再计算出个数即可.

202

【详解】结合正态分布特征，P(86<J≤90)=P(90<J≤94)=0.2,P(⅜≥94)=ɪ"^-=0.3,

以估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为0.3x1000=300.

故答案为：300.

15.口袋中放有大小相等的2个白球和1个黑球，有放回地每次摸取1个球，定义数列｛“"｝：若第”

次摸到白球，a,,=-[.若第〃次摸到黑球，4=1.设S(I为数列｛”,,｝的前“项和，则S,=3的概率为

【答案】言

【分析】题意邑=3说明共摸球七次，只有两次摸到白球，利用独立事件的概率公式求解即可

【详解】由题意邑=3说明共摸球七次，只有两次摸到白球，

因为每次摸球的结果之间没有影响，摸到白球的概率是彳，摸到黑球的概率为:，

ɔɔ

所以只有两次摸到白球的概率为Clr[(2]=至,

⑶⑴729

故答案为：■

16.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用

广泛.其定义是：对于函数/(X),若数列｛4｝满足X向则称数列｛χ,,｝为牛顿数列,若

f'M`

函数F(X)=X2,4=l0g2X",且4=1，则%=.

【答案】-7

【分析】先利用题给条件求得数列｛α,J是首项为1公差为-1的等差数列，进而求得。9的值.

【详解】/(x)=√,则尸(X)=2x；由4=IogzX,,可得匕=2%

则由⅞+,=%一点彳，可得2*=

则4+∣=4-l,又4=1，则数列｛4｝是首项为1公差为-1的等差数列，

则α,,=l-("-I)=2-w,则%=2-9=-7

故答案为：-7

四、解答题

17.设函数/(x)=α√+bx+l在x=l处取得极值-1.

(1)求。、b的值；

⑵求,(x)的单调区间.

【答案】(1)。=1力=-3

(2)/(x)的单调递增区间为(7,-1),(1,T8),单调递减区间为(-1,1).

【分析】(1)根据极值和极值点列出方程组，求出=-3；(2)结合第一问得到单调区间.

【详解】(1)f'(x)=3axi+b,由题意得：∕,(l)=3α+⅛=0,/(l)=α+⅛+l=-l,

解得：a=l,b=-3,

此时∕(x)=3χ2-3=3(x+l)(x-1),

当-l<xvl时，∕,(x)<0,当x<-l或χ>l时，∕,(x)>0,

故χ=l为极值点，满足题意，

所以“=Is=-3.

(2)由(1)可知:当-l<x<l时，f'(x)<O,当XC-I或x>l时，f∖x)>O,

故/(x)的单调递增区间为(―,-1),(1,+∞),单调递减区间为

18.某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗.

⑴依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；

(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率.

【答案】⑴:

呜

【分析】(1)设事件4=”第i次取到的是小兔盲盒”，i=1,2,求出P(A),P(AlA),再根据条件

概率的概率公式计算可得；

(2)设事件与="第i次取到的是小狗盲盒"，i=l,2,求出P(A),P(β2∣βl),P(B2IA),再根据

全概率的概率公式计算可得.

【详解】(1)设事件A="第i次取到的是小兔盲盒”，i=l,2.

∙∙∙P(4)=浮=；P(AzlA)哈=；,

p(AA2)=P(A)P(AJA)==,,

即第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率为

(2)设事件瓦=”第i次取到的是小狗盲盒"，i=l,2.

Vp(B,)=∣i=∣,尸(因止m，尸(用⑷写《

J‘v6ɔy/

由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为

P(B2)=P(BI)×P(B2∣BI)+P(A)×P(B2∣A)

3141

=­X—+—X—

7372

——3

7.

19.已知向量α=卜zT^sinx.cos%),∕>=(cosx,6),设函数/(x)=α∙A.

(1)求函数f(χ)的最大值;

(2)在锐角ABC中，三个角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若f(B)=Qb=",

3sinA_2SinC=0,求A8C的面积.

【答案】(1)/(x)IraX=26+3；(2)当.

【分析】⑴结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得f(x)=2GSin3+|不)+3,

进而可得/(x)的最大值；

(2)由锐角,ABC,推出再结合/(B)=0,求得B=。，由正弦定理知3a=2c,

再利用余弦定理求出α=2,c=3,最后由三角形面积公式得解.

【详解】(1)因为O=(-2GSinX,cos?X),O=(CoSX,6),

所以函数/(x)=o∕

=-2Λ∕3sinXcosx+6cos2x=--V3sin2x+3cos2x÷3

=2V3sinf2x+∣∙^∙j+3

.∙.当sin(2x+|;r)=l时，/(x)nκ,x=2√3+3

TT

(2)・・・ABC为锐角三角形，∙∙.0<3<,.

25

...乃<23+—)〈二万又./(B)=O

33

.∙.sinf2θ+-=-—∙'∙2B+-π=-π:.B=-

I3J2333

3sinA-2sinC=0/.3a=2c

a2+c1-b1ɪa2+-a2-7.

cosBd=--------------=-即t3π4_______]

2ac23/~2

..ci—2,c=3

,„1。q有_3√J

..S.=—×2×3×—二---

ablicr222

20.某产品按照产品质量标准分为1等品、2等品、3等品、4等品四个等级.某采购商从采购的产

品中随机抽取100个，根据产品的等级分类标准得到下面柱状图：

(1)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3个，求恰好有1个4等品的概率；

⑵按分层抽样从这IOO个产品中抽取10个.现从这10个产品中随机抽取3个，记这3个产品中1

等品的数量为X,求X的分布列及数学期望.

【答案】(1):

(2)分布列见解析；期望为:

【分析】(1)利用二项分布即可求得从采购的产品中有放回地随机抽取3个，恰好有1个4等品的

概率;

(2)利用超几何分布求得1等品的数量X的各个值对应的概率，进而得到X的分布列及数学期望.

【详解】(1)从采购的产品中有放回地随机抽取3个，记4等品的数量为3

201

由已知取1个产品为4等品的概率为赤=W,

1005

依题意，4~《引，则PC=I)=CmcJ=栽，

即恰好有1个4等品的概率为需；

(2)分层抽样从这100个产品中抽取10个产品中，

1等品的有券xlθ=4个，非1等品的有提xlθ=6个，

依题意，X=O,1,2,3,

P(X=O)=噌三，P(X=I)=警Lg,

等亮30

P(X=2)=P(X=3)=⅛CC^J1

♦30

则X的分布列为:

X0123

131

Pɪ

621030

E(X)=()×i+l×i+2×-ɪ+3×-!-=-.

6210305

21.已知数列｛α,,｝的前〃项和为S“，从条件①：a2=at+2,且2q,=4+S,,、条件②：｛q｝为等比

a

数列，且满足S“=2向+及(π∈N)这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题.注：如

果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

12

⑵设"=7∑;---------------------("eN*),记他｝的前八项和为I，若对任意正整数”，都有(<储+w'

lθ⅛2a2n-∖10fe2出”+3ɔ

恒成立，求实数4的取值范围.

【答案】(l)q,=2"

【分析】(1)由”“与5“的关系或等比数列的定义及通项公式求解即可;

(2)由裂项相消法求出工,后，再由+:/I恒成立进行求解即可.

【详解】(I)若选择条件①：

则由2q,=4+5“，当”≥2时，有2%τ="∣+5flτ,

两式相减，#2a„-2an_t=Sn-Sn_t=an,Epan=2an_t(w≥2),

；•数列｛q,｝是公比4=2的等比数列，

又∙.*a2=α∣+2,a2=axq=2al=al+2,解得q=2,

.∙.a,=aiq"-'=2".

若选择条件②：

•••｛%｝为等比数"J,且满足S,,=2"+'+k,

:∙a?=S2—S[=(8+A)—(4+2)=4,%=S3—S2=(16+⅛)-(8÷⅛)=8,

.∙,4=色=2,4=匡=2,

a2q

π-l

・・。〃=axq=2”.

(2)由第(1)问，aπ=2",

2Π2+3

ΛIog2a2n_1=Iog22~'=2n-∖,Iog2α2n+3=log,2"=2n+3,

1

：.b=________!___=_____=1O___■_)

"Iog2a2n,i-Iog2α2π+3(2n-l)(2n+3)4(2〃-l2n+3J

(⅛-⅛M⅛-⅛)

--ɪ-----ɪ

34

β.,∏∈N+，∙'∙--------1--------->0,.,.T---------1---------1---------I<-