2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省大连三十七中九年级(上)期末数学试卷

一、选择题(本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.如图，点4B,C均在o。上，若44。8=50。，则NACB的度数是()

A.25°

B.50°

C.75°

D.IOO0

2.如图，已知D,E分别是4B,AC上的点，HDE/∕BC,AE=2k,EC=k,DE=4,那么

BC等于()

A.4B.5C.6D.8

3.二次函数y=-2(》一1)2+3的图象的顶点坐标是()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)

4.如图，正六边形4BCDEF内接于。0,。。的半径为1,则边心距OM的长为()

A.C

B∙?

c4

D.20

5.将抛物线y=Q+1)2-4的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物

线的解析式是()

A.y=(x—I)2—1B.y=(x+3)2—1C.y=(x—I)2—7D.y=(%+3)2—7

6.在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点。为位似中心，将△EFO放大

为原来的2倍，则点E的对应点El的坐标是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(―8,4)或(8,-4)D.(一2,1)或(2,-1)

7.在同一平面内，己知。。的半径为2cm,OP=5cm,则点P与。。的位置关系是()

A.点P在。。圆外B.点P在。。上C.点P在。。内D.无法确定

8.若某人沿倾斜角为S的斜坡前进IOOm,则他上升的最大高度是()

ʌ-赤机B-10°SESmC.—mD.100cosβm

9.如图，在平面直角坐标系中，点4的坐标为(3,4),那么Sina的值是()

3

B

-

4

4

C

-

5

4

-

D.3

10.已知一个扇形的半径为60cτn,圆心角为180。，若用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆

锥的底面半径为()

A.15CmB.20cmC.25cmD.30cm

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

11.某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是l∙5τn,影

长是1m,旗杆的影长是8m,则旗杆的高度是m.

12.如图是水平放置的水管截面示意图，己知水管的半径为50cm,水面宽力B=80cτn,则

水深CC约为cm.

13.已知函数y=-(x-l)2+2图象上两点4(2,yι),B(3,y2),则为与力的大小关系是火

乃(填“<”、">”或“=”)

14.如图，在平面直角坐标系中，正方形。4Be与正方形。CEF是位似图形，点。为位似中心,

位似比为2：3,点B、E在第一象限，若点4的坐标为(4,0),则点E的坐标是.

15.如图，在。。中，弦BC=2,点4是圆上一点，且4BAC=30°,则。。的半径是.

16.如图，若被击打的小球飞行高度九(单位：m)与飞行时间t(单位：S)之间具有的关系为/i=

20t-5t2,则小球从飞出到落地所用的时间为s.

三、解答题(本大题共9小题，共92.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

(1)解方程：X2—4x—8=0；

(2)计算：I-2∣+Otαn30°-2^1+(-2022)0∙

18.(本小题10.0分)

如图，乙CAB=4CBD,AB=4,AC=8,BD=12,BC=6.求CD的长.

19.(本小题10.0分)

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△4BC的三个顶点的坐标分

别为月(-3,4),B(-5,2),C(-2,l).

(1)将AABC绕原点。顺时针方向旋转90。得到的44ιBιG,写出B1,G的坐标：

(2)求(I)中线段OB扫过的图形面积.

20.(本小题10.0分)

如图，抛物线y=-/+bx+C与X轴交于4、B两点，与y轴交于C点，点4的坐标为(3,0),点

C的坐标为(0,3).

(1)求b与C的值；

(2)求函数的最大值；

(3)M(Tn,ri)是抛物线上的任意一点，当n≥3时，利用函数图象写出m的取值范围.

21.(本小题10.0分)

如图，建筑物BC上有一旗杆4B,从与BC相距20m的。处观测旗杆顶部4的仰角为52。，观测

旗杆底部B的仰角为45。,求旗杆AB的高度(结果保留小数点后一位.参考数据：sin52。≈0.79,

cos52°≈0.62,tan52o≈1.28,√~2≈1.41).

22.(本小题10.0分)

如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18米，设这个苗圃园

垂直于墙的一边AB的长为X米，苗圃园的面积为y平方米.

(1)求y关于X的函数表达式.

(2)当X为何值时，苗圃的面积最大？最大值为多少平方米？

23.(本小题10.0分)

如图，AB是。。的直径，AD与。。交于点A,点E是半径04上一点(点E不与点0,4重合).连

接。E交OO于点C,连接CA,CB.若CA=CD,∆ABC=ZD.

(1)求证：4。是。。的切线；

(2)若AB=13,CA=CD=5,贝何。的长是.

24.(本小题10.0分)

如图，AABC中，ZC=90o,AB=S,tanA=2,点P从点4出发，以每秒1个单位长度的速

度沿AB向点B运动，过点P作PnIAB交△4BC的直角边于点D,以PD为边向PD右侧作正方

形PDEF.设点P的运动时间为，秒，正方形PDEF与4ABC的重叠部分的面积为S.

(1)用含t的代数式表示线段Po的长；

(2)求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围.

25.(本小题10.0分)

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图，在AABC中，BA=BC,AB=ATIC,点尸在AC上，点E在8尸上，BE=2EF,点D在BC延

长线上，连接AD、AE,∆ACD+Z.DAE=180°,探究线段AD与AE的数量关系并证明.

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现NC4D与NEAB相等”

小亮：”通过观察和度量，发现4FAE与NC也相等”

小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与4E的数量关系

(I)求证：Z.CAD=∆EAB;

(2)求喘的值(用含有K的式子表示).

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：∙∙∙/-AOB=50°,

•••4ACB=∖^AOB=ɪ×50°=25°,

故选：A.

利用圆周角定理，进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

2.【答案】C

【解析】解：DE//BC

∙-∙ΔADE∙^^ABC

∙∙∙ED∙.CB=AE：AC

设Z)B=AE=X

•：AE=2k,EC=k,DE=4,

.∙.4：BC=2k：(2∕c+fc),

解得BC=6.

故选：C.

根据已知可证A4OESAABC,可得DE：CB=AE：AC,即可求BC的长.

本题考查了平行线分线段成比例定理以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例.

3.【答案】A

【解析】解：二次函数丫=一2(%-1)2+3的图象的顶点坐标为(1,3).

故选：A.

根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可.

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键.

4.【答案】B

【解析】解:连接。8,

•••六边形ABCDEF是OO内接正六边形，

360°

Λ乙BOM=聋=30°,

6x2

.∙.OM=OB-cos∆B0M=IXy=/；

故选：B.

根据正六边形的性质求出NBOM,利用余弦的定义计算即可.

本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是

解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：将抛物线y=(x+1)2-4的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的

抛物线的解析式是：y=(x+3)2-4+3,即y=Q+3)2-1,

故选：B.

根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可.

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：••・原点。为位似中心，将AEFO放大为原来的2倍，点E的坐标为(一4,2),

•••点E的对应点Ei的坐标为(一4X2,2X2)或(一4X(-2),2X(-2)),即(一8,4)或(8,-4),

故选：C.

根据位似变换的性质解答即可.

本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为匕

那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

7.【答案】A

【解析】解：TG)。的半径为2cm,OP=5cm,

•••点P到圆心的距离大于圆的半径，

.∙.点P在。。外.

故选：A.

根据点与圆的位置关系的判定方法对点P与。。的位置关系进行判断.

本题考查了点与圆的位置关系：设C)O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则点P在圆外Qd>

r；点P在圆上=d=r；点P在圆内od<r.

8.【答案】B

【解析】解：由题意得：∆B=β,AB=100m,

.AC

.SinBd=而，

：.AC=AB∙sinB=100sinβ(m'),

故选：B.

根据正弦的定义计算即可.

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记正弦的定义是解题的关键.

9.【答案】C

【解析】解:过4作4B1%轴于氏如图,

••,点4的坐标为(3,4),

OB=3,AB=4,

・・・OA=√OB2-VAB2=√32+42=5，

在RtA40B中，Sina="

OA5

故选：C.

过A作ABIX轴于B,如图，先利用勾股定理计算出。4=5,然后在RtAAOB中利用正弦的定义

求解.

本题考查了锐角三角函数的定义，充分利用勾股定理和解直角三角形计算三角形的边或角.也考

查了坐标与图形性质.

10.【答案】D

【解析】解：设这个圆锥的底面半径为rem,

根据题意得2τrr=I®腺60,

IoU

解得r=30,

即这个圆锥的底面半径为30cm∙

故选：D.

设这个圆锥的底面半径为rem,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面

的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2α=18。第60,然后解方程即可.

IoU

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

IL【答案】12

【解析】解：设旗杆的高度为工,

根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，得：¥=?

ɪO

•••旗杆的高度是12m.

故答案为：12.

因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的，所以同学的身高与其影子长的

比值等于旗杆的高与其影子长的比值.

本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比

值是相同的.

12.【答案】20

【解析】解：连接04、如图，设。。的半径为R,

∙∙∙C0为水深，即C点为弧AB的中点，CDl4B,

∙∙.CO必过圆心。，即点。、。、C共线，AD=BD=∖AB=40,

在RtAOAD中，OA=50,OD=50-x,AD=40,

∙.∙OD2+AD2=OA2,

.∙.(50-X)2+402=502,解得X=20,

即水深CD约为为20.

故答案为；20

连接04设CD为X,由于C点为弧AB的中点，CDlAB,根据垂径定理的推理和垂径定理得到CD

必过圆心0,即点。、D、C共线，AD=BD=^AB=40,在RtA04D中，利用勾股定理得(50—

x)2+402=502,然后解方程即可.

本题考查了垂径定理的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后垂径定理和勾股定理相结合，

构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.

13.【答案】>

【解析】解：:、=一(％-1)2+2,

•••二次函数图象开口向下，对称轴为直线X=1,

3>2>1,

∙∙∙yi>y2∙

故答案为：>.

先根据函数解析式确定出对称轴为直线X=1，再根据二次函数的增减性，x>l时，y随X的增大

而减小解答.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键.

14.【答案】(6,6)

【解析】解：正方形OaBC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3,

OA2OC_24242

"0D~3,^0F~3,πUtlOO-3,OF~3,

解得，OD=6,OF=6,

则点E的坐标为(6,6),

故答案为：(6,6).

根据位似变换的概念、相似三角形的性质列式计算即可.

本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质、正方形的性质，掌握位似变换的两个图形相

似是解题的关键.

15.【答案】2

【解析】解：连接。8、OC,如图，

•••∆BOC=2∆BAC=2X30。=60°,

而OB=OC,

.∙∙∆OBC为等边三角形，

.∙.OB=BC=2,

即OO的半径为2.

故答案为：2.

连接08、0C,根据圆周角定理得4B0C=2/B4C=60。，而OB=OC,于是可判断△OBC为等边

三角形，所以OB=BC=L

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了等边三角形的判定与性质.

16.【答案】4

【解析】

【分析】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出

到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题.此题较为简单，根据关系式，令

h=0即可求得t的值为飞行的时间.

【解答】

解：依题意，令∕ι=0得：

0=20t—5t2,

得t(20-5t)=0,

解得t=0(舍去)或t=4,

即小球从飞出到落地所用的时间为4s.

故答案为4.

17.【答案】解：(1)/—4x—8=0,

x2-4x=8,

x2-4x+4=8+4,即(X-2)2=12,

X-2=+2Λ∕^^31

,--

..x1=2+2-∖∕3,X2=2—2√3;

(2)原式=2+/3x?-g+l

=2+l-∣+l

—3ɪ

一打

【解析】(1)方程利用配方法求出解即可；

(2)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负

整数指数基法则计算，最后一项利用零指数基意义计算即可得到结果.

此题考查了解一元二次方程，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.【答案】解：4B=4,AC=8,BD=12,BC=6,

.AC_AB_2

BDBC3

•・•Z-CAB=Z-CBD1

・•・△ABC^∆,BCD,

,BC_2

—=一«

CD3

3

ΛCD=∣BC=9.

故Co的长为9.

【解析】由NCAB=NC8D,AB=4,AC=8,BD=12,BC=6,即可证得△48CS△BCD,然

后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长.

此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

19.【答案】解：(I)如图，BlCI即为所求;

(2)OB=√22+52=√^9,

二线段04扫过的图形面积="答=竽.

【解析】(1)根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△必当Ci即可；

(2)利用扇形的面积公式即可得出结论.

本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.

20.【答案】解:(I)∙∙∙C点坐标为(0,3),

・•・c=3,

∙∙∙A坐标为(3,0),

代入可求得b=2；

(2)由(1)可知抛物线解析式为y=-X2+2x+3,y=-(%一I)2+4,

，函数的最大值为4,

(3)在抛物线y=-X2+2%+3,令y=可得—必+2x+3=ɪ,

解得X=T或%=?,又二次函数开口向下，

二当n≥3时，一T≤τn≤|.

【解析】(1)把4、C两点坐标代入抛物线解析式可求得b、c；

(2)把二次函数化成顶点式可求得其最大值；

(3)在抛物线中令y=孑求得X值，根据图象可得出小的取值范围.

本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握二次函数顶点式是解题的关键，注意数形结合思想

的应用.

21.【答案】解：在RtABCD中，∙.∙tan∕BOC=保,

・•.BC=CDtan乙BDC=20×tan45o=20m,

在Rt△ACD中，∙.∙tanN/WC=叙

・•.AC=CD-tan∆ADC=20×tan52o≈20×1.28=25.6m,

・•・AB=AC-BC=5.6m.

答：旗杆AB的度约为5.6zn.

【解析】在RtZiBCD中，利用正切函数求得BC,在RtCD中，利用正切函数求得4C,即可根

据AB=AC-BC求得旗杆4B的高度.

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角

三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.

22.【答案】解：(1)根据题意得:y=x(30—2x)=-2x2+30x,

y关于X的函数表达式为y=-2x2+30x；

(2)由题意得：0<30-2x≤18,

解得6≤x<15,

由⑴知，y=-2x2+30x=-2(x-y)2+ψ,

V—2<O,6≤x<15,

•••当X=争寸，y有最大值，最大值为争，

答：当X=:时，苗圃的面积最大，最大值为竽平方米.

【解析】（1）根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；

（2）由函数的性质求函数的最值.

本题考查二次函数的应用，明确题意列出函数解析式是解答本题的关键.

23.【答案】解：⑴•••4B是O。的直径，

ΛZ-ACB=90°,

・・・∆BAC÷Z.ABC=90°.

又CA=CD,

：•Z-D=∆CADf

又•・•∆ABC=Z.D,

Z.CAD÷∆BAC=90°,

即。4LAD9

・•.A。是。。的切线；

⑵罟・

【解析】（1）根据圆周角定理得到乙4CB=90。，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得

∆CAD+∆BAC=90°,进而得出结论；

（2）由（1）可得4/8C+∆BAC=90°=乙D+4DEA,

•・•∆ABC=Z-D,

∆BAC=∆DEA9

CE=CA=CD=5,

・・・DE=10,

在Rt△4BC中，由勾股定理得，

BC=√AB2-AC2=√132—52=12,

•・・∆ACB=Z.DAE=90o,Z.ABC=乙D,

・•.△ABCSAEDA,

.∙∙丝=叱

EDAD

即区=工，

10AD

解得，ZD=翳.

本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三

角形的判定和性质是解决问题的前提.

24.【答案】解：（1）如图1中，过点C作CHJLaB于H.则NaHC=NCHB=90。，设ZH=m.

图1

在RtZMCH中，^-=tanA=2,

AH

・・・CH^∖2AH=2τn,

•・・∆A+∆ACH=90o,∆ACH+乙BCH=乙ACB=90°,

・•・∆BCH=乙4,

在RtZiBCH中，铝=tan∕BCH=2,

Cn

ΛBH=2CH=4m,

・・・AH+HB=ABf

*∙5m--5>

：・m=1,

•••四边形PDEF是正方形，

∆APD=上DPF=90°,

①当0<t≤l时，如图1中，隽=tαπA=2,

.∙.PD=2PA=2t.

②当l<t<5时，如图2中,

图2

VNA+NB=90o,NB+乙PDB=90°,

.∙∙Z.PDB=∆A,

在RtΔDPB中，器=tan∆BDP=2,

1115

.∙.PDEPB="(5-t)=-^t+∣.

(2)当点E落在BC上时，如图3中，由题意EF=PF=P。=23BF=2EF=4t,

图3

VAPPF+BF=AB,

，t+2£+4t=5,

・一5

∙∙t-7,

①当0<t≤决寸，重叠部分是正方形PDE凡如图1中，S=(2t)2=4t2.

②当,<t≤l时，重叠部分是五边形PDMNF,如图4中，EF=PD=PF=2t,

图4

在RtZiBNF中，FN=TB尸=g(5-3t),

・・・EN=EF-FN=2t-^5-3ty)=^t-γ

在RtZkEMN中，EM=2EN=7t-5t,

UUU_∣.2ɪr\2_332•3525

:∙S=S正方形PDEF_SAEMN=4zt-4(7t-5)=-Tt+Tt~~4'

③当IVt<5时，重叠部分是四边形PDNF,如图2中，S=S"OP-S^BNF=2x(5-t)x2(5-

pt2(o<t≤∣)

综上所述，S=j-yt2+yt-yG<t≤l).

⅛t2-Tt÷lIQ<t