2023-2024学年太原市高一数学上学期期末学业诊断卷附答案解析

2023-2024学年太原市高一年级上学期期末学业诊断数学试卷2024年1月说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.一､选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．2．已知，且，则角是（

）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．函数的定义域为（

）A． B． C． D．4．是的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．6．已知，且，则（

）A． B． C． D．7．已知，，且，，则（

）A． B． C． D．8．若实数，，满足，，，则（

）A． B． C． D．二､多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期B．的定义域为C．的值域为D．是奇函数10．已知，且，则下列结论正确的是（

）A．当时，在上是增函数B．不等式的解集是C．的图象过定点D．当时，的图象与的图象有且只有一个公共点11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．函数的最小正周期B．函数图象关于直线对称C．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象D．在上恰有3个零点，则实数的取值范围是12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，，，，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三､填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的面积是.14．已知函数与互为反函数，则.15．已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为.16．已知实数满足，则.四､解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（1）求的值；（2）已知，试用表示.18．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点.(1)求的值；(2)求的值.19．已知，且.(1)求的值；(2)求的值.20．已知函数.(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)判断在上的单调性，并证明你的判断；(3)对任意，若恒成立，求实数的取值范围.21．已知函数，其中.(1)求使成立的取值范围；(2)若函数，且对任意的，当时，都有成立，求实数的最小值.1．D【分析】由终边相同的角的定义计算即可得.【详解】与角终边相同的角为，当时，有，D正确，其他选项检验均不成立.故选：D.2．A【分析】由条件得到判断.【详解】解：因为，且，所以，所以是第一象限角，故选：A3．C【分析】根据具体函数的特征，列式求函数的定义域.【详解】函数的定义域需满足不等式，即，即，所以函数的定义域为.故选：C4．D【分析】结合充分条件与必要条件的定义举出反例即可得.【详解】当时，如，有，当时，如，故是的既不充分也不必要条件.故选：D.5．C【分析】得出函数的单调性后借助零点的存在性定理即可得.【详解】由，故在上单调递增，又，，故函数的零点所在的区间为.故选：C.6．B【分析】先由，且，判断出，再利用平方关系求解.【详解】解：因为，且，所以，则，故选：B7．C【分析】求得，然后结合角范围可得．【详解】由已知，，∴．故选：C．8．A【分析】利用对数函数的性质可判定，构造函数，利用导数研究其单调性可判定.【详解】因为，利用换底公式可知，构造函数，显然时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减，所以由，即，所以，综上.故选：A【点睛】难点点睛：观察式子发现利用对数函数的性质可判定，即底数大于1时，底数越大图象在第一象限内越平缓，步骤上可以由换底公式计算；对于后两项对比可以构造，通过其单调性进行对比即可.9．BD【分析】结合正切函数的性质逐项判断即可得.【详解】对A：由，故的最小正周期，故A错误；对B：由题意得：，即，故的定义域为，故B正确；对C：由，故的值域为，故C错误；对D：的定义域为，，故是奇函数，故D正确.故选：BD.10．AC【分析】对A、B、C，结合对数函数性质逐项判断即可得，对D，将函数图象交点个数转化为研究函数的零点个数，借助零点的存在性定理即可判断.【详解】对A：当时，在上是增函数，故A正确；对B：当时，，则，当时，，故B错误；对C：，故C正确；对D：当时，，令，有，，，故在及上都至少有一根，即的图象与的图象在及上都至少有一个交点，故D错误.故选：AC.11．BC【分析】由图象可得函数解析式，借助正弦型函数的性质逐项分析即可得.【详解】由图可得，，则，有，即，由，故，即，对A：由，故A错误；对B：令，解得，故B正确；对C：把函数的图象向左平移个单位长度，可得，故C正确；对D：当时，，则有，即，故D错误.故选：BC.12．ACD【分析】作出函数的图象和直线后直接判断A，由图象确定的关系及范围，然后利用对勾函数性质判断BC，结合二次函数性质判断D．【详解】作出函数的图象，，再作出直线，如图，由得，由对称性得，且，，，因此，A正确；，当且仅当时等号成立，又时，，时，，因此由对勾函数性质可得，B错；同理由对勾函数性质得，因此，C正确；因为，则，D正确．故选：ACD．13．【分析】先将角度转化成弧度制，再利用扇形面积公式计算即可.【详解】扇形的圆心角为120°，即，故扇形面积.故答案为：.14．9【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得，故.故答案为：9.15．【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.【详解】令，则，当时，，由题意可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.16．##【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，即可得解.【详解】由，即，即，由，即，令，则在定义域内单调递增，有，，故，故.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数，结合单调性从而得出.17．（1）；（2）【分析】借助对数的运算性质计算即可得.【详解】（1）原式；（2）18．(1)(2)【分析】（1）借助三角函数的定义计算即可得；（2）借助辅助角公式计算即可得.【详解】（1）角终边经过点，，；（2）原式.19．(1)(2)【分析】（1）借助二倍角公式与三角函数基本关系将弦化为切计算即可得；（2）结合三角函数基本关系与三角恒等变换计算即可得.【详解】（1），且，则；（2），，，，，则，即，，.20．(1)偶函数，理由见解析(2)单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）借助奇、偶函数的定义判断即可得；（2）由符合函数的性质可直接判断，借助函数单调性的定义即可证明；（3）结合函数的单调性与奇偶性计算即可得.【详解】（1）函数为偶函数，理由如下：由题意得，，函数的定义域为，关于原点对称，又为偶函数；（2）函数在上单调递减，证明如下：取，且，，，函数在上单调递减；（3）由题意得，当时，则，当时，则，（当且仅当时等号成立），