方程的根与函数的零点 课件

方程的根与函数的零点

1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的________．2．函数零点与方程根的关系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的_____，也就是函数y＝f(x)的图象与_____的交点的______，所以方程f(x)＝0有_____⇔函数y＝f(x)的图象与__________⇔函数y＝f(x)______．f(x)＝0零点实根x轴横坐标实根x轴有交点有零点3．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)_____，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)使f(x0)＝0，这个x0

也就是方程f(x)＝0的根．<0

1．函数的“零点”是一个“点”吗？【答案】函数的零点并不是指一个点，而是满足f(x)＝0的实数x的值．【答案】不对，因为f(x)的图象在(－1,1)内不连续，是间断的，不符合零点存在定理的条件．1．函数f(x)＝log5(x－1)的零点是(

)A．0 B．1C．2 D．3【答案】C2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是(

)A．a<1 B．a>1C．a≤1 D．a≥1【答案】B3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数零点的个数是________．【答案】24．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．【答案】－31．函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点：(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)＝0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2．函数零点的判断一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．思路点拨：根据函数零点的定义，求出方程的根即可．思路点拨：利用代入法求解．答案：B(1)

方法点评：本题重点考查函数零点的分布问题，解答本题的关键是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义．用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点．设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制，要注意：(1)判别式；(2)对称轴；(3)所给区间端点的函数值；(4)开口方向．【例4】

若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围．错解：由题意可得，实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，∴a＝1.错因分析：没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．误区解密因忽略对二次项系数的讨论而出错正解：(1)当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的取值范围为{a|a＝0或a＝1}．纠错心得：对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．1．函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．课堂总结2．并不是所有的函数都有零点，即使在区间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)内至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不说明函数y＝f(x)在区间(a