2024年中考数学专题训练 专题10 截长补短模型综合应用（专项训练）能力提升（原卷版+解析）

专题10截长补短模型综合应用（专项训练）(能力提升）1．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．2．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），过点D作DF∥AE，交射线BC于点F，作FP⊥BD于点P，连结PA、PE．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）①判断△APE的形状，并说明理由；②求的值；（3）设BE＝x，PD＝y，求y与x的函数关系式．3．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝，“旋补中距”CE长度＝；（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．（1）如图1，若连接BD，CE，则BD与CE的关系为；（2）如图2，若连接CD，BE，取BE中点F，连接AF，探究AF与CD的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝3，AC＝，请直接写出线段AE的长．5．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．6．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．7．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为cm．8．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．专题10截长补短模型综合应用（专项训练）（能力提升）1．综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．【解答】解：（1）AE＝EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°，（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP的最小值为AG的长，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝＝4，∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4．2．如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（与点B、C不重合），过点D作DF∥AE，交射线BC于点F，作FP⊥BD于点P，连结PA、PE．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）①判断△APE的形状，并说明理由；②求的值；（3）设BE＝x，PD＝y，求y与x的函数关系式．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ABE＝90°，AB＝DC，∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠DCF，∵DF∥AE，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS）；（2）解：①△APE是等腰直角三角形．理由如下：如图，连接CP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC，∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA＝PC，∠APB＝∠CPB，∵FP⊥BD，∠PBF＝45°，∴△PBF是等腰直角三角形，∴PB＝PF，∠PFB＝∠PBF＝45°，∵△ABE≌△DCF，∴BE＝CF，∴△BEP≌△FCP（SAS），∴PE＝PC，∠BPE＝∠FPC，∴PA＝PE，∠APE＝∠APB+∠BPE＝∠BPC+∠FPC＝∠BPF＝90°，∴△APE是等腰直角三角形；②∵△APE是等腰直角三角形，∴＝，∵△ABE≌△DCF，∴AE＝DF，∴＝＝；（3）设BE＝x，PD＝y，则BF＝x+1，∵△PBF是等腰直角三角形，∴PB＝（x+1），∵BD＝，∴y＝﹣（x+1），即y＝﹣x+（0＜x＜1）．3．我们定义：如图1，在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，连接A′B′．我们称△A′B′C是△ABC的“旋补交差三角形”，连接AB′、A′B，我们将AB′、A′B所在直线的相交而成的角称之为△ABC“旋补交差角”，C点到A′B′中点E间的距离成为“旋转中距”．如图1，∠B′OB即为△ABC“旋补交差角”，CE即为△ABC“旋补中距”．（1）若已知图1中AB的长度等于4，当∠ACB＝90°，则△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，“旋补中距”CE长度＝2；（2）若图1中∠ACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；（3）已知图2中△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4，A′B′长度等于6，问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∵∠ACB＝90°，∴∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠ACB+∠ACA'＝180°，∠ACB+∠BCB'＝180°，∴点A，点C，点B'共线，点B，点C，点A'共线，∴AB′、A′B的交点O与点C重合，∴△ABC“旋补交差角”∠B′OB＝90°，∵AC＝A'C，∠A'CB'＝∠ACB＝90°，BC＝B'C，∴△ACB≌△A'CB'（SAS），∴AB＝A'B'＝4，∵点E是A'B'的中点，∠A'CB'＝90°，∴CE＝2，故答案为：90°，2；（2）△ABC“旋补交差角”度数不变，△ABC“旋补中距”长度不变，理由如下：∵把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA'，把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB′，∴∠ACA'＝90°＝∠BCB'，AC＝A'C，BC＝B'C，∴∠ACB'＝∠BCA'，在△ACB'和△A'CB中，，∴△ACB'≌△A'CB（SAS），∴∠CAB'＝∠CA'B，∴点A，点A'，点C，点O四点共圆，∴∠ACA'＝∠AOA'＝90°＝∠BOB'，如图2，延长CE至F，使CE＝EF，连接A'F，B'F，∵CE＝EF，A'E＝B'E，∴四边形A'CB'F是平行四边形，∴∠A'CB'+∠FA'C＝180°，A'F＝B'C，∵∠A'CB'+∠ACB＝360°﹣∠A'CA﹣∠B'CB＝180°，∴∠ACB＝∠CA'F，又∵A'C＝AC，A'F＝B'C＝BC，∴△ACB≌△CA'F（SAS），∴AB＝CF＝4，∴CE＝2；（3）OC存在最小值，最小值为1，理由如下：如图3，取A'B'中点E，连接CE，CO，EO，∵△A′B′C是△ABC“旋补交差三角形”，∴∠BOB'＝90°，CE＝AB＝2，∵点E是A'B'中点，∠A'OB'＝90°，∴OE＝A'B'＝3，在△OCE中，OC＞OE﹣CE，∴当点C在线段OE上时，OC有最小值为OE﹣CE＝1．4．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°（AB＜AD），△ADE绕点A旋转．（1）如图1，若连接BD，CE，则BD与CE的关系为BD＝CE，BD⊥CE；（2）如图2，若连接CD，BE，取BE中点F，连接AF，探究AF与CD的关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点D落在BC延长线上，若AF＝3，AC＝，请直接写出线段AE的长．【解答】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：如图1，设CE与BD交于点O，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠CBD+∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）AF＝CD，AF⊥CD，理由如下：如图2，延长FA交DC于点G，延长AF到点H，使FH＝FA，连接EH，∵F是BE中点，∴FE＝FB，又∵∠EFH＝∠BFA，∴△EFH≌△BFA（SAS），∴HE＝AB，∠HEB＝∠EBA，∴HE∥AB，∴∠HEA+∠BAE＝180°，∵AB＝AC，∴HE＝AC，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝180°，∴∠HEA＝∠CAD，又∵AD＝AE，∴△HEA≌△CAD（SAS），∴AH＝CD，∠EAH＝∠ADC，∵FH＝FA，∴AF＝AH＝CD，∵∠DAE＝90°，∴∠EAH+∠DAG＝90°，∴∠ADC+∠DAG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AG⊥CD，即AF⊥CD；（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，由（2）可知，CD＝2AF＝6，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AN⊥BC，∴BC＝AB＝8，AN＝BC＝BN＝CN＝4，∴DN＝CD+CN＝10，∴AD＝＝＝2，∴AE＝AD＝2．5．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图①，将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，则△ACD≌△EBD，∴AD＝DE，BE＝AC＝5，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，故答案为：1.5＜AE＜6.5；（2）证明：如图②，延长FD至N，使DN＝DF，连接BN、EN，在△FDC和△NDB中，，∴△FDC≌△NDB（SAS）∴BN＝FC，∵DF＝DN，DE⊥DF，∴EF＝EN，在△EBN中，BE+BN＞EN，∴BE+CF＞EF；（3）解：BE+DF＝EF，理由如下：如图③，延长AB至点H，使BH＝DF，连接CH，∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，∴∠HBC＝∠D，在△HBC和△FDC中，，∴△HBC≌△FDC（SAS）∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，∴∠BCE+∠FCD＝50°，∴∠ECH＝50°＝∠ECF，在△HCE和△FCE中，，∴△HCE≌△FCE（SAS）∴EH＝EF，∴BE+DF＝EF．6．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．【解答】解：（1）1＜AD＜5，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF，∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，在△BEF与△AEP中，，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝PA，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即PA•CD＝PC•BD．7．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长为cm．【解答】解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案为：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴D