人教A版（2019）必修第二册 第六章 6.4.3 第5课时 余弦定理、正弦定理的应用（教学课件）

第六章

6.4.3余弦定理、正弦定理第5课时余弦定理、正弦定理的应用学习目标XUEXIMUBIAO1.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.3.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点三角形的面积公式1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为(1)S＝

＝

＝

；2.△ABC中的常用结论(1)A＋B＋C＝

，sin(A＋B)＝

，cos(A＋B)＝

；(2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；(3)任意两边之和

第三边，任意两边之差

第三边.180°sinC－cosC大于小于思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.公式S＝

absinC适合求任意三角形的面积.(

)2.三角形中已知三边无法求其面积.(

)3.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.(

)4.在△ABC中，A>B⇔cosA>cosB.(

)×√×√2题型探究PARTTWO例1

(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为

.一、有关三角形面积的计算解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB＝2sinA，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB＝

.解析由sinB＝2sinA，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sinB，由sinB≠0，知c＝2a，反思感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.跟踪训练1

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝

，且ccosA＋

a＝b.(1)求C的大小；解由正弦定理，得sinCcosA＋

sinA＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，(2)求△ABC的面积.解由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即7＝a2＋b2－ab，∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，二、余弦、正弦定理在平面几何中的应用(1)求sinC的值；(2)若BD＝5，求△ABD的面积.反思感悟在平面几何中求边、求角，通常思路是先找所求的边、角所在的三角形，再在三角形中通过余弦、正弦定理求边和角.(1)求AC的长；∴由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cosD＝6＋6－2×6×＝18，核心素养之逻辑推理、数学运算HEXINSUYANGZHILUOJITUILISHUXUEYUNSUAN余弦、正弦定理与三角函数的综合应用典例在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

，b－c＝2，cosA＝－

.(1)求a和sinC的值；可得bc＝8.又b－c＝2，解得b＝4，c＝2或b＝－2，c＝－4(舍去)，∴b＝4，c＝2，素养提升(1)正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值；二是先求函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题.(2)通过三角函数的化简及性质，利用余弦、正弦定理解三角形，提升逻辑推理和数学运算素养.3随堂演练PARTTHREE√123452.(多选)已知△ABC的面积为

，且b＝2，c＝

，则A等于A.30° B.60°C.150° D.120°√√所以A＝60°或120°.123453.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为√解析将c2＝a2＋b2－2abcosC与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，123454.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sinB的值为√解析由题意，得△ADC为等边三角形，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcos∠ADB，则∠ADB＝120°，AC＝2，123455.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosA(bcosC＋ccosB)＝a＝

，△ABC的面积为3，则A＝

，b＋c＝

.123457解析由已知及正弦定理可得，2cosA(sinBcosC＋sinCcosB)＝sinA，可得2cosAsin(B＋C)＝sinA，∵A∈(0，π)，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7.即bc＝12.12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)三角形的面积公式.(2)利用余弦、正弦定理解决平面几何问题.(3)余弦、正弦定理与三角函数的综合应用.2.方法归纳：化归与转化、数形结合.3.常见误区：利用余弦、正弦定理求值时会出现增根，易忽略检验.4课时对点练PARTFOUR基础巩固1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，则△ABC的面积为√解析在△ABC中，A＝30°，a＝b＝2，由等腰三角形的性质可得，A＝B＝30°，则C＝180－30°－30°＝120°，1234567891011121314151612345678910111213141516A.60°或120° B.30°C.60° D.45°√所以A＝90°，所以C＝180°－A－B＝60°.√√又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝1或BC＝2，123456789101112131415164.如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，则AB的长为12345678910111213141516√解析因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，又B＝45°，DA＝7，1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415166.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝

，b＝

，A＝60°，则角B＝

，△ABC的面积是

.45°又因为b<a，所以B<A，所以B＝45°，则C＝75°，123456789101112131415167.已知在△ABC中，AB＝

，BC＝1，sinB＋

cosB＝0，则△ABC的面积为

.所以B＝120°，123456789101112131415168.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝60°，c＝

，则△ABC的面积为

.又c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，123456789101112131415169.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinB＋sinC)2＝sin2A＋sinBsinC.(1)求A的大小；解∵(sinB＋sinC)2＝sin2A＋sinBsinC.∴由正弦定理，得(b＋c)2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc，1234567891011121314151612345678910111213141516又b＋c＝6，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－bc＝36－8＝28，10.如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝

.(1)求△ACD的面积；因为D∈(0，π)，因为AD＝1，CD＝3，12345678910111213141516解在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AB＝4.12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516√根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，1234567891011121314151612.已知向量a＝(2，－1)，b＝(2,2)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为A.6B.3C.4D.8√解析设向量a与b的夹角为θ，1234567891011121314151613.已知在△ABC中，AC＝2，AB＝3，∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，则AD＝

.解析如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，1234567891011121314151614.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c＝2acosB，S＝

，则△ABC的形状为

，C的大小为

.12345678910111213141516等腰三角形解析∵c＝2acosB，∴根据正弦定理可得，sinC＝2sinAcosB，即sin(A＋B)＝2sinAcosB，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，∴△ABC的形状为等腰三角形.1234567891011121314151612345678910111213141516∴sinC＝cosC，即tanC＝1，∵C∈(0，π)，拓广探究15.在圆