高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第三章 圆锥曲线的方程 综合拔高练

第三章圆锥曲线的方程

综合拔高练

五年高考练

考点1椭圆的标准方程与几何性质

22

1.（2021全国新高考/,5）已知B,F2是椭圆C：2+j=l的两个焦点，

94,

点M在C上,则附KHMBI的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

22

2.（2022全国甲文,11）已知椭圆C京+/1（α>b>0）的离心率为

ɪAi,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若可•砒=-1,则

C的方程为（）

Oɔɔɔ

A:+匕=1BΛ+^1

181698

C.-+—=1D.→∕=l

322

22

3.（2021全国乙理』1）设B是椭圆C曝+弃=1（α>b>O）的上顶点,若C

上的任意一点P都满足∣P3∣W2b,则C的离心率的取值范围是（）

A栏，1）B[pl）M。用D.（θ耳

22

4.（2021全国甲理,15）已知为椭圆C:J+-=1的两个焦点,P,Q

164

为C上关于坐标原点对称的两点,且IPQ=IPBI,则四边形PBQF2的

面积为

考点2直线与椭圆的位置关系

22

5.(2022全国新高考〃,16)已知直线/与椭圆？+一=1在第一象限交

63

于A,8两点,/与％轴、y轴分别交于M,N两点,且

∖MA∖=∖NB∖,∣MΛ^]=2√3,则I的方程为.

22

6.(2022全国新高考/,16)已知椭圆。噎+翥=1(α>b>0),C的上顶点

为A,两个焦点为F1,F2,离心率为右过B且垂直于AF2的直线与C交

于Q,E两点,|。回=6,则AAOE的周长是.

7.(2022全国乙理,20)已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为％轴、

y轴,且过A(0,-2),3(|,—1)两点.

(1)求E的方程；

⑵设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于％轴的直

线与线段AS交于点T,点H满足而=用.证明：直线"N过定点.

考点3双曲线的标准方程与几何性质

__2

2

8.(2022天津,7)已知抛物线y=4V5x,FhB分别是双曲线京-

⅛=1(«>0,b>0)的左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点Fi,

b2

与双曲线的渐近线交于点A,若NBFN=:,则双曲线的标准方程为

j4

A.--y2=1B.%2-"=1

10z16

22

C.P匕=1DΛ-γ2=l

44y

9.（2021全国甲理,5）已知B,B是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,

且/凡尸产2=60°,|尸臼=3|尸产2|,则C的离心率为（）

A.—B,-C.√7D.√13

22

10.（多选题）（2022全国乙理,11）双曲线C的两个焦点为尸2,以C的

实轴为直径的圆记为D,过B作。的切线与。交于M,N两点,且cos

NBNB=|,则C的离心率为（）

ʌ√53„√13√17

A.—Bo.-C.——γDλ.—

2222

11.（2022全国甲理,14）若双曲线人a=1（相＞°）的渐近线与圆x2+y2-

4y+3=0相切，则m=.

22

12.（2022全国甲文,15）记双曲线C⅞-⅛=l（。〉0,。＞。）的离心率为仇

写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值.

考点4直线与双曲线的位置关系

2

13.（2022全国新高考/,21）已知点4（2,1）在双曲线Cv⅞-

,2

4Λ4=1（α＞l）上,直线/父C于P,。两点,直线AP,AQ的斜率之和为

Q/-1

0.

（1）求/的斜率；

⑵若tanZPAβ=2√2,求△尸AQ的面积.

22

14.(2022全国新高考〃,21)已知双曲线C曝一~i(«>0,。〉0)的右焦

点为Fd0),渐近线方程为y=±V3x.

⑴求C的方程；

⑵过厂的直线与C的两条渐近线分别交于43两点，点

P3,yι),Q(%2,竺)在C上，且％∣>%2>0,y>0∙过P且斜率为

的直线与过Q且斜率为B的直线交于点M.从下面①②③中选取两个

作为条件,证明另外一个成立.

①M在A3上;②尸Q〃AB;®\MA\=\MB\.

注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.

考点5抛物线的标准方程与几何性质

15.(2022全国乙理,5)设尸为抛物线Cy2=4X的焦点，点A在。上，点

3(3,0),若IAFl=IBFl,则IABI=()

A.2B.2√2

C.3D.3√2

16.(多选题)(2022全国新高考〃,10)已知。为坐标原点，过抛物线

Cy2=2p%(p>0)焦点厂的直线与C交于A,8两点,其中A在第一象限,

点M(P,0).若IA网=IAM,则()

A.直线AB的斜率为2历

B.∖OB∖=∖OF∖

C.∣AB∣>4∣0F∣

D.ZOAM+ZOBM<↑SO°

17.(2021全国新高考/,14)已知。为坐标原点,抛物线CV=2pχ(p>0)

的焦点为F,P为C上一点,P尸与％轴垂直,。为刀轴上一点,且PQJ_

OP.若旧Q∣=6,则C的准线方程为.

18.(2021全国乙文,20)已知抛物线Cιy2=2px(p>0)的焦点/到准线的

距离为2.

(1)求C的方程；

⑵已知。为坐标原点，点尸在。上，点Q满足丽=9QF,求直线

。。斜率的最大值.

考点6直线与抛物线的位置关系

19.(多选题)(2022全国新高考/,11)已知。为坐标原点，点A(l,1)在

抛物线C∕=2py(p>0)上,过点5(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则

()

AC的准线为y=-l

B.直线A3与C相切

C.∖OP∖-∖OQ∖>∖OA∖2

D.∖BP∖∖BQ∖>∖BA^

20.(2022全国甲理,20)设抛物线Cy2=2〃X(P>0)的焦点为F,点、

D(p,0),过F的直线交。于MN两点.当直线MD垂直于％轴

时•,|MFl=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的

倾斜角分别为α,A当α/取得最大值时一,求直线A3的方程.

三年模拟练

应用实践

y2

1.（多选题）（2023江苏省盐城中学期中）设根,〃为实数，已知椭圆上+

4

22

匕=1与双曲线％2—匕=1有相同的焦点尸2,且椭圆与双曲线在第

mn

一象限的交点为p（平,%），则下列说法正确的是（）

A.yo=等B.n=2

C.m=∖D.左焦点为（-8,0）

22

2.（2023浙江名校协作体期中）已知椭圆a+翥=1（α>">0）的左、右焦

点分别为F∣,F2,经过F∣的直线交椭圆于A,B两点,AABB的内切圆

的圆心为/,若3属+471+5通=0,则该椭圆的离心率是（）

ʌ√52„√3Cl

A.—Bo.-C.—D.-

5342

22

3.（2023江苏省滨海中学月考）已知双曲线C曝-『1（α>0,b>0'）的焦

距为2c,过C的右焦点厂的直线/与C的两条渐近线分别交于A,B

两点，O为坐标原点,若a=c∙smZAFO^FB=3FA,则C的离心率为

（）

A.√2B.-C.-D.√3

33

222

4.（多选题）（2023黑龙江哈尔滨期中）如图,两个椭圆会+白=1噌+

2

篙v=1内部重叠区域的边界记为曲线CP是曲线C上的任意一点,则

下列说法正确的为

A.P到Fi(-4,O),F2(4,O),Ex(O,-4),E2(O,4)四点的距离之和为定值

B.曲线C关于直线y=%,y=-%均对称

C曲线C所围区域的面积必小于36

D.曲线C的总长度不大于6π

5.(2023河南驻马店确山一高期中)我们称e=L其中a=在二

(JL)2

]22

的双曲线弋-为黄金双曲线,若为黄金双曲线上

a2Vb2=l(">0,b>0)P

除实轴端点外的任意一点，以原点。为圆心,实轴长为直径作O。,过

P作。。的两条切线,切点分别为A,B,直线AB与％,y轴分别交于

MN两点，则丽一丽=C)

11

①(JL)

A.B.—ωC.—D.---ω--

6.(2023江西景德镇一中期中)已知抛物线Cy2=2*,点A©,1)是抛物

线C上的点.

(1)求抛物线C的方程及〃的值；

(2)若直线/与抛物线C交于P(XI,y∣),。(%2,竺)两点,y1y2<O,且。P-

0Q=3,求M+2阅的最小值并证明直线/过定点.

22

7.(2023江西临川一中期中)如图,椭圆M:氏+需=1(α＞比＞0)的两顶点

为A(-2,0),B(2,0),离心率e当过y轴上的点/(0")(M＜4,Z≠0)的

直线/与椭圆交于C,O两点，并与％轴交于点P,直线AC与直线BD

交于点Q.

⑴当/-2√3⅛∣CD∣=4时,求直线/的方程;

⑵当点尸异于A,B两点时,设点P与点Q的横坐标分别为XP,XQ,是

否存在常数％使犷3=2成立?若存在,求出2的值;若不存在,请说明

理由.

22

8.(2023重庆八中月考)已知双曲线E曝一1=1(。＞0,匕〉。)的一个顶点

为A(-2,0),0为坐标原点,直线/过点Q(3,0)且交双曲线右支于

M,N两点,记AAMN,XAOM,∕∖AON的面积分别为5,S,S2∙当/与X

轴垂直时,S的值为手.

(1)求双曲线E的标准方程；

⑵若/交y轴于点P,A羽=4丽,丽=〃而,求证:2+〃为定值;

⑶在⑵的条件下，若IlS="S1+"ZS2,当54W8时，求实数m的取值范

围.

22

9.(2023广东东莞外国语学校期中)如图,椭圆C曝+标=1(α>0>0)的

离心率是a短轴长为2遮,椭圆的左、右顶点分别为4,A2,过椭圆C

与抛物线E:y2=2〃x(p>0)的公共焦点厂的直线/与椭圆相交于A3两

点，与抛物线E相交于P,Q两点，点M为尸。的中点.

(1)求椭圆C和抛物线E的方程；

(2)记aA34的面积为51,ΛMA2Q的面积为S2,若Sι23S2,求直线1

在y轴上的截距的取值范围.

迁移创新

10.(2022山东临沂模拟)祖瞄原理:“基势既同，则积不容异”,即：夹在

两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所

截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相

等.一个椭圆球形瓷凳如图①所示,其轴截面为图②中的实线图形,两

22

段曲线是椭圆？+5=1(。>3)的一部分,若瓷凳的高为6,底面圆的直

9α2

径为4,则/=；利用祖唾原理可求得该椭圆球形瓷凳的体积

为.

图①图②

11.（2023重庆江津中学期中）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球

时,发现当篮球放在地面上时,篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得

篮球在地面上留下的影子的轮廓有点像数学课堂上学过的椭圆,但他

自己还是不太确定这个想法,于是回到家里翻阅了很多参考资料,终

于明白自己的猜想是没有问题的,而且通过学习，他还确定地面和篮

球的接触点（切点）就是影子椭圆的一个焦点.他在家里做了个探究试

验:如图所示,桌面上有一个篮球,若篮球的半径为1个单位长度,在

球的右上方有一个灯泡P（看成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位

长度,灯泡垂直照射在桌面上的点为A,影子椭圆的右顶点到力点的

距离为3个单位长度,则这个影子椭圆的离心率A.

A

答案与分层梯度式解析

第三章圆锥曲线的方程

综合拔高练

22

1.CYM在椭圆C:二+匕=1上，且α=3,

94

Λ∣MFI∣+∣MF2∣=6.

∙.∙四"如》MFII∙∣MF2∣,

.,.IWeMFlI：MF2∣)2=9,

当且仅当IMa仁IMF2∣=3时,等号成立.故选C.

2.B由题意知A∣Ga,O),A2(a,0),B(0,。)，

所以B/；=(-a,-b),BA2=(。,/)，

22

^↑VλBA1∙BA2=-a+h=-l(l),

因为椭圆C的离心率为"所以S=寸=《,即I-1=J②,联立①

3a2a29α29

22

②可得a2=9,庐=8,故椭圆C的方程为3+5=1.故选B.

98

22

3.C由题意知3(0,b).设PGo,yo),则9+居=1，

222

.*.XQ=a2(l-.Λ∖PB∖=XQ+(yo-b)=a(1一工)+羽一2by0+

2

b2=--ryQ-2hyo+a1+h2.

∙.∙C上任意一点P都满足IPBlW2瓦yo∈[-h,h'],

，当yo=-b时,1PB/取得最大值，.∙.-*∙Wf,即b2^c2,又a2=b2+c2,

a2-c2^c2,即α2≥2c2,.,.e2≤∣,又∙.Z∈(0,1),.,.e∈.故选C.

4.答案8

22

解析解法一：如图，设IPFll=肛∣PF2∣=〃，由椭圆方程S+-=1可

164

得，2a=∖PF↑∖+∖PF2∖=m+n=S,2c=∣F,F2∣=4√3.

由P,Q关于原点对称得IOPl=IoQI,又IOFgloF2∣,故四边形PFQF2

为平行四边形.

又IBF2∣=∣PQ,所以平行四边形尸FiQB为矩形，故PFilPF2.

在RtAFiPF2中，ZF2PFi=90°,则mW=(4√3)M8.

由(m+rt)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,所以四边形

PaQF2的面积为8.

解法二：由解法一知四边形尸吊。乃为矩形,所以由焦点三角形面积公

式得S四边形PaQF2=2b2tan⅛×4×1=8.

5.答案x+y∣2y—2Λ∕2=0

解析取A3的中点为E因为IMAl=IN引，所以IMEl=INE|,设

A(%1,ʃɪ),B(X2,>2),

3

则1622①-②,整理可得也迫.立当=一即kθE∙kAB=-∖根

逋+理=]②X1+X2X1-X222

V63

据题意，设直线AB-.y=kx+m,k<0,m>0,令X=0,则y=m,令y=0,则x=-

m

所以M(—ɪ,0),N(0,m),

所以所以鼻XH/咛，

k

可得k=与因为IMN]=2百，

2

所以IMNl2=(—£)+m2=2m2+m2=12,可得m=2,

所以AB的方程为尸务+2,

即I的方程为%+√2y-2√2=0.

6.答案13

解析Te=*=工，.∙.α=2c,...^2=/^2=3/,.∙.∕7=遮c,，椭圆C的方程

a2

2y2

为_^v___Iyj=1

'J(2C)2(√3C)2^'

即3x2+4y2=12c2(九

ΛA(0,√3c),不妨设Fi为左焦点，则E(G0),FlQG0).

2

∙∙∙KΛF2=⅛=-√3.又DF11AF2,.∙.kDFi=当

直线DFl的方程为y=y(x+c),代入(It)得13x2+8cx-32c2=0,

8c_32c^

设Q(Xl,yι),E(X2,γ2),∙'∙X∖+X2=--,X∖X2=-τ~,

I网j1+豆∙M-2∣=K叵髻至=*X

24√3c48c,∙13

------=—=6,∙∙C=—.

13---138

o,

如图,易得NABB=60°,NDFlF2=30,..ZAFlD=30°,

直线DF1为线段AB的垂直平分线，

,∖∖AD∖=∖DF2∖,∖AE∖=∖EF2∖,

：.△ADE的周长是

∖AD∖+∖AE∖+∖DE∖=∖DF2∖+∖EF2∖+∖DE∖=∖DF2∖+∖EF2∖+∖DF↑∖+∖EFι∖=∖DF2∖+∖DFιI

13

+∣EF∖+∖EF∖=4a=4×2c=8×≡=13.

l28

7.解析⑴设E的方程为5+∖=l,将(0,-2),(∣,—1)代入，得

'2=1,22

,%1.∙∙"rz=3,“2=4,故£7的方程为3+匕=1.

旦+=134

∖4m2n2，

(2)证明：易得直线AB的方程为y=∣%-2∙

设过点尸(1,-2)的直线为/.

①若/的斜率不存在,则

易得知(1,—乎)，N(l,乎),将尸-乎代入y=|%2

得《3—遍,一乎)，由而=而,得“(5-2√6,-手)，

.∙.如N=京τ=2+乎，故直线HN的方程为y=(2+乎)%-2,直线

HN过点(0,-2).

②若I的斜率存在，则可设直线I的方程为区-y-G+2)=0,另设

MCXl,y∣),N(%2,>2),

(kx-y—(Zc+2)=0,

22

联立M2消y,整理得(3^+4)Λ-

O^+Z=L

6Z(2+Q%+3%α+4)=0,

6k(2+k)3k(k+4)

.∙.%l+%2=,X∖X2=

3k2+43⅛2+4

y=y1,____

fy=2%_2,得T(等+3,%)，由而=而,得”(3yι+6-%ι,y),

易得直线HN的方程为y-”y1-y2=-(--X----X--2--)--,---------

3y1+6-x1-x2

代入(0,-2),得2(%i+x2)-6(y]+y2)+%1y2+%2y1-3yy2-i2=O,

易得y∖+y>2=k(%1+%2)-2%-4=言;

-8fc2+16fc+16

y∣y2=R%ι%2-Z(2+A)(为+X2)+(Z+2)?=•

3fc2+4

-24k

Xy2+X2y=2kXX2-(/:+2)(X]+%2)=

∖∖∖3fc2+4,

.∙.24攵+12d+96+48k24h48-48k+24右-36%2-48=0,.∙.HN过定,点(0,-2).

综上,"N过定点（0,-2）.

一2

8.C由y2=4√5Λ知，抛物线的准线方程为Λ=-√5,故c=√^.由巳一

QN

，=1（。〉0,。〉0）知，双曲线的渐近线方程为y=±^x,根据双曲线的对

称性,不妨取A在入轴上方,则4-c谭）,

在Rt∆F2F∣A中，由NQBA=己,得竺=2c,结合a2+h2=c2=5,得Q=1,h=2,

4a

-.2

故双曲线的标准方程为P匕=1.故选C.

4

9.A设双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距分别为

2a,2b,2c,a>0,b>0,c>0,由题意矢口IPBHpBI=21,|。丹|=3『乃|,两式联

立解得IPBl=34,I尸F2∣=α,又尸ιB∣=2c,所以在APQB中，由余弦定理

得旧BF=I尸尸1F+∣PF2∣2-2∣P尸ill尸尸2∣coSNBP尸2,即4c2=9tzW-2×3αX

α×cos60°,可得£=—,所以双曲线C的离心率e-=0.故选A.

a2a2

10.AC依题意可设双曲线的焦点在％轴上,左、右焦点分别为B,B.

(1)当两个交点V、N分别在双曲线两支上时，如图1,设切点为P,连

接OP,则OPLMN,

易知IOPl=∣OR∣=c,∣PE∣=h,

过点B作F2Q-LMN,垂足为Q,

则F2Q//OP,由相似易知gQ∣=20,I。知|=2瓦

34

,.,cosZF∖NF2=-,.*.sinZF∖NF2=~,

∙∙∙WBI号,∣NQ号，

.,.∖NF1∖-∖NF2∖=∖QF↑∖+∖NQ∖-∖NF2∖=2h+^-y=2α,即3a=2h,

图1

⑵当两个交点M、N均在左支上时，如图2,同（1）易得

WF2∣号,WQI号,IRQl=2b,

,

..∖NF↑∖=^-2b,：.!NF2∣-∣NFι∣=y-→2b=2a,即a=2b,

∙∖e=Jl+（£）=?.故选AC.

11.答案y

解析由题易知双曲线y2-⅛l（m>0）的渐近线方程为γ=±⅛即％

”mzm

±my=O,圆x2+γ2-4γ+3=0即/+（>_2）2=1.由题可知圆心（0,2）到直线工

±my=0的距离等于1,则勒91，解得加=枭负值舍去）.

12.答案2（答案不唯一，只要KeW遥即可）

解析易知双曲线*1（“>0,。>0）的渐近线方程为y=±%,由

直线y=2%与双曲线C无公共点，可得％2,即与W4,所以e=£=

aaza

/1+~≤Vl4^4=V5,

7az

又因为e>l,所以1々<遥,故可填2（答案不唯一，只要IveW而即

可）.

22

13.解析⑴将A点的坐标代入今-妥=1,

αzαz-l

1

得三-=I,即α4-4α2+4=0,

a2a2-l

γ2

.∙.(。2-2)2=0,即[2=2,.∙.双曲线C.--y2=l.

易知I的斜率存在.设I的方程为y=kx+h.

y=kx+b,

由x22”得(1-2⑻x2-4kbx-2(h2+1)=0,

--y=1>

1-2k2≠0,

由题意得

Δ=16k2b2+8(1-2∕c2)(h2+1)>0,

得**士^T'设P(%l,V),。(%2,>2),

b2-2k2+1>0.

.∣4kb-2(∕J2+1)

则rπ为+&=匚而,

Q2=l-2k2'

由题意知kAP+kAQ=O,

即上1_1_丫2-1_kXι+b-l+kx2+b-l

Xl—2%212%1—2%2-2

_/e(ɪɪ-2)+2Zc+Z?-∙1∕c(%2-2)+2∕C÷Z7-1

-I

X]—2%2-2

=2k+(2k+h-l)

I(2k+b-I)(XI+42-4),0

X1X2-2(X1+X2)+4，

-2炉一28kb4kb

：.2k\)+(2Z+6D(∙

l-2k2l-2k2l-2k2

.∙.2M-2Z√-2-8妨+4-8F)+(22+b-l)(4妨+8F-4)=0,

.,.-k(〃+4右+4的-1)+(2Z+>1)(妨+2M-1)=0,

：.-k[(2%+b)2-1]+(2%+尻1)(妨+2F-I)=0,

.∙.∕(2Z+0+l)(2Z+61)+(2Z+61)(必+2K-l)=0,

.∙.(2%+h-l)(-2Z⅛奶+奶+2F-I)=0,

即(2Z+61)々+1)=0.

若2Z+b-l=0,则直线I过点A,不符合题意,

ΛZr+l=O,.∖k=-l.

2tan-PAQ_

(2)如图，当0<ΛI<2时，易知tanZPAQ==2√2,

l-tan2——x

2

―华号或tan华=一所舍）.

不妨设直线AP的斜率为正,其倾斜角为a.

∣π/-PAQ•1∕τr

Wrπ1ιJ«=-------,∙∙tana=—=√2,

22tan——

当x↑>2时，同理可得tana=y∏.

：,直线AP的方程为y=42x-2√2+l,

y=y∣2x—2√2+1,

由小消去M得3%2+(4&6)%+20-8a=0,

「y=L

由根与系数的关系得2x∣=生”，

•••为,∙∙∙y=史IW将3,y)代入I的方程得.∙.由(1)可知

2068

Xl÷X2=y,X1X2=γ.

AQ

∣AP∣=√2T1∣Λl-2∣,同理，∣∣=√ΣΠ∣%2-2∣,

∙.∙tanNΛ4Q=2√Σ,.∙.sinNΛ4Q=学,

.,.ΛAPQ的面积S=^APHAQIsinNPAQ

=∣∣(ΛI-2)(X2-2)∣∙^

=Λ∕2∣%1%2-2(XI+%2)+4∣

16√∑

SX惜誉+4

9・

14.解析⑴由题意可得9=a,'a?+炉=2,故α=l,0=√^,所以C

a

yj2

的方程为/(=1.

(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0.

设直线PQ的方程为广区+f(%≠0),将y=丘+/代入C的方程得(3-

必)x2-2ktx-t2-3=Q,

贝IJ为+%2=三⅛,%l%2=-∣"4f,又因为％l>X2>0,

3—κz3—κz

所以3-^2<0,所以％ι-%2=J(%ι+%2尸一4%I%2=2'3(f口

，

由题意得VM—%=~√3⅛-/)(*)

JM-72=√3⅛-x2)(**).

(巧-3,得γι-^=2√3%M-√3(为+垃),

而y∖-y2={kx∖+t)-(kx2+t)=k{x∖-xι),

故2y∕3xM=k(x∖-x^+V3(XI+及)，

An4日k√t2+3-Zc2-k.t

斛何坳=­E一

(5+(*九得2)M-。1+丁2)=V^(XI-X2),

而y∖+y2=(kx∖+t)+(kx2+t)=Z(%1+%2)+2t,

故2yM=k(Λ∣+Λ2)+V3(%ι-%2)+2。

22

解得3√t+3-k-3t3

γw=∙—E-二W•

因此,点M的轨迹为直线γ⅛,其中A为直线PQ的斜率.

K

若选择①②作为条件：由PQ//AB得直线AB的方程为y=k(x-2'),

不妨令点A在直线>,=√3Λ上，

缶刀汨

叫M∣[％pA=√⅛,—2),解得”=豆2k后小豆2√后3fc

同理可得用=岛,/=-普•

IIr4Zc212k

此π时以+X8=K，用+班二百?

z

一OM=k(%M-2),2

而点M的坐标满足I3解得%M=——=

，炉-3

I、yM=K/.M

汽法,>M=U⅛=巩",故M为AB的中点，则IMAl=IM算

2κ^-32

若选择①③作为条件:显然直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB

的方程为y=m{x-2)(m≠0),不妨令点A在直线y=^3x±,

y=m(X—2),2m2√3m

则.以A=次必A，解侍'』=口'W=f

同理可得加=券，班=-篝•

2

,I.Utt+.._XA+XB_2m_yA+ye__6m

JtlStlUXM-^-—∑^^~,VΛ∕∙~~-—5~o∙

2m2-3J2m2-3

又点M在直线厂永上,所以怒=?恶,

解得上机因此尸。〃AB

若选择②③作为条件：由P。〃AB得直线AB的方程为y=M%-2),

不妨令点A在直线γ=√3x±,

∣∣(%=1(％A—2),缶刀汨2k2√3∕c

则rτl鼠=√⅛,解侍%，=口叱口.

同理可得切=品，》=-黑•

设AB的中点为G则％c=券=恐，"=U警=Af由于

2κz-32fcz-3

∖MA∖=∖MB∖,故点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y-yc=-

*c)上.

将该直线方程与y=^x联立,解得XM=^^=XC,

yM=^-=yc,即点M恰为AB中点.故点M在直线A3上.

KS

15.B设A(xA,yΛ),依题意可得F(l,0),由3(3,0),得

∖BF∖=2=∖AF∖=XA+∖,

所以XA=1,代入y2=4x,得yA=2或％=-2,

所以Agl=/(3—1)2+4=2√2,故选B.

P

16.ACD由题意知网ɪ,θ).设EW的中点为N,则％A=%N=?=),又

点A在抛物线上，

所以诵=2p以=2p=^p2(jA>0),

所以％="〃,故ZAB=J或=2√6,故A正确；

24^~2

易知j⅛+i⅛=泉四I=X档=Q+a

所以Jr+τ⅛;=3

∖bf∖P

所以IM=%易知IM=XB+g所以上今

623

又点8在抛物线C上，所以解=2pxB=2Pq=IP2,所以

∖OB∖2=X1+yl=(|)+∣p2=夕2≠Jo川2,故B错误；

∖AB∖=XA+XB+P=^P+T+P=~p>2p=4∖OF∖,故C正确；

易得A©P，孚P)，鸣一孚P)，

所以雨・砺=一］2<0,又0,4,3三点不共线，

所以NAoB为钝角，

~MA∙^MB=(一:片P),(-∣P,-fp)=-豺<。，

又MA,B三点不共线，

所以NAMB为钝角，所以NOAM+ZOBM=360o-ZAMB-Z

AOB<180°,故D正确.故选ACD.

17.答案Ll

解析•二点P在抛物线上且PFVx轴,不妨设点P位于入轴上方，.∙.

p(^,p^.∖'OPLPQ,：.由平面几何知识可得∣PQ2=∣o外尸Q,

又∙.∙∣FQ∣=6,.∙.p2qχ6,.∙.p=3或p=0(舍)，

.∙∙c的准线方程为户-∣∙

18.解析⑴由已知得p=2,所以C的方程为卢4%.

⑵由⑴知尸(1,0).设P件%),Q(%ι,yι),则由已知得(不一苧,％-

%)=9(1',w),所以为q(9+?),y音.于是直线OQ的斜率Zc=

1

..当yoWO时，ZW0.当γo>Oθʧ,k=9yo≤Λ-=ɪ,当且仅笺=

+T五+彳2√⅛∙T3

R即/=6时取等号.所以直线0。斜率的最大值为;.

43

19.BCD：点A(l,1)在抛物线Cjc2=2py(">0)上,

.∖2p=l,即p=∣,

.∙.抛物线C的方程为％2=y.

对于A,易知准线方程为广［,1.A选项错误.

4

对于B,易知kAβ=-=2,则直线AB的方程为y=2x-l,

联立1消去必得P2x+l=0,

即GM）2=0,解得ml（二重根）,

.∙.直线A8与抛物线C相切，...B选项正确.

对于C,显然直线PQ的斜率存在,不妨设为k,则直线PQ.y=kx-∖,

联立—L消去y得⅛+l=0,

易知/=（/）2-4×1>0,ΛF>4.

设尸（乃，yi）,。（%2,》2）,则X∖+Xi=k,XLX2=1,

.∙.QPHOQI=J*+资∙λ∕xΓ+)ψ

=√（好+短）（若+）分

ɪʌ/ɪi∙÷ɪl)(1+X2)=vɪ÷xlx2+ɪ1+ɪ2

2

=λ∕2+(ɪɪ+x2)—2x1x2=∖xι+xι∖=∖k∖>2,

又易知∣OA∣2=1+1=2,

・•・∣OPHoQ>∣OA∣2,.∙.C选项正确.

22

对于D,IBPHBQI=√1+∕C∙∣xl-0∣∙√1+∕c∙∣Λ2-

0∣=(l+⅛2)∙∣XIX2∣=1+⅛2>5.

易知∣3AI=Jl2+q+i)2=√5,

.∙.∣3P∣∙∣8Q>∣3A∣2,.∙.D选项正确.

20.解析⑴当直线Mo垂直于％轴时,IME=P+聂3,.∙.p=2,...C的方

程为y2=4x.

⑵设M(%ι,γ∣),N(%2,yι),A(相,券)，B(XΛ,必),

易知直线MN不可能与光轴重合,

22

/.设直线MN的方程为x=ny+∖,与y=4x联立,得γ-4n1y-4=0,

.•0+%=产α=kMN=Z,

Iyiy2=-4,n

易知直线MA不可能与X轴重合，

；•设直线MA的方程为x=my+2,与y2=4x联立,得γ2-4mj-8=0,

__8

∙..yιy3=-8,即y3=—,同理以：

y1及'

丁4一为_74-7344_

.∙.tanβ=kAB---22-8+

工4一工3、4尸373+74~(⅛⅛)

44

y，2=ɪ

-2(yι+y2)-2n

1__1

n2n去/当且仅当〃考时,等号成

5(M)=黑潦⅛

1+匕n；2nn

立，止匕时.女43二日・

"严解得”=迎+鱼,

不妨设M位于第一象限，由K

则第=2(√2-√6),贝I]A(8-4√3,2(√2-√6)),XMB=?，直线AB

的方程为y+2(√6-√2)=y[Λ-(8-4√3)],整理得y=^-x-2√2.

三年模拟练

1.BCD2.A3.D4.BC5.B

r4—m=1+n,

∕2√3√2

1.BCD根据题意可知0<加<4且｛斗+[=L解得

MT=1,

S=2,

.m=1>故A错误,B、C正确；

JO=高(负值舍去)，

C=J二元=√3,所以左焦点为(-√3,0),故D正确.

故选BCD.

2.A因为3谊+4谓+5厄=0,所以3房+三瓦=—工谓,不妨设点

882

A在X轴上方.

如图，在BF2上取一点M,使得∣3M：∖MF2∖=5:3,连接IM,则亦=

一诃,

则点I为AM上靠近点M的三等分点,所以S:SNMF2=2：1，S&

=

IAB∙S4lMB=2•1,SAlMB∙^^IMF2^,3,所以SA/AF?♦^ΛIBF2"Sz∖∕BA=3•

4：5,

所以∣AB∣：∖BF2∖：∖AB∖=3：4：5,

设IABl=3x,x>0,贝”3B∣=4x,∣A3∣=5x,

由椭圆的定义可知，∣AB∣+∣3B∣+∣A3∣=4α,即12x=4a,所以

所以IAF2∣=α,∣8F2∣=%,∣M=∣α,IAFlI=

故点A与椭圆的上顶点重合.

在aA3B中，由余弦定理的推论得，

CoSN9B=幽如学/二些此=⅜+⅞Γ⅛=2,

2,

2∖AB∖↑F2A∖2×∣α5

在中，由余弦定理的推论得,COSNjFIAB=吐若丝二f,解得

2αz5

-=4,所以椭圆的离心率为书.故选A.

a55

3.D由题意可画出示意图如图

设NAo∕7=α,因为a=c∙smZAFO,

所以sin2ZAF0=^y,所以cos2ZAFO=lʌ=ʒ-,

CNCNCN

所以tanNA打咛.又tanα=*所以NMO+αg,

所以ABLOA,所以∣C%∣=0,∣E4∣=h.

又因为丽=3万,所以∣48∣=2h.

在RtzXAOB中,tanNAOB=tan（兀-2α）=一,

a

2b

2tana2b

所以tan2a=0

1-tan2aa

i一冠

化简得与=2,所以与=3,所以e-=√1故选D.

αzaza

22

4.BCA中，易知尸2为椭圆会+W=I的两个焦点,所为椭圆

2222

⅛+⅞=l的两个焦点，若点尸仅在椭圆差+5=1上，则尸到Fi(-

4,O),F2(4,0)两点的距离之和为定值,至UE.(0,-4),E2(0,4)两点的距

离之和不为定值，故A中说法错误;B中，易知曲线C关于直线

y=%,y=-%均对称,故B中说法正确;C中，曲线C所围区域在边长为6

的正方形内部,所以其面积必小于36,故C中说法正确;D中，曲线C

所围区域在半径为3的圆外部,所以曲线C的总长度大于圆的周长

6π,故D中说法错误.故选BC.

5.B设Pa),yo),则,—^7=1,即b2Xo—α2yθ=α2b2.因为e=,=

1,0=与,所以β2=⅞=1+与=(ɪ)2,解得与="=之由题意

ω2a2a2∖√5-l∕a22ω

可知O,A,P,B四点共圆，圆心为线段OP的中点(葭,募)，半径为

∖∖OP∖=∣√⅛+3⅛›所以此圆的方程为—£)2+{y-γ^=竽・

OO的方程为/+V=4,两圆方程相减，可得直线AB的方程为

xox+yoy=a2,令％=0,得y=^~,即N(O;令y=0,得x=^,即M(J0),

则IoM2=《IOTVI2=-所以____=2—建=土=好=L

λj11,11

xl端加外IoMl2IoNl2α4a4a4a2ω

故选B.

6.解析(1)依题意，点ag,l)的坐标满足方程V=2p%,.∙.l=2p><a<

p=l,抛物线C的方程为y2=2%.

⑵设直线I的方程为x=my+t,

联立二^'+t消去％得/-2mγ-2f=0,.,.y∖+y2=2m,y∖y2=-2t<0,Λ

∕>O.OP∙OQ=xlx2+yly2=~(γ∣γ2)2+y∖y2=t2-2t=3,解得t=3或t=-

1(舍去)，.∙.yιy2=-6,直线/:X=Zny+3.，|凹|+2|”|22J2|%为I=4√3,当

IyII=2|M即Iyl=28,仇|=b时等号成立.∙∙∙∣y∣+2∣y2∣的最小值为4√3,

直线I:x=my+3)恒过定点⑶0).

7.解析由题可得b=2.

由e--=在,结合次=〃+/及。=2,得α=4,

a2

22

.∙.椭圆的标准方程为㊀+十=L

164

(1)当直线I的斜率不存在时一,ICQl=8,与题意不符，

22

故直线I的斜率存在,设其方程为产α+2g,代入椭圆方程言+$1,

整理得(F+4)Λ2+4V3hc-4=0,

设C(%c,yc),D(XD,yr>),

rτιl∣-4∙∖∕3k—4

贝J%c+切=W，XC'XD=M

,222

..∖CD∖=Vl+ky∕(xc+XD)—4XCXD=√1+∕c•

J(羔)2一4X盛=*=4,解得U±√Σ

则直线I的方程为√Σ%-y+2√3=0或√Σ%+y-2√3=0.

(2)存在.当直线/的斜率不存在时,直线/与y轴重合，由椭圆的对称

性可知直线AC与直线BD平行,不符合题意，.∙.直线/的斜率存在.由

题意可设直线I的方程为X=冲+〃⑶≠0,"W0),代入椭圆方程，得

22

(1+4m2)y+Smny+4n-16=0.设C(XI,ʃl),D(X2,J2),

V+”=蒜，》”哎肃，.∙.叼寸与下加+㈤①,直线AC的方程为

y=-¾(%+2)②，直线BD的方程为y=∙¾(x-2)③，由,得W=

-2

‘X1+2'X2(3)X+2

yι(%2-2)_y1(my2+n-2)_my1y2+yι(n-2)^

'2(%I+2)y2(my1+n+2)TnyIy2+^2(兀+2尸‘

将①代入④，得≡l(2-m[(n+2)y2+(2F)yι]=l≡，解得T即所*

(2+n)[(n+2)y2+(2-∏)yι]

又矢口xp=n,.∖XP∙XQ=Π×^=4(常数)，

即点P与点。的横坐标之积为定值4.

故存在常数λ=4使xp∙x^=λ成立.

8.解析⑴由题意得a=2,∖OA∖=2.

当/与％轴垂直时，不妨设M(3,y”)，加＞0,

止匕时5ι=∣|。卬∙yM=手,故VM=当，

将(3,学)代入方程亍-京=1中,得3-强