2023年新高考高考模拟测试卷03（解析版）高中数学

2023年上海市高考模拟测试卷03

一、填空题

1.设z=-3-2i,则区+2]=_.

【答案】√5

【分析】先求出乞+2,再求模即可.

【解析】.z=—3-2i,

.∙.z+2=-3+2i+2=-l+2i,

.∙.∣z+2∣=√l+4=√5,

故答案为：√5.

2.已知函数y=αττ的定义域为A,且-3eA,则a的取值范围是.

【答案】卜^^

【分析】由一3∈A,可知-3α+l≥O,解不等式即可.

【解析】由一3∈A,可知-3α+l≥0,

解得α≤g,

故答案为：卜OOq-

3.已知α,人均为单位向量，且,-2对=2,则α与b-ɑ的夹角为.

【答案】π-arccosJL∕-arccosJL

+π

44

【分析】利用向量数量积的运算律及向量的模公式，结合向量的夹角公式即可求解.

【解析】∖a∖=∖b∖=l∖a-2b∖=2,

.∙.∣d-2b^=]d∣2+41Z?I-4d∙⅛=1÷4-4d,∙⅛=4,

ab=-

4

ɪ3

:.a∙(b-a)=a-b-∖a∖1=——1=——，

44

.*.∣b-a∖=y∣(b-a)2=y∣b2÷a2-2a∙b=-ɪ=-ɪ,

,a(b-a)Λ√6

.∙.cos<ci,b-ci>=--------=—j≡≡∙=-------

∖a∖∖b-a∖y∣64'

~τ

0≤<a,b-a>≤π,

.'.a与b-a的夹角为兀一arccos迈.

4

故答案为：兀-arccos如

4

4.若直线2+5=l(α>αb>°)过点(23)，则2α+b的最小值为.

【答案】7+46/4员7

【分析】由直线上+为=l(">0,/，>0)过点(2,3),可得2+1=1,利用基本不等式"1"的代换，求出最小值.

abab

【解析】因直线>怖=13>0/>0)过点(2,3),

23

..—I—=1.

ab

2a+⅛=(2ct+⅛)f-+—ɔ=7+—+—≥7+4.1—■—=7+,当且仅当6=ʌ/ɜt(,即4=2+6>b=2y∣3+3

∖ab)abNab

时取等号.

.∙.2α+b的最小值为7+4√J.

故答案为：7+4退.

5.若数列｛%｝为等比数列，al+aπ=-6,a5at3=β,贝∣J的=.

【答案】-√6

【分析】根据等比数列的性质,得%=±",再通过分析可得佝=

【解析】解：根据等比数列的性质得，W,3=W=6,所以Og=土娓,

又4+α∣7=40+q*')=-6<O,所以α∣<0,所以出=6/<。

所以佝=->/6,

故答案为：

6.已知一组成对数据如下表所示.若该组数据的回归方程为y=-2x+61,则α=.

X181310一1

y243438a

【答案】68

【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可得出实数4的值.

-

■⅛√J4∙L.U-⅛4√Gu→AΛ>∣√.in—r/日—18÷13÷101—24+34+38+QCl

【解析】由表格中的数据可得X=-----------------=10,），=--------------------=24+-,

444

将点伍亍）的坐标代入回归直线方程可得-2x10+61=24+3,解得α=68.

故答案为：68.

7.一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸

出2个球，则第2次摸到红色球的概率为.

【答案】I/0.6

【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.

【解析】由题意，

袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，

不放回地依次随机摸出2个球，

回第1次可能摸到1白色球或1红色球

回第2次摸到红色球的概率为：P=C曦了;=|,

3

故答案为：

Tr8_

8.记0ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=.,ac=~,sinA+sinC=√2sinB,贝胞ABC的

1ɔ

周长为.

【答案】4+2√2∕2^+4

【分析】由正弦定理化简已知式可得α+c=后，对其两边同时平方结合余弦定理即可求出SABC的周长.

【解析】由SinA+sinC=>^sin8得α+c=,贝IJq2+/=2〃一2。。.

5La1+c2=b'+2ɑccosB=b2+ac>贝IJ2b2-2ac=b2+ac>

故〃=34c=8,⅛=2√2,a+c=√2⅛=4>

故SABC的周长为4+2√∑.

故答案为：4+2>∣2.

9.已知QJ<1，αI<r则实数α的取值范围是.

【答案】[θɪj

【分析】先根据(J)<1求出α>0,分0<α<l,a=∖,α>l三种情况，结合IOg“g<1求出实数”的取值范

围，利用j<ι来验证，最终求出答案.

【解析】6J<l=eJ,而y=(gj单调递减，

故。〉0,

若OVaV1,由Ioga5<1=log/可得〃,故

ɪ

此时一<(;><],满足要求，

若α=l,此时Cl不-1合要求，

若α>l,由log*Cl=Iog"可得”>g,故”>l,此时/>1，不合要求.

故答案为：(。,£|

10.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个

数学发现，如图，一个"圆柱容球"的几何图形，即圆柱容器里放了一个球.该球顶天立地，四周碰边，在该

图中，球的体积是圆柱体积的I,并且球的表面积也是圆柱表面积的I,若圆柱的表面积是24万，现在向圆

柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为.

【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆

柱和球的体积差，求出水的体积即可.

【解析】设球的半径为，•，由题意得球的表面积为4∕∕=(χ24τr,

所以r=2,所以圆柱的底面半径为2,高为4,

Λ1«万

所以最多可以注入的水的体积为"22x4.乃X23=詈.

故答案为：等

11.已知曲线-F"y)=0对坐标平面上任意一点P(x,y),定义/俨]=尸(x,y).若两点P,Q满足

F[P]F[Q∖<Q,称点P,Q在曲线r两侧.记到点(0,1)与到X轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,曲线

Γ:F(x,y)=x2+√-y-∏=0,若曲线C上总存在两点“，N在曲线「两侧，则实数〃的取值范围是

【答案】6Va<24.

【分析】到点(0，1)与到X轴距离和为5的点的轨迹为曲线C,求出轨迹方程.分类讨论：当0≤y≤3时和当

-2≤y≤0时，利用尸[P]∕[Q]V0,求解。的范围.

【解析】设曲线C上的动点为(X,y),则Jχ2+(y-l>+∣y∣=5,

化简得曲线C的方程为x2=8(3-y),(θ≤y≤3万0x2=12(y+2),(-2≤y≤θ).

其轨迹为两段抛物线弧

当0≤y≤3时，尸(x,y)=ξy2-9y+24-00[6-a,24-a]；

当-2≤y≤0时，F{x,y)=y2+llj+24-a0[6-a,24-a]；

故若有F[M]∙F[∕V]<0,则(6-a)(24-a)<0=6VaV24.

故答案为：6<a<24.

12.设函数F(X)的定义域为R,满足设(2—2x)=f(2+2x),f(l+x)+f(l—x)=4.若域(O)=0,且/⑶在数,1]

单调递增，则满足/(x)sin≤≥√Σ的X的取值范围是.

【答案】{Λ∣8)t+l≤x≤8A+3,⅛∈Z}

【分析】由题意可知，.f(χ)是周期为4的周期函数，y=si吟X的最小正周期为8,结合.f(χ)与y=sin%

的单调性，易知在一个周期内，由f(x)∙sin晟≥√Σ,可得xe[l,3],再结合周期求出范围即可.

【解析】因为/(2-2X)=∕(2+2X),可得/(2—X)=∕(2+X),所以/(6+x)=/(r-2),f(χ)关于χ=2对

称，

由“l+x)+∕(l-x)=4,可得"6+x)+"-4-x)=4,"x)关于(1,2)对称，

因为/(l+x)+"l-x)=4,"l-x+3)+∕(l+x-3)=4,"4-x)+∕(x-2)=4,

所以川+(x+3)]+∕[l-(x+3)]=4,

则/(x+4)=∕[l+(x+3)]=-用-(x+3)]+4=-∕[-(x+2)]+4,

因为/(—2-X)=/(6+x),所以—/[一(犬+2)]=—/(6+x),

)(x+4)=—∕∙(x+6)+4=∕(Y-x)-4+4=∕(T-x),所以.”x)关于》轴对称，

所以-/[-(x+2)]=-r(x+2),

因为/(l+x)+∕(l-x)=4,所以/[l+(x+l)]+∕[l-(x+l)]=4,

则f(x+4)=—"x+2)+4=-∕[l+(l+x)]+4=∕[l-(l+x)]=∕(r)"(x),

所以函数/(x)是周期为4的周期函数.

因为/(x)是偶函数，且在[()/单调递增，所以/(x)在[T0]单调递减，

令/(l+x)+∕(l-x)=4中X=0,则∕∙(1)+∕(1)=4,则/(1)=2,

又因为/(x)关于(1,2)对称，所以f(x)在『,2]上单调递增，[2,3]上单调递减，

结合函数/(x)是周期为4的周期函数，

综上可得/。)在[0,2],[4,6]上单调递增，[2,4],[6,8]上单调递减,

T=2π=

因为y=sin^x的最小正周期为/^T-δ,结合y=sinfx图象可知，

4—4

y=sin：X在[0,2],[6,8]上单调递增，在[2,6]上单调递减，

令/(l+x)+"l-x)=4中χ=l,则〃2)+/(0)=4,则/(2)=4,

当x=l,y=sin；=孝，又/(1)=2,所以/(l)-sin：=√Σ,

当x=3,y=sin包=也，又"3)=/(-1)=/(1)=2,所以〃3)∙Sin3=√Σ,

所以当xe[0,8]时，/(X)∙sin≤>√2,解得xe[l,3].

又因为/(x)与y=sin：X均为周期函数，且8均为其周期，

所以/。)与吟2五的》的取值范围是[1+8%,3+8打《屹

故答案为：映+1,8+3打,Z∈Z.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出y=∕(x)与y=sin^x的周期性，由/(l)∙sin^=√∑,

/(3)∙sin^=√2,结合函数的单调性和周期性求解即可.

二、单选题

13.设αeR,则""=l"是"/(x)=In(GTT+αx)为奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据/(x)=In(JT7T+Ur)为奇函数，可得〃x)+"r)=0,即可求得”,再根据充分条件和必

要条件的定义即可得解.

【解析】若/(x)=ln(477T+0x)为奇函数，

则f(X)+f(~x)=In(JX2+1+0r)+In^>Jx2+1-αvj=In[0+1]=O,

.∙.l-tz2=(),

解得4=±l,经检验，符合题意，

.∙.""=1"是"f(X)=In(m+同为奇函数”的充分不必要条件.

故选：A.

14.对成对数据(如名)、(为，幻、…、(%，%)用最小二乘法求回归方程是为了使()

)=°

%-K）最小,,∙-x)最小

【答案】D

【分析】由最小二乘法的求解即可知.

【解析】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小，

故选:D

15.如图，在长方体ABC。-ABCQ中，若E,尸,G,H分别是棱片片，BBl,CC1,Ca上的动点，且EH//FG,

则必有（）

DjHC

Λ711

A.BDt1EHB.AD//FG

C.平面8与。Qj_平面EFGHD.平面ABCA//平面EFGH

【答案】B

【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可.

【解析】若点E与A重合，点H与点。重合，

则BR与EH的夹角便是BDl与AiDl的夹角，显然BD1与AQ的夹角不是ɪ,

所以8。LE”错误，A错误；

当FG与B1C1重合时，由AD"B∖C∖可得AD//FG,

当FG与BC不重合时，

因为EH"FG,EHu平面ABCQ,JFGCZ平面ABCQ∣,

所以EG〃平面AlBlClDt,尸GU平面BCCtBl,

平面BeG8「平面AAGR=BC,

所以FG//B©,又AD〃B£,

所以A。〃尸G,B正确；

当平面EFG”与平面BCGBl重合时，平面BBQQ与平面BCGBl不垂直，C错误;

当FG与BC重合时，平面ABCA与平面EFG”相交，D错误.

故选；B.

16.等差数列｛%｝的通项是4=3〃-1,等比数列也｝满足仇=%,b1=aq,其中q>p≥l,且，、P、q均

为正整数.有关数列｛"｝,有如下四个命题:

①存在。、q,使得数列｛〃｝的所有项均在数列｛q｝中；

②存在P、q,使得数列也,｝仅有有限项(至少1项)不在数列｛4｝中;

③存在。、'I,使得数列｛〃,｝的某一项的值为2023；

④存在。、夕，使得数列｛〃｝的前若干项的和为2023.

其中正确的命题个数是()个

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】利用反证法结合整除性可判断②③④的正误，利用特例可判断①的正误.

【解析】由题设条件可得4=3p7,H=3q-l,故2=(3P-I)X［四二.

(3P-IJ

对于①：

取p=l,q=3,则d=2x4"τ,

πnlM2l

当〃22时，2×4^-'=2×(3+l)^'=2×(ct,3^+C^I3^++C^3+1)

=2×(cθ.,3n-'+C"3"2++C^3I)+3-1

=3｛2XCT3B^2+CT3"-3++C：：)+l｝-l,

故N("≥2)均为｛q,｝中的项，而4=册也为｛叫中的项,故①正确.

对于②：

若存在P、(1,使得数列｛〃｝仅有有限项(至少1项)不在数列｛q｝中,

则从某项％(A0≥4)开始,所有的项均在｛4｝中，且仿也在｛4｝中,

Z∖k-l

故(3p-l)χ

=3u-∖,u>qf

OPT

若子一不是正整数，

3/7-1r

3/7—1VV

设j∙=一且MZ互质且Z≥2,Z为3pT的约数，

故(3p-l)x>√τ=(3"—I)ZJ,故ZI为(3p—l)x"τ的约数，

因为w，z互质，故Z1为3p-l的约数，故k只能取有限个整数，

这与“从某项％化≥4)开始，所有的项均在｛叫中”矛盾，故必为正整数.

设=C,则3qT=c(3pT),

而％-l,(3P-I)除以3的余数均为2,故C除以3的余数为1即C=3/+1,/为正整数.

所以当“22时，⅛=(3p-l)×(3∕+l)n^'

=(3p-l)×[c3(3/广'+CL,(3∕Γ2++C露(3/)+1]

=(3P-I)X[Cθ-,(3∕Γ)+CL(3广++C=;(3∕)]+3p-l,

=3/(3P-I)XlC3(3/广2+((3/片++G]+3p-l,

=3｛∕(3p-l)x[c3(3/+C(3/++C^]+p)-l,

所以"为｛%｝中项，而々为｛q,｝中项，故他｝中所有的项均为｛为｝中项，

故②错误.

对于③：

因为2023=7x17?,若存在人9,使得数列也｝的某一项的值为2023,

则(3p-l)x(∣仁θ=2023即(3q-l)"T=2023x(3p-l)"2,

若"=1,贝∣J2023=3p7,故2024=3p,但2024不是3的倍数，矛盾，舍；

若〃=2,则2023=3q-l,故2024=3q,但2024不是3的倍数，矛盾，舍；

若“≥3,

当〃为偶数时，(3q-l)"T=C3(3。I-C3(3q)"-,+C：二：x3”l

wM2

=Cθ.l(3⅛)^'YT(3√)∙+∙..+C-3+2

故(34-l)"T除以3的余数为2,同理(3P-I)T除以3的余数为1,

而2023=2022+1=3x674+1,故2023除以3的余数也为1,

故2023(3p-l)”-除以3的余数为1,故(3夕-1广,=2023x(3p-l广?不成立，

同理当”为奇数时，(3q-l)"τ除以3的余数为1,同理(3p-l)"-2除以3的余数为2,

而2023=2022+1=3x674+1,故2023除以3的余数也为2,

故2023x(3p-l)T除以3的余数为2,

故(3q-l)"τ=2023x(3p-l广2不成立，故③错误.

对于④：

若存在P、夕，使得数列步,｝的前若干项的和为2023,

此时»=(3P-I)X(包二D,若答I不是正整数，

“、〃/(3P-IJ3p-l

设3='=±且s/互质且f≥2,f为3p-l的约数，

3>p-∖t

故3p-l=制,

Γ,S(sy∖(sX^'~∖t"^'+⅛r,'^2++ts"2+s"T

H.2023=mt×1+—+1—1++1—1=m×--------------------------------,

n12n2

故2023广2=w×(∕-'+st-++ts-+s'z),

因为SJ互质，故广2与广Js产2++*-2+s"T互质,

2,,2

故t"-为，"的约数，故m=kt-,所以2023=犬X(z^-'+S广2+..+*-2+r-.),

而/22,s≥3,n≥3,HLt"-'+st"-2++r√­2+5/,^'>22+2×3+32=19.

故/=7或1=17,

若〃=7,则17?=t'-'+stn-2++tsn-2+s'-'.

结合s≥3,122可得：

172=tn^'+st'-2++ts"-2+s"∣>2"-'+3×2"-2++2×3π^2+3"T=3"-2",

设〃〃)=3"—2",则/(〃+1)—/(〃)=2X3n^l-2"τ>0,

故｛/(«)｝为递增数列，而/(6)=36-26=729-64>289,

故〃≤5,所以”=3,4,5,

又3p=3+l=7U+l,当n-1为偶数时，尸除以3的余数要么为0,要么为L

此时3p=7∕τ+l不成立，故n-1必为奇数即〃=4.

所以172=ti+st2+s2t+si,所以172=尸+5产+£2/+$3>4/，

故f=2,3,4,

当1=2时，J3+2?+4J-281=0,

当s=5时，53+2⅛2+4Λ-281=-86<0,当s=6时，?+2?+45-281=31<0,

因丫=/+2./+4$-281为(0,+e)上的增函数，故$3+2s?+4s-281=0无正整数解.

当f=3时，53+352+9Λ-262≈0-

当s=5时，?+3?+9.v-262=-l7<0»当s=6时，?+3?+95-262=116>0.

同理$3+2s2+4s-281=0无正整数解.

当f=4时，/+4S2+16S-225=0,

2

当s=4时，?+4S+16.V-225=-33<0,当s=5时，?+4?+16,v-225=80>0.

同理53+2.*+45-281=0无正整数解.

故1=7不成立.

若Ie=I7,则17x7=/I+s+tsn-2+s"-',

结合s≥3,r≥2可得：

119≥2π^l+3×2π^2++2×3n^2+3,,^l=3,,-2,'>

由｛/(〃)｝为递增数列及/(5)=35-25≈243-32>119,

i⅛∏<4,所以〃=3,4,

又3p=""+l=7f"-l+l,当n-1为偶数时，f"T除以3的余数要么为0,要么为1,

此时3p=7k+l不成立，故n-l必为奇数即〃=4.

所以119=∕+s*+s2f+s3,所以119=r+5/+$2/+$3>4/，

故I=2,3,4,

当t=2时，./+2./+45-111=0,

323

当s=3时，S+25+45-111=-54<0,当s=4时，5+2r+45-lll=l>0,

同理S3+2S2+4ST11=0无正整数解.

当f=3时,?+3?+95-92=0,

当s=3时，?+3?+95-92=-11<0,当s=4时，?+3?+95-92=56>0.

同理$3+3$2+9,$—111=0无正整数解.

当r=4时，Λ3+452+165-55=0,

当S=I时，Λ3+452+I65-55=-34<0,当s=2时，?+4?+16Λ-55=1>0.

同理s^+4s2+16s-55=0无正整数解.

故/=17不成立.

故”是正整数，同②，有"=c,c=3∕+l,∕eN”,

3p-l3p-l

故(3P-D(I+c+c?++C^-')=2023=7×172,

2,,l2

而c≥4,"≥3,⅛l+c+c++c^>l+4+4=21,

Q

故3p-l=17或3p-l=7(因p=∙∣,舍).

故P=6且1+c+c?++cn^l=119,BPc+C2++c"~'=118,

故C为118的约数，结合“≥3,c≥4可得c=59,

但c+c?++C"-'≥59+592>118,故C+C?++c"-'=118无解，

综上，所以不存在P、4,使得数列｛〃,｝的前若干项的和为2023,故④错误

故选：B.

【点睛】思路点睛：对于数列中与数论有关的存在性问题，往往需要结合整数的整除性来处理，必要时还

需要利用同余理论来讨论存在性问题.

三、解答题

17.设函数/(x)=COS(2x+葛)+2cos?x,χ∈R.

(1)求函数/O)的最小正周期和单调递减区间；

TTJT

(2)将函数/(x)的图象向右平移!■个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间θ,y上的最小

值.

【答案】(1)最小正周期为不，单调递减区间为「万-J,如∙+g],keZ.(2)ɪ

【分析】(I)利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据余弦函数的性质计算可得；

(2)首先根据三角函数的变换规则得到g(x),再根据X的取值范围，求出2x-?的取值范围，再根据余弦

函数的性质计算可得;

【解析】解：(1)ʃ(ɪ)=COS2x+—J+2COS2%

_2;T._.2兀__

=COS2xcos------sm2xsιn——+1+cos2x

33

1ɔ6∙OO

=——cos2x------sin2Λ^+1+cos2x

22

1C√3.ɔ,

=-cos2.x------sin2x÷1

22

(

=COS2x+-+1,

I3J

所以函数/O)的最小正周期为乃，

×φ2kπ≤2x+-≤(2k+∖)π,攵eZ,解得kτr--kπ+—ZeZ,

3631

所以单调递减区间为kn-jkn+5,keZ.

63_

(2)将函数∕α)=cos"x+∣ŋ+l的图象向右平移?个单位长度得

g(x)=c0s[2(x-]+1=COS(2%一?1+1.

JF

因为0≤x≤U,

2

所以-g≤2x-g≤与，

333

所以-g≤cos(2x-g)≤l,

因此;≤cos"xj)+lV2,

所以当2x-g=?,即Xq时，g(x)取最小值，即g(x)*=g修)=；.

ɔɔ乙、乙)乙

18.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ为矩形，尸D0平面ABCC,PD=AD=2,A8=4,点E在线

段AB上，且BE=！A8.

⑴求证：C£0平面PBZ）；

⑵求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵噜

【分析】（I）结合三角函数的定义证明BOLCE,然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直:

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

【解析】（1）设W）与CE相交于点H,

因为PD0平面ABCDCEU平面ABCD,

所以PDj_CE,

由AB=4,BE=-AB,得BE=I,

4

因此tanNECB='，tanAABD=-,

22

可得ZECB=ZABD,

因为/05C=ZA

所以NBHC=NBAD=90°,即LC£,

又因为PD_LCE,PDcBD=D,228。U平面尸Q,

所以C£0平面PBD；

(2)如图，建立空间直角坐标系力-盯z,

则C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),

UlBlUUI

所以PC=(0,4,-2),C£=(2,-1,0),

设平面PCE的一个法向量〃=（χ,y,z）,

n∙CE=O2x-y=0

即

n-PC=4γ-2z=O

令X=1,则y=2,z=4,于是"=(1,2,4),

平面ACE的一个法向量为机=（0,0,1）,

m∙n44后

则cos<∕n,n>=L=­/

λj同WFnl∙√l+4+1621

由图形可知二面角P—CE—4为锐角，

所以二面角P-CE-A的余弦值是也.

21

19.下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量x（4≤x≤20,xwZ）（件）与相应的生产成本y（万元）

的四组对照数据.

X46810

y12202884

⑴试建立X与y的线性回归方程；

（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现.在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化.经分析,

每件产品的销售价格q（万元）是一个与产量X相关的随机变量，分布为

q100—X90—X80-x

ɪ\_ɪ

P2^

44

假设产品月利润=月销售量X销售价格一成本.（其中月销售量=生产量）

根据（1）进行计算，当产量X为何值时.月利润的期望值最大？最大值为多少？

【答案】⑴;=三》-手（X∈[4,20],xeZ）

⑵X=20时，月利润的期望值最大，最大值为蟠.

【分析】（1）由线性回归方程计算公式可得答案；

（2）由题可得月利润的期望值表达式f（x）,后由/（x）单调性可得答案.

ΛZXiyi-4Xy

【解析】(1)设X与＞的回归方程为；=iχ+=则I=十二~~—

∑H-4f

/=1

4_1

又∑x∕=48+120+224+840=1232,I=一(4+6+8+10)=7,

/=I4

_I4

ʃ=-(12+20+28+84)=36,Zx；=16+36+64+100=216.

4'r=l

4___

χ4χ

λΣiyi-y

1232-4×7×3656^—^-56212

则.=母.......-—.ay-bx=36-y×7=则回归方程为:

216-4×495

∑x；-4x

»=1

y=X----(X∈[4,2θ],X∈Z).

(2)设月利润的期望值为/(χ),则由题可得：

/(%)=ɪ(100-Λ)%+ɪ(90-Λ)Λ+ɪ(80-Λ)X

1424儿55J

费》+雷=一,一三］+^则”X）在［4,20］上单调递增,

则当X=20时，/（x）最大，ʃ{x）maχ=f（20）=噂

月利润的期望值最大，最大值为『万元

即X=20件时,

y1

20.已知椭圆Γ:—+=1（。>6>0）的左、右焦点分别为F^F.

a~铲2

⑴以巴为圆心的圆经过椭圆的左焦点K和上顶点B,求椭圆Γ的离心率;

⑵已知α=5S=4,设点尸是椭圆「上一点，且位于X轴的上方，若耳巴是等腰三角形，求点尸的坐标；

⑶已知α=21=G,过点心且倾斜角为∣∙的直线与椭圆「在X轴上方的交点记作A,若动直线/也过点F2且

与椭圆「交于ΛΛN两点（均不同于A）,是否存在定直线4：X=%,使得动直线/与％的交点C满足直线

A"、AC、AN的斜率总是成等差数列？若存在，求常数%的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴T

⑵答案见解析

⑶存在，Xo=4,理由见解析

【分析】（1）由题意知α=2c,即可知离心率;

(2)分IPKl=IP闻,IP)=忸闾和户闾=闺局三种讨论即可;

(3)设直线Ly=Mx-I),联立椭圆方程得到韦达定理式，计算ξw+3w,将韦达定理式整体代入，再计

算怎C，得到方程即可.

【解析】(1)由题意得产万=2c∙即α=2c,所以离心率e=(=g.

(2)由题意得椭圆r。+蒋=1

①当IP町=IPRI时,由对称性得P(O,4).

②当IP用=忸段时，|尸周=出闾=6,故IPKI=2-|P£|=4,设P(x,y),

,..(x+3)~+y2=36(χ2+6x+y2=27

由月一3,0,玛一3,0得:，;=,

')',(χ-3)2+∕=16[x2-6x+y2=l

两式作差得x=∣，

代入椭圆方程，得y=华(负舍)，故P

③当IP用=巧同时，根据椭圆对称性可知P--,ɪ

(3)由题意得椭圆「：?+方=1,国(TO),E(LO),A1,|)

设直线/：y=Mx-1),

y=⅛(x-l)

由.χ2y2(4⅛2+3)x2-8⅛2x+4λ2-12=0.

----1----—1

43

8⅛2

x+x

l2-4⅛2+3

设Ma,y),N(%,%),则

4⅛2-12

xx=

i24公+3

X-Iʃ2-∣⅛(∙r∣->)-∣Λ(⅞-I)-∣

L4-kI-I

^AM十。N

x∣_1X2-1芭一1X]—1

2ΛXX-^2⅛+∙∣^(X+X)+2⅛+34⅛2-122⅛+∣8⅛2

12122h+2k+3

4Jl2+34/+3

=2k-l

22

x1x2-(x1+x2)+l4⅛-128⅛

4fc2+34/+3

>,o-lλ(⅞^^1)^t3

b=__⅛.=_________乙=k_________，

ac⅞-i⅞-i2(⅞-0

3

⅛2⅛-l=2⅛--------得Λ0=4.

XOT

【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线/：y=&(x-l),从而将其与椭圆方程联立得

到两根之和与之积式，然后再计算出(W+怎Z的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入小，设

直线/:x-l=my.

21.已知常数k为非零整数，若函数y=∕(x),xe[0,“满足：对任意办,马«0』，

t

∣∕(x,)-∕(x2)∣≤∣(x1+l)*-(x2+l)∣,则称函数y=∕(x)为L(Z)函数.

(1)函数y=2x,XWO,1]是否为"2)函数？请说明理由；

(2)若y="x)为L(I)函数，图像在xe[0,l]是一条连续的曲线，/(0)=0,/⑴=J,且/(x)在区间(0,1)上

仅存在一个极值点，分别记〃x)a、F(XL为函数y=f(χ)的最大、小值，求/(χ)ιrax-/(XL的取值范

围；

(3)若α>0,/(x)=0.05x2+0.1x+αln(x+l),且y=∕(x)为L(T)函数,g(x)=∕'(x),对任意x,ye[θ,l],

恒有Iga)-g(y)∣≤M,记M的最小值为M(。)，求”的取值范围及M(a)关于”的表达式.

【答案】(1)是，理由见解析

(2)匕(1a3'

⑶M(α)=0.1-],

【分析】(1)根据“2)函数的定义，即可证明;

(2)分X。为/(x)在区间(0,1)上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据MI)函数的性质，列式

求解；

(3)首先根据函数/(x)是L(T)函数，构造函数∕z(x)="x)++=0.05χ2+0.1χ+Mn(x+l)++，再求

函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求M