本科毕业设计（论文）-平面几何中的定值问题

PAGE第2页(共1５页)平面几何中的定值问题Theproblemsonconstantvalueinplanegeometry摘要在几何的学习过程中，平面几何的定值问题是一个不可忽略的重要题型。平面几何中的定值问题在各类数学竞赛中常常出现。那么，什么是几何定值问题呢?当某一几何元素按照一定规律不断运动时，与之相关的几何量保持不变。这就是所谓的几何定值问题。几何定值问题一般有以下三种形式：一、几何定值问题可以分为定量问题和定形问题：二、证明某一些线段(角)具有固定值或固定的运算关系。三、当给出定值时，这就是单纯的证明问题；当未给出具体定值时，还需要找出这个定值或用特殊化法猜测出这个定值后，再予以证明。在平面几何问题的解法上，各国专家学者已经给出了很多种方便易懂的方法。例如将平面直角坐标系与几何定值问题相联系，从而达到解题的目的等等，这样类似的巧妙地解题方法，在我们的日常学习中不断地发展与更新。看到这样迅速的发展，我们不得不考虑这样一个问题：面对此类题型，我们又该以怎样的教学方法，教学手段实现我们现在所处处提倡的有效教学呢？Inthelearningprocessthegeometry,Theproblemsonconstantvalueinplanegeometryisaimportantkindofquestionscannotbeignored.Likewiththemostvalueproblems,theproblemsonconstantvalueinplanegeometryinvariousmathematicalcompetitionsoftenappeartoo.So,whatisthegeometricconstantproblem?Whenageometricelementsinconstantmotionaccordingtocertainrules,theassociatedgeometricquantitiesremainconstantchange.Thisiscalledthegeometricconstantproblem.Geometricvalueproblemsgenerallyhavethefollowingthreeforms:First,thegeometricproblemcanbedividedintoquantitativevaluationissuesandsettingissues.Second,toprovethatcertain(orcertain)line(angle)withfixedvalueorfixedoperationrelationship.Third,whenthegivenvalue,thisisasimpleproofoftheproblem;ifnotgiveaspecificvalue,youalsoneedtofindoutthevalueorusespecializedmethodstoguessthevalue,andthenbeproved.Probleminplanegeometry,thenationalexpertsandscholarshavegivenwaytoavarietyofeasymovement.Suchasplanerectangularcoordinatesystemandgeometryproblemsassociatedvalue,soastoachievethepurposeofproblemsolving,etc.,socleverlysimilarproblem-solvingmethods,inourdailylearningtocontinuallydevelopandupdate.Toseesuchrapiddevelopment,wehavetoconsiderthequestion:Inthefaceofthesekindsofquestions,whatshouldwe,inwhatteachingmethods,teachingmeanstoachievewhatweareeverywheretopromotetheeffectiveteaching?关键词：平面几何；定值问题；探求解法；教学方法Keyword:Planegeometry;Fixedvalueproblem;Exploresolutions;Teachingmethods

目录第一章问题的提出………………（4）第二章问题的阐述………………（4）一、平面几何中的定值问题…………………（4）1．1平面几何中的定值问题定义………（4）1．2平面几何中的定值问题类型………（4）二、平面几何中的定值问题的解法…………（6）2．1运动法探求定值……………………（7）2．2计算法探求定值……………………（7）2．3函数法求定值………………………（8）2．4相似法求定值………………………（8）2．5特殊位置法求定值…………………（9）2．6综合分析法探求定值………………（10）三、平面几何中定值问题的有效教学………（11）3．1浅谈有效教学………………………（12）3．2数学教学的有效性…………………（13）3．3平面几何中定值问题教学方法……………………（13）第三章小结………………………（13）

第一章：问题的提出由应试教育向素质教育转轨的今天，中学平面几何教学在培养学生逻辑思维能力中仍担负着不可替代的作用。实践证明，我国需要全面提高中学数学的教学质量。而在几何的学习过程中，平面几何的定值问题又是一个不可忽略的重要题型。定值问题在各类数学竞赛中也常常出现。那么，什么是几何定值问题呢?经过对参考文献的整理之后我们得出了大概的定义，既当某一几何元素按照一定规律不断运动时，与之相关的几何量保持不变。这就是所谓的几何定值问题。这里的几何元素一般是指:点、线(直线)、形(直线形或圆);几何量是指线段的长或比，角的度数或比，面积的值或比。而也有好多专家指出几何定值问题大体上可以分为三类:(1)由动点引发的定值问题，这类问题见得较多;(2)由动线引发的定值问题，这类问题见得不少;(3)由动形引发的定值问题，这类问题间或有之。在平面几何问题的解法上，各国专家学者已经给出了很多种方便移动的方法。例如将平面直角坐标系与几何定值问题相联系，从而达到解题的目的等等，这样类似的巧妙地解题方法，在我们的日常学习中不断地发展与更新。但是，在教育发展迅速的今天我们不得不提出一些疑问，这样精妙的解题方法，经典的解题思路，我们要怎样把它传承下去，怎样把它转化为学生自己的知识储备？怎样让它在你那清一代中得到进一步的，更高一层次的发展呢？针对这样的问题，我又对现代教育的发展进行了一定的调查与研究，而我在本文中需要解决的主要问题就是怎样将现代的、积极的、有效的教育教学方法运用到我们平面几何中的定值问题的实际教学上来。第二章：问题的阐述在生活中，我们遇到了多种多样的挑战，而面对挑战，我们必须具有不畏的精神，丰富的知识储备，与多样的思考方式与战胜它，从而赢得生活的尊重。在数学几何的学习过程中也是如此，我们在不同阶段，创造性有不同的表现，在基础教育阶段，主要的目标与目的还是激发学生的好奇心、求知欲和想象力，培养学生创造性的思维品质，培养学生科学精神与人文精神，发展学生的探究、发现和初步的创造能力。数学的创新学习与教育，都离不开思维，而具有不定性这一特点的几何中的定值问题恰恰是训练学生发散思维，培养学生创新能力的好办法。一、平面几何中的定值问题几何中有几个大的类型题是非常重要的，平面几何的定值问题就是其中之一。平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何的定值问题既在平片几何的点、线的等多种元素中的一种或多种元素不断变化的情况下，有一组元素是固定不变的，是定值。本章主要对平面几何中的定值问题进行定义上的理解，并进一步了解平面几何定值问题中的常见类型。平面几何中的定值问题定义在各种材料中出现最多，也得到最多认可的对于几何定值问题的定义是向下面这样的，既当某一几何元素按照一定规律不断运动时，与之相关的几何量保持不变。这就是所谓的几何定值问题。这里的几何元素一般是指:点、线(直线)、形(直线形或圆);几何量是指线段的长或比，角的度数或比，面积的值或比。平面几何中的定值问题类型在平面几何定值问题的类型上大体可以分为三类。由动点引发的定值问题，这类问题见得较多。例1正三角形内任意一点。分别是点在高上的垂足求为定值。证明如右图做于，于，于，则，，，由正三角形内任意一点到三边的距离的和为定值可得所以，证得为定值。1.2.2由动线引发的定值问题，例两圆相交于两点，过点任作两直线与交一圆于，交另一圆于，AB与交于点，求证：为定值。分析设两圆为⊙、⊙，现从运动极端分析，因为直线与都是以为固定点运动的。当与重合时，便成了左图的情况，而和分别成了两圆的切线。且，、分别为直径。证明如右图，连结则有1.2.3由动形引发的定值问题，例如图，⊙的直径AB=d(定值)。⊙、⊙是两个动圆，它们既与⊙内切，又同时与相切。过点作⊙的切线交射线于点;过点A作⊙的切线交射线于点。证明:不论⊙、⊙的位置、大小怎样变化，恒为定值。证明如图9，设⊙切于点、切⊙于点。显然三点共线，且。记，﹥,则，，。令则。由，得，解得,易得QUOTEAGAB=ODBD，既。QUOTEAGa+b从而，，同理。所以。同理。故为定值。综合上述这几道题目，虽然比较简单，但细致探究可发现此题解法富有思考性、思路宽广、灵活多变，不失为考查学生思维能力和知识运用的一道道难得的几何好题，促使学生积极思考、探讨它的灵活多变，形式不一，但都具有大致上的共同点。同时可以扩大知识感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系，有利于知识点之间的联系与巩固，更有利于拓展学生的思维，达到一题多解的效果。在此，不难发现，数学基础知识是解题的武器和工具，要重视数学知识的各个方面，各个层面的联系，灵活地、辩证地理解数学知识，把公式、定理学活，用活平面几何中的定值问题正是需要综合、灵活地应用数学基础知识和基本方法才能得到解决。不同类型的题目经过整合后能够找到他们的共同突破点从而更好的解决此类问题。二、平面几何中的定值问题的解法与几何中的定值问题一样，平面几何中的定值问题也是教师在数学考试中了与考察的类新题目之一。这类题目，对锻炼同学们的思维能力，和观察能力具有很强的培养作用，它能够是同学们养成良好的、缜密的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。在做此类题目中，同学们要从具体中体会抽象，从抽象中找到具体，从一帮中找到特殊，从特殊中发现一般，从而找到解题的方式与方法。平面几何定值问题是很多学生觉得难以理解与掌握的。因为虽然这类题目的形式多是以证明题为主而出现的，但是却是在不知道证明结果是什么的情况下进行解答的，所以学生不知从何下手。因此对于学习这类问题学生普遍感到很困难，对于这类问题的解决也缺乏信心。一直以来的到公认的是：“所谓几何定值问题，就是命题的条件中，一部分几何元素是固定的，而另一部分元素则可在一定范围内变动，但与此变动元素相关联的某种几何量(线、角、弧、面积)或其和、差、积、比等的值却保持不变，这就是定值。证明定值问题，就是证明它可以用已知量的确定关系来表示。”在对平面几何问题的探索过程中，我们发现证明平面几何定值问题的关键在于两点：一是要把这个定值设法找出来，而是要把复杂的平面几何定值问题转化成简单的定值问题进行解答。下面我们就介绍几种常见的解题方法与思路：2.1运动法探求定值例是两个同心圆重大圆的直径，是小圆边上任意一点，证明：等于定值。分析因为点是校园上一个不定的动点，所以我们可以先让点运动到大圆直径与小圆的一个交点上，如右图。这样我们可以证明P点运动到一个特殊点的情况下的为定值，然后再从特殊到一般进行证明，从而得到结论。证明连接，这样为的一条中线，且是大圆的直径，是圆心，所以根据数学课本第五册1，11。例4的结论可知，显然为定值。通过以上例题，我们不难看出，要在平面几何定值问题上利用运动法探求定值的一个条件就是含有变动的已知元素。在这类题目中运用运动法求定值，用一般寓于特殊的观点，让变动元素由一般位置运动到特殊点或特殊位置，有利于对定值的探求。这种运动方法包括着特殊点法，这里不作严格区分。2.2计算法探求定值例如图，已知，点分别在射线上移动，的平分线与的外角平分线相交于点，求证:的大小是定值。分析由于是的一个内角，所以可利用三角形的内角和定理以及内外角平分线的定义直接计算的大小。。由上述例题可知，在平面几何定值问题中，如果出现的已知条件之间存在着某种内在联系，可以通过基础的运算进行解答，此时我们就可以运用计算法进行解答题目，这种法及简洁，又直观。求解平面几何中的定值问题时，合理的运用计算法直接求定值，又是很简便的。而在计算中常用的就是解析法和三角法。2.3函数法求定值例如图4，已知正方形的周长为，四边形的四个顶点分别在上滑动，在滑动过程中，始终有∥∥，且，那么四边形的周长是否可求?若能求出，它的周长是多少?若不能求出，请说明理由。分析：根据题设，都是等腰直角三角形，设，，则四边形的周长可用含的代数式表示。考察该代数式的情形，可判断四边形的周长是否可求。解：设，，四边形的周长为。由题意可得由勾股定理可得。∵，∴(定值)。由上述例题可以看出，在平面几何定值问题中，若出现某些值之间存在着某些函数关系，我们可以利用题中所给出的这些有利条件引入适当的变量，并建立其与之适应的目标因变量之间的联系，构成有利于计算的函数形式，把问题转化为求解函数中的与无关的一个纯代数问题。在这样的转化的基础之上再次进行计算就会简便很多，在计算平面几何和中的定值问题时就可以更直观的，有效地看出，计算出所要求解的问题答案。让人更容易理解，而不是仅仅凭着平面图形进行想象。2.4相似法求定值例如图5，已知等边内接于圆，在劣弧上取异于的点，设直线与相交于点，直线与相交于点。证明:线段和的乘积与点的选择无关。分析注意到图形中的边长是一个定值，说明与有关，从图知为与的公共边，作一个大胆的猜想，，从而我们的证明目标更加明确。解，又有，。同理，∽，。。这就是说与点的选择无关。由上述例题可知，在求平面几何的定值问题是，如果出现了关于平面几何中限于线之间的比例问题时，恰当的使用已经学习过的三角形相似的性质与各个定义，可以使问题简洁化，简单化，简明化。可以更好的，更迅速的求得要解答的问题答案。2.5特殊位置法求定值例若过的底边上任意一点，作平行于中线的直线，交于，与的延长线交于，则为一定值。分析为底边上任意一点，当是的中点这个特殊位置时，都与重合，则，可知这个定值恰好等于中线长的2倍。证明过作∥，过作∥，与相交与，延长交于。∵∥，∥，所以四边形是平行四边形。，∥，∥，所以四边形是平行四边形。可知，又∥，，QUOTEEF∥AGPEAM=。由上述例题，可以看出在平面几何中的定值问题的计算中，有时候是不可以硬来的，要灵活的运用各种所学知识，做到管全局，找特殊，求一般。以特殊位置上的点取代一般的点，从而估计出所求的定值，再予证明。这个特殊位置常可以是定线段或定圆弧的中点，或定三角形的高、中线及角平分线。对于以上这两种证明方法，我们可以归纳出证题技巧和步骤:(1)分清图形中固定元素和变动元素，找出它们之间的关系;(2)在特殊(极限)位置上找出定值;(3)在一般情况下去证明定值。2.6综合分析法探求定值例如图，设点为定圆上定弧的中点，点为弧上任意一点，而且点与点不在直线的同侧，求证:QUOTEPA+PBPC为定值。分析只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题。由点的任意性，可先考虑点的特殊位置—点与点重合。而因为是定点，，QUOTE所以题中定值可能就是ABBC所以题中定值可能就是。QUOTE下面的问题是如何证明PA+PBPC=ABBC下面问题是如何证明，这里可寻求相似三角形。解设在的延长线上取点，使，连结，则有，。∵点C为弧的中点，∴。而，∵∠PAB=∠PCB，。，又，所以。由上述例题，可以知道在很多的平面几何中的定值问题都是不能用一种方法可以解答的，所以，在遇到需要解答这样的题目时，要综合个方面的已知条件，结合已经给出的图片进行综合性的解答，综合各种解题方法，找出需要的几种惊醒综合，根据已知条件，找出答案。三、平面几何中定值问题教学方法探究3.1浅谈有效教学3.课程改革系统工程中的一个组成部分就是教学改革。在我国，中小学教学目前所面临的一个很突出的，非常严重的问题就是：教师教得很辛苦，学生学得很痛苦。在这样“两苦”的情况下我们的教学却没有收到应有的结果。得到的只是学生的不满，教师的不解，家长过剩的“求升学”心里。面目对这些问题，在这一次基础教育课程改革中提供了多种问题解决的方案。可以说，在新课改理念的指导下，学校、教师、学生都发生了很大的变化。江苏省“青蓝工程”优秀中青年骨干教师陈维维在她的论文《如何实现课堂有效教学》中就曾经指出过当前，我国基础教育中存在着一个非常严重的教学问题，那就是：老师讲得多，学生练得多。结果，学生被训练成考试的机器，一部分变成成绩优秀，缺乏个性，没有创新能力，缺少应变能力的“高分低能生”。在推进新课程改革、全面实施素质教育的今天，老师必须转变教学观念，以人为本，以学生发展为中心，促进学生学习方式的转变，关注学生在学习中所表现出的积极性、自主性、创造性，变“要我学”为“我要学”的教学原则。她还指出了有效教学的原因是在我们的课堂上存在许多教学的误区，主要表现在以下几个方面：（1）多讲比少讲好；（2）形式越新颖越有效。在当前新课程改革中，为追求师生互动，用“满堂问”来代替“满堂灌”；（3）时间投入越多越有效。拼时间，是目前不少中小学老师提高教学成绩的“法宝”。老师为社会、为国家培养的不是“考生”，而应是可持续发展的创新型、应用型人才。靠苦学出来的学生，即使一时能获得较高的考分，但往往学习无后劲，日后也很难有大的发展。所以我国现阶段教育工作的中心教育改革中重要的一个环节就是实现有效教学，使老师的辛苦付出有所回报，使学生的刻苦能够的到真正的只是，而不仅仅只是书本上的文字或者是数字，而是生活的技能与依托。3.在网络上和书籍杂志中普遍得到认同的有效教学的定义是有效教学的“有效”，主要是指通过教师在一种先进教学理念指导下经过一段时间的教学之后，使学生获得具体的进步或发展。有效教学的“教学”，是指教师引起、维持和促进学生学习的所有行为和策略。它主要包括三个方面：一是引发学生的学习意向、兴趣。教师通过激发学生的学习动机，使教学在学生“想学”“愿学”、“乐学”的心理基础上展开。二是明确教学目标。教师要让学生知道“学什么”和“学到什么程度”。三是采用学生易于理解和接受的教学方式。3.有效教学的核心就是要教学要有应该出现的效益，即什么样的教学是有效的？某一样教学是高效、低效还是无效？在教师的课堂上，他的教学方法是不是达到了预期的效果，还是只是实现了一部分效果，甚至是根被就没有起到任何效果，学生也没有得到应该学到的知识。这些都是有效教学的核心，有效教学的研究，就是要根据所提出的问题进行调查，是我国的中小学教育更上一层楼，达到预期的最大效果，甚至是超越。有效教学的主要方法是要围绕着教师自身各方面能力的提高而展开研究的，作为一名教师，要是想是自己的课堂更加的有效益，就要不断地丰富自身的知识储备含量，要不断地提升教师的专业素质，转变自己原有的老旧的教学观念，找到自己的不足，要做好课后的反思工作，做一个会反思自己的教师。3.2数学教学的有效性《数学课程标准》要求学生学习到的知识，是对他们未来的生活有价值的东西，具有一定的实用性的知识，而不是课本上死的文字或者是数字。学生所学习的知识，尤其是数学知识要能过解决日常生活中他们所常见的问题。所以，提高数学课堂的有效性就是一个势必要解决的问题。在数学的教学过程中，教师要学会创设有趣的，能够吸引学生注意力的情景，在这样的情境下更加有利于学生的学习。创设一个有效地教学情景能够使枯燥、乏味、抽象的数学知识更有效地实现贴近学生的社会生活，更好的与学生的认知经验相匹配，使学生在生动有趣的情境中获得基本的数学知识和技能，体现数学学习的价值。然而创设的情境必须为我们的数学教学服务。如果只是为了联系生活而牵强附会的话，那么情境就失去了其自身应有的价值，同时也不利于学生对知识的掌握。3.3平面几何中定值问题的有效教学平面几何是学生在初等教育阶段必定会学到的基本数学知识，在这个基本的数学知识里面平面几何中的定值问题与平面几何中的最值问题是同等重要的，那么在日常的教学中，要以怎样的方式方法进行教学才能够达到平面几何中的定值问题的有效教学呢？平面几何定值问题的教学，要重视以形象、生动、直观教学进行是十分必要的。在平面几何教学内容上，众多的概念都是以很抽象的数学语言介绍，对于教师而言“照本宣科”会让学生会感到枯燥乏味。所以在平面几何定值问题的教学课堂中多多地运用一些生动的、形象的、直观的事例、语言，用大量的资料，例如建筑工人使用的线吊，木工划线，机械工要的放样等阐明几何中所给出的研究对象，将定值问题与实际的生产、生活紧密联系，制造悬念，而这些“悬念”的提出，往往可以大大的激发学习兴趣和求知欲。另一方面，结合各方面的材料知识，对学生讲述一些定理的发现、命名，数学发展史，有关数学的趣闻轶事，数学的名题、趣题等。特别是一些与当代中学生的实际生活相联系的，有关联的，这些内容能够激发同学们的学习欲望，吸引同学们的注意力，使他们能够将更多的注意力集中在所学习的知识上。在平面几何中的定值问题的教学中，是绝对不能忽视基础知识的练习的，在上面的解法、类型等例题中可以看出，很多的简单的解法与过程中大部分都应用到了各个时期所学习到的基础知识，例如三角形相似的性质和它的定理，三角形内外交的性质定理，函数等等。第三章：小结在教育改革工作如火如荼进行着的今天，在数学教学的课堂上出现了翻天覆地的大变化。数学教学的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。要在有限的教学时间里让学生得到充分发展。因此，怎样确实的提高数学课堂教学的有效性必须引起数学教育领域足够的重视。数学课堂教学不应该质疑中简单的教师教，学生学的教学过程，也不应该是教师展示自己丰富知识的舞台。而是应该符合新课改精神的上课应该是“体现自主、创设合作、引导探究、注重过程”的教学，让学生能够真正的得到所学的知识，，把教师交给自己的知识转变为生命中的一部分，在生活中不断地发现这些知识的用处，并在实践中晚上这些知识，使其有更强大的发展。再本分中主要提到的平面几何中的定值问题的教学，我们也必须引起足够的重视，平面几何中的定值问题可以锻炼学生的发散性思维，使学生更好的从总体抓部分，由部分看整体，从抽象到具体，有具体掌握抽象。在几何教学的课堂上要充分理解《数学新课程标准》，严格但灵活地根据《数学新课程标准》进行教学。充分的认识平面几何定值问题的基本类型由动点引发的定值问题，这类问题见得较多，由动线引发的定值问题，这类问题见得不少，由动形引发的定值问题，这类问题间或有之。牢固的掌握平面几何定值问题的几种基础的解题方式方法，包括运动法探求定值，计算法探求定值，函数法求定值，相似法求定值，特殊位置法求定值，综合分析法探求定值等等。贾朝彬在其《用函数法证明几何定值问题的另一种思路》中提到平面几何课程目前正处于重大的改革之中，而且对一系列重大课题的改革试验和研究，还远未做出结论。传统的几何数学主要缺点之一，就是不掌握基本内容之间的内在联系，产生这种现象既