2022-2023学年陕西省咸阳市武功县高二下学期期中数学（文）试题【含答案】

如22-2023学年陕西省咸阳市武功县高二下学期期中数学(文)试题

一、单选题

1.在复平面内，复数z=i(l+2i)对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】化简得到z=-2+i,从而得到对应的点位于第二象限.

【详解】z=i(l+2i)=-2+i,所以对应的点(-2,1)位于第二象限.

故选：B

2.甲、乙、丙、丁四位同学分别对一组变量进行线性相关试验，并分别计算出相关系数，•，则线性

相关程度最高的是()

甲乙丙T

r0.870.910.580.83

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】根据相关系数的定义判断即可.

【详解】因为相关系数H越大，线性相关程度越强，

所以线性相关程度最高的是乙.

故选：B

3.若复数Z满足(l+2i)z=l,贝”的共轨复数是()

12.12,-12.1

A.-----1--1B.--------1C.—+—1D.一—

5555555

【答案】C

【分析】根据复数除法运算可求得z,根据共辗复数定义可得结果.

1l-2il-2i12.12.

【详解］JT2i=(l+2i)(l-2i)=3,,',Z=5+5*'

故选：C.

4.下列三句话按“三段论”的表述形式，排列顺序正确的是()

①y=ln∣M是偶函数；②N=InlXl的图像关于y轴对称；③偶函数的图像关于N轴对称.

A.①T②T③B.③T②T①C.②T①T③D.③T①T②

【答案】D

【分析】根据“三段论”的结构即可求解.

【详解】根据“三段论”："大前提”，"小前提''则"结论”可知：偶函数的图像关于夕轴对称是“大前提”,

ʃ=ɪnH是偶函数是“小前提"，V=InlXl的图像关于y轴对称是“结论”，

故选：D

5.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件上出现的点数为质数，事件8：出现的点数不小于3,则事

件/与事件B()

A.相互独立B.对立C.互斥但不对立D.概率相等

【答案】A

［分析］根据P(AB)=P(A)P(B)即可得到答案。

【详解】抛掷骰子可能得到的点数为1,2,3,4,5,6,其中质数为2,3,5,

121

所以P(/)=5，P(8)=3，P(/8)=§,故尸(48)=P(N)P(B),

所以4与8相互独立.

故选：A

6.甲射击命中目标的概率是之，乙命中目标的概率是,，丙命中目标的概率是:，现在三人同时射

432

击目标，则目标被击中的概率为()

32723

A.-B.~∑C.-D.—

43824

【答案】D

【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可求出结果.

【详解】设甲射击命中目标为事件A,乙射击命中目标为事件5,丙射击命中目标为事件C,

321

则尸(4)=［,尸(8)=§,P(C)=-,

因为48,C相互独立，所以Z瓦。也相互独立，

则三人都没击中目标的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(I-尸(/))(I-P(5))(l-P(C))

所以目标被击中的概率是1-二1=乡23,

故选：D.

7.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4

万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数V（万公顷）关于年数X（年）的函数关系较为接近的是

（）

A.y=0∙2xB.y=0.1x2+0.1x

γ

C.γ≈0.2+Iog4%D.y=~

【答案】D

【分析】根据题意，将（1。2）,（2,0.4）,（3,0.76）分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求

解.

【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，

即（1,0.2）,（2,0.4）,（3,0.76）,

对于A中，函数y=0.2x,当x=3时，y=0∙6和0.76相差较大；

对于B中，函数y=O.lχ2+o.iχ,当χ=2时，y=0.6和0.4相差较大；

对于C中，函数y=O.2+log4X,当χ=2时，N=0.7和0.4相差较大；

对于D中，函数y=—，当x=l时，y=0.2,当χ=2时，歹=0.4,

10

当X=3时，片0∙8和0.76相差0.04,

综合可得，选用函数关系y=三较为近似.

故选：D.

8.已知复数Z满足∣z∣gz-4i∣（i为虚数单位），则Z的虚部是（）

A.—2iB.2iC.—2D.2

【答案】D

【分析】根据题意IZl=IZ-4i∣可列式Ja?+从=J/+（6_4『，即可解出复数虚部.

【详解】设z=α+6i,IZl=IZ-4i∣nJ"+/=42+伍一4）2,解得6=2

故选：D

9.在一次数学竞赛中，某班甲、乙、丙三名同学中的一人获奖.甲说：“我没有获奖”；乙说：“我获

奖了“；丙说："乙没有获奖”.如果三人中恰有二人的说法是错误的，则最终获奖的是（）

A.甲B.乙C.丙D.不确定

【答案】A

【分析】先假设说法正确，通过推理分析即可得出结论.

【详解】假设甲的说法是正确的，则乙、丙二人的说法是错误的，则乙没获奖，所以丙的说法是正

确的，两者矛盾，所以甲的说法是错误的；

假设乙的说法是正确的，即获奖的是乙，则甲、丙二人的说法是错误的，所以甲获奖了，

与三名同学中的一人获奖矛盾，所以乙的说法是错误的；

因为三人中恰有二人的说法是错误的，所以丙的说法是正确的，所以最终获奖的是甲.

故选：A.

10.我们知道：在平面内，点&,.)到直线∕x+取+C=0的距离公式为d=也F知。=9,通过

y∣A+B^

类比的方法，贝I」：在空间中，点(2,5,1)到平面》+2＞；+22+1=0的距离为()

A.7B.5C.3D.2√5

【答案】B

【分析】利用平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式进而可以求解.

【详解】平面内点(⅞,Λ))到直线Ax+By+C=0的距离公式d=叫,

y∣A2+B2

类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(2,5,1)到直线X+2y+2z+1=0的距离为:

_|lx2+2x5+2xl+l|_15_

=-√i2+22+22-=T=5-

故选：B.

11.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角

形演化而成的，其中04=44=44=…=44=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记

OAl,OA2,…，的长度构成的数列为｛4｝，则%5=()

A.25B.24C.5D.4

【答案】C

【分析】根据题意可推出4=1，且d=Yτ+l("≥2),从而说明数列｛4｝是以1为首项，1为公差的

等差数列，求得数列｛为｝的通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意知，04=44=44=…=44=1，

AOA1A2,AOA2A3,…，AoA7…都是直角三角形，

∙∙∙%=1,且端“3+l("≥2),故Y-dτ=1(〃≥2),

数列｛3｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

,a；=1+(〃-I)XI=勿.

又。〃〉0，.∙.atl=4n,

ʌ数列｛%｝的通项公式为4=〃，

=，25=5,

故选：C.

12.1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e"=cosx+isinx

QeR,i为虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据

此公式，下面四个结果中不成立的是()

022

f1ʃV

t

A.e"+l=0B.-+—i=1

\227

C.∣eit+e^∣<2D.-2≤elt-e^ix≤2

【答案】D

【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.

【详解】对于A,当X=兀时，因为e`=Cos兀+isinπ=-l,所以”+1=0,故选项A正确；

20222022

(1/7λ/∖2022/πA

对于B,—+——i=cos—÷isin-=eɜ=e674πι=cos674τβ-isi∏674τF1,

122)(33；)

故选项B正确；

对于C,由e"=cosx+isinx,eu=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,

所以e"+e⅛=2cosX,得出卜"+e"∣=∣2CoSXI≤2,故选项C正确；

对于D,由C的分析得e"-e-"=2isinx,推不出-2≤e"-小≤2,故选项D错误.

故选：D.

二、填空题

13.若(l-i)z=l+i,则IZI=.

【答案】1

【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z,再求出其模.

【详解】因为(l-i)z=l+i,所以Z=N=77[M=里±==i,

1-1(I-I)(I+1)2

所以∣z∣=l.

故答案为：1

14.执行下面的程序框图，如果输入的N=3,那么输出的S=

【答案】∣5/Iy2

【分析】根据程序框图把N=3代入，逐步求解可得结果.

【详解】第一次运算：T=LS=LK=2；

13

第二次运算：Γ=-,S=-Λ=3;

第三次运算:rɪɪS=f-Λ=4;

此时K=4>3,退出循环体，输出S为:

故答案为：y.

15.经市场调查,某款热销品的销售量共万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程j=以+3.5.

若样本点中心为（45,35）,则当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为万元.

【答案】70

【分析】根据回归直线必过样本点中心得3=0.7,进而得i=0.7x+3.5,再计算j=0.7x+3.5=52.5

即可.

【详解】解：依题意，回归直线必过样本点中心，

故将（45,35）代入回归直线方程j=以+3.5得35=菽45+3.5，解得3=0.7，

所以回归直线方程为j=0.7x+3∙5.

令i=0.7x+3.5=52.5,得x=70.

所以当销售量为52.5万件时，可估计投入的广告费用为7（）万元.

故答案为：70

16.一个口袋中装有5只口罩，其中一次性医用口罩4只，普通一次性口罩1只，从中取2只，每

次任取1只（不放回）.设事件/="第一次取到的是一次性医用口罩“，事件8="第二次取到的是一

次性医用口罩”，则条件概率尸（8|/）=.

3

【答案】:/0.75

4

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】事件/3="第一次取到的是一次性医用口罩，第二次取到的是一次性医用口罩”，

zʌC；C；_12

所以P(8∣∕)=然12_3

16-4

3

故答案为：-

三、解答题

17.某地拟于2024年将游泳列为中考体育内容.为了了解当地2023届初三学生的性别和喜欢游泳是

否有关，对100名初三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢游泳不喜欢游泳总计

男生10

女生20

总计

3

已知这IOO人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为；

⑴请补充完整上述2x2列联表；

(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

n(ad-bc)^

附：K2n=a+b+c+d.

(«+6)(C+d)(a+c)(b+d)

2

P(κ≥k0)0.050.0250.010.0050.001

k。3.4815.0246.6357.87910.828

【答案】(1)见解析

(2)有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关

【分析】(1)根据题意计算即可完善列联表；

(2)计算卡方值，和10.828比较即可得出结论.

3

【详解】(1)因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为:，所以喜欢游泳的学生

3

人数为IooXl=60.

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

喜欢游泳不喜欢游泳总计

男生401050

女生203050

总计6040100

⑵因为孵=100x(40x30-20x10)2

≈16.667>10.828,

60×40×50×50

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

18.设复数Z]=2+αi(其中。∈R),z?=4-3i,i为虚数单位.

⑴若z∣+Z2是实数，求H⑦的值;

(2)若五是纯虚数，求。的值.

Z2

【答案】⑴17+6i

【分析】(1)4+为是实数，说明虚部为0,可求出。的值，再去计算ZE即可

(2)先将五进行化简，因为是纯虚数，说明实部为0,且虚部不为0,从而求出α.

ɪ2

，

［详解］⑴.∙Z］=2+αi(其中4wR),z1=4-3i,

,

..z1+z2=6+(α-3)i,

由4+入是实数，所以〃—3=0,解得α=3.

,

..z1=2+3i,z2=4-3i,

则z∣∕2=(2+3i)(4-3i)=17+6i；

z2+αi(2+oi)(4+3i)8-3。6+4a.1一一

(2)由ι三1二4—3i=(4—3i)(4+3i)=25∣251是纯虚数'

8-3a=0

，解得

6+4ɑ≠0

19.(1)已知X为正数，α=-x+-,b=5x-',用反证法证明：a,6中至少有一个不小于6；

XX

(2)用分析法证明：当x24时，√T≡3+√Γ^>√T≡4+√7^1.

【答案】(1)(2)证明见解析

【分析】(1)假设均小于6,则“+b<12,再由基本不等式证明α+6≥12得矛盾，即可得证;

(2)利用分析法从结论往前推即可.

【详解】(1)假设a,b均小于6,即4<6,b<6,则α+bvl2,

K10,1

而a=一1+—,b=5rx——,x>0,

XX

o/9

则a+6=4x+—≥2.4x•—=12>

xyx

93

当且仅当4x==,即X==时，取等号，

X2

与假设矛盾，

所以“，b中至少有一个不小于6；

(2)当χ24时，^iiE√7≡3+√x≡2>√x≡4+√x≡l,

需证(JX-3+Jx-2)>(Jx-4+JX-1)>

只需证X-3+2J(x-3)(x-2)+x~2>x-4+2J(x-4)(x-1)+x—1,

即证λ^(x-3)(x-2)>Λ∫(X-4)(X-1),

也就是证f-5x+6>X?-5x+4，

即证6>4,此式显然成立，

所以Jx-3+JX-2>JX-4+-Jx-l.

20.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有三关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选

手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7,第二关通过率

为0.5,第三关的通过率为0.3,三关全部通过可以获得一等奖(奖金为300元)，通过前两关就可以

获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等奖，则奖金可以累加为500元.假设选手

是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.

(1)求甲最后没有得奖的概率；

(2)已知甲和乙都通过了第一关，求甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率.

【答案】(1)0.65

(2)0.105

【分析】(1)甲没中奖分为第一关没有通过，和第一关通过且第二关没有通过两种情况，分别求得

两个事件的概率再求和即可；

(2)根据最后奖金总和分析得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，根据概率乘法和加法公

式即可求解.

【详解】(1)甲第一关没通过的概率为l-0∙7=0.3,

第一关通过且第二关没通过的概率为0∙7×0-0-5)=0.35,

故甲没有得奖的概率P=0.3+0.35=0.65.

(2)记甲和乙通过了第二关且最后获得二等奖为事件E,

通过了第二关且最后获得一等奖为事件尸，

贝IJP(E)=O.5X(1-0.3)=0.35,P(F)=0.5x0.3=0.15,

・•,甲和乙最后所得奖金总和为700元，

二甲和乙一人得一等奖，一人得二等奖，

若甲得了一等奖，乙得了二等奖的概率为6=0.35x0.15=0.0525,

若乙得了一等奖，甲得了二等奖的概率为6=0.35x0.15=0.0525,

二甲和乙最后所得奖金总和为700元的概率P=P,+P2=0.0525+0.0525=0.105.

21.已知复数2=》+4。€&卜€1<)满足|2-1|=1.

(1)求∣z-3∣的最小值与最大值；

2

(2)若Z所对应的点在第一象限，且Z+」为实数，求证：z-z=].

Z

【答案】(1)最小值为1,最大值为3

(2)见解析

【分析】(1)利用复数的几何意义，结合图形关系即可求解，

I13

(2)利用模长关系以及z+L为实数，可得x==代入化简即可求解.

Z24

【详解】(1)复数z=x+yi(xwRjeR)在复平面内对应的点为Z(x∕),由IZ-II=I可知，表示点

Z(XJ)到(1,0)的距离为1,故点Z(Xj)的轨迹为以(1,0)为圆心，半径为1的圆上，所以∣z-3∣表示

圆上的点到点(3,0)的距离，由图可知：当点Z(0,0)时，此时∣z-3∣最大，且最大值为3,当点Z(2,0)

时，此时∣z-3∣最大,且最小值为1,

Iy

由于Z十?实数，所以。，解得2或―,

Z所对应的点在第一象限，所以x>0,y>0,故P=O舍去，取χ2+∕=ι,

又IZ-II=I得(χ-iy+∕=ι,所以解得χ=g,r=:

z-z2=x+yi-(x+yi)2=x+yi-x2-2xyi+y2=ɪ-→→(-2X,i=ɪ-UI

22.据统计，某市一家新能源企业2022年近5个月的产值如下表：

月份7月8月9月10月11月

月份代码X12345

产值y（亿元）1620273037

（1）根据上表数据，计算y与X间的线性相关系数「，并说明y与X的线性相关性的强弱；（结果保留

两位小数，若0.75≤H≤l,则认为V与X线性相关性很强；若H<0.75,则认为V与X线性相关性不

强.)

(2)求出y关于X的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为67.6亿元.

“n