2023高三讲义-圆锥曲线解析几何（弦长面积问题） - 二轮复习

11.1接长面氽问题

【课前测】

成绩(满分10)：完成情况：优/中/差

1.已知椭圆C：Znr2+3/71)，=1(,">0)的长轴长为2#,O为坐标原点.

(I)求椭圆C的方程和离心率；

(II)设点A(3,0),动点B在)，轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若

IBAHBPI,求四边形OB4B面积的最小值.

【教学目标】

1.掌握利用直线和圆锥曲线联立的方法求出韦达定理；

2.理解弦长公式,并深刻理解中点弦问题的垂直角度问题转化的实质;

3.能够熟练对这两种方法进行计算.

【知识框架】

【知识要点】

考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数,并以椭圆、抛物线为载体

较多;通过借助解析几何的元素来考察函数方程、数形结合的思想、等价转化思想；

考察分析处理问题的能力、计算能力,考察锲而不舍的精神.

一:曲线的交点与方程组

曲线G与。2的交点即为两曲线的公共点,此点的坐标既要满足G的方程，又要满足。2

的方程（因为它既在G的图像上,又在的图像上），所以可以通过解方程组来求解此点的

坐标.

二:韦达定理

对于二次方程有如下的定理,称之为“韦达定理"（VietetheOrem）,是韦

达（Viete）发现的.

二次方程ax2+bx+c=0（其中a≠0）的两个根%和马和系数由如

bc

下关系:M+W=-上；尤=V•这就是韦达定理.1540年生于法

aa国普瓦图，1603

死在巴黎。

韦达定理往往使问题能计算量大大减少.

解直线与圆锥曲线相交问题的经典套路:设线、设点,联立、消元,韦达、代入、化简.

第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为y=kx+b；设直线与圆锥曲线

的两个交点为4:（M，y）,8:（乙,必）

y=kx+b

第二步:联立方程组消去y得关于X的一元二次方程;

Jay)=o'

f二次系数不为零

第三步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件＜

Δ>0

xl+X2=

x∖'x2-

第四步:把所要解决的问题转化为玉+々，然后代入、化简•

三:弦中点问题的特殊解法-一点差法:

当已知曲线方程,直线I与曲线相交于4B两点,且弦|48|中点坐标Go,y°）

已知,可以利用点差法求直线方程.

设直线1与椭圆相交于两点4（x1,y2）,B&2，九九带入曲线方程,做差以后

可以得到形如哈M=P（其中P为常数）.即上及.学=—与…①

22

X1-X2XI-X2×1+X1QZ

由两点斜率公式可知:k=上及；……②

X1-X2

由中点坐标公式可知:7……③

（2y0=%+及

将②③带入①可得：k=-与为,由点斜式可得直线方程：

ɑ"yo

y-yo=-⅛7G-XO）•

aZO

四:圆锥曲线中的弦长求法：

(1)设直线方程为:y=kx+b型.

①考虑斜率不存在时,例如X=α直接带入曲线方程解得相应坐标,利用两点之间

坐标公式求解即可；

当斜率存在时,设斜率为k的直线/与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B

(x2,y2),联立直线与曲线方程,可以得到关于％的一元二次方程.

222

则∣A3∣=√l+⅛M—X2∣=7i^+p^∙^∣(xl+x2)-4xlx2=√1+∕c

(2)设直线为:x=my+ri型.

①考虑直线平行于％轴时,此时m不存在.例如y=C直接带入曲线方程,解出相应的

坐标,利用两点之间坐标公式求解即可；

②当m存在时,设出直线2的方程,与圆锥曲线C相较于4B两点用(x1,y2),B

(%2,y2),联立直线与曲线方程,可以得到关于y的一元二次方程.

+m2

则IABl=Vl+m2∣%—y2l=+Tn2J(y1+y2^-4y1y2=Vl^∏

【典型例题】

【例1】已知椭圆∖+==l(4>O>O)经过点A(2,l),离心率为正，过点3(3,0)的

ab~2

直线/与椭圆交于不同的两点M,N.

(I)求椭圆的方程；

(II)若MN二幽,求直线MN的方程.

2

练1：已知椭圆W:J+y2=ι,直线/过点(0,-2)与椭圆W交于两点A,B,O为坐标原

4

点.

(I)设C为9的中点，当直线/的斜率为士时，求线段OC的长；

2

练2：已知椭圆£宏+%=1(.>8〉0)的左右焦点分别为耳，耳，离心率为为今点P

在椭圆E上，且PfJ居的周长为4jΣ+4∙

(1)求椭圆E的方程；

(H)若直线/：y=%+机与椭圆E交于4B两点，。为坐标原点，求AAOB面积的最

大值

例2:已知椭圆C：3x2+4)，=12.

(I)求椭圆C的离心率；

(II)设椭圆C上在第二象限的点P的横坐标为—1,过点尸的直线4,4与椭圆。的另一

交点分别为A,B∙且4的斜率互为相反数，A,5两点关于坐标原点。的对称点分

别为M,N,求四边形ABMN的面积的最大值.

2

练1:已知点A(x1,ʃ1),f>(x2,γ2)(其中工］<々)是曲线y=4x(γ≥0)上的两点，A。两点

在％轴上的射影分别为点B,C,且IBCb2.

(I)当点8的坐标为(1,0)时，求直线Ao的斜率；

(II)记AOAO的面积为Si梯形ABCO的面积为，，求证："v±.

S24

A

练2:已知椭圆"+V=1(。＞匕＞0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60的菱形

的四个顶点.

(I)求椭圆M的方程;

(11)直线/与椭圆M交于A,B两点,且线段AB的垂直平分线经过点(θ,-ʌ),求

ΛAOB(O为原点)面积的最大值.

【小试牛刀】

1.已知椭圆C：A+与=l(α〉b>0)的离心率为巫，且过点A(√2,1).直线

ab2

y=*x+m交椭圆C于8,。(不与点A重合)两点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)△/物的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

2.已知椭圆C:餐+产=1(。>1)的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆

a

M:χ2+>2+6χ_2y+7=O相切.过点(°，一的直线与椭圆C交于P,Q两点.

(I)求椭圆C的方程；

(II)当MPQ的面积达到最大时,求直线的方程.

3.已知直线Ly=Ax+l与抛物线(7:丁=以相切于点P.

(I)求直线/的方程及点P的坐标；

(H)设。在抛物线C上，A为PQ的中点.过A作y轴的垂线，分别交抛物线C和直线

/于M,N.记APMV的面积为S∣,ZXQAM的面积为S2,证明：S1=S2.

4.已知椭圆C：工+V=ι,尸为右焦点，圆O:/+/=1,P为椭圆。上一点，且尸

4

位于第一象限，过点P作PT与圆。相切于点T,使得点尸，T在OP的两侧.

(I)求椭圆C的焦距及离心率；

(II)求四边形Oa7面积的最大值.

5.已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),AB是抛物线C上异于点。的不同的两点，其

中。为原点.

(I)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(II)若0410B,求A40B面积的最小值.

6.已知抛物线C:y2=2x

(I)写出抛物线C的准线方程,并求抛物线C的焦点到准线的距离；

(II)过点(2,0)且斜率存在的直线I与抛物线C交于不同的两点A5且点B关于X轴的

对称点为£>,直线AD与X轴交于点M.

(i)求点M的坐标；

(ii)求.。AM与，OAB面积之和的最小值.

【见固练习——基础篇】

1.已知椭圆∖+A=l（α>b>O）的左、右焦点为Fi，F2,A点在椭圆上，离心率是

γ,AF2与X轴垂直,且IAF2I=V2.

（1）求椭圆的方程；

（2）若点力在第一象限，过点4做直线与椭圆交于另一点8,求△力OB面积的最大

值.

2.已知椭圆C:餐+方=l(α>^>0)的离心率为日,

Λ1(-α,O),A2(tz,O),B(O,Z?),!A∣BA2的面积为2.

(I)求椭圆C的方程；

(∏)设〃是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线AB与直线交于点P,直线

AlM与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.

3.已知椭圆G=r+[7=l(α>b>O),上顶点为6(0,1),离心率为二，直线

ab2

/:y=丘-2交y轴于。点，交椭圆于尸,。两点,直线外,国分别交九轴于点

M,N。

(1)求椭圆G的方程；

(II)求证：SZIBOM∙S/BCN为定值

【巩固练习——程君篇】

22

已知椭圆的左焦点为且经过点

1.G=*+Vr=l(0>6>0)E(-JΣ,O),C(-J∑,l),

ab