2022-2023学年贵州省遵义市高二下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年贵州省遵义市高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.设集合A=NX2-2X-3)O},8={X∣X+3<O},则AB=()

A.(―∞,-3)B.(-1,3)C.(-3,—1)D.(3,+∞)

【答案】A

【分析】解一元二次不等式求集合4解一元一次不等式求集合B,应用集合交运算求AC民

【详解】由题意，得A={x∣x<T或x>3},8={x∣x<-3},

所以Ac8={x∣x<-3}.

故选：A

2.复数Z==在复平面上对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】利用复数的除法求出复数Z的代数形式，进而可得其在复平面上对应的点的位置.

【详解】Z=下3+i=高(3+i)身(l-i)=丁4-2i=2T,

其在复平面上对应的点为(2,-1),在第四象限.

故选：D.

3.直线4x+2y-l=0与直线Or+4y=0垂直，贝"等于()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【分析】利用平面内两直线垂直，得卜T[Xbt)=-1，解之即可.

【详解】因为直线4x+2y-1=0与直线以+4y=0垂直，

所以FSXlH)=T，解得a=_2.

故选：B

4.已知函数/(x)在X=X。处的导数为12,则Iim

^→θ"3~∆xT?()

A.-4B.4C.-36D.36

【答案】B

【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.

【详解】根据题意，函数/（X）在X=X。处的导数r（x）=12,

则向加。+呵一/㈤Jlim为+吐/㈤」4）=4,

go3卜330h3v;

故选：B

5.《张丘建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即每天增加的数量相同）

若该女子第二天织布一尺五寸，前十五日共织布六十尺，按此速度，该女子第二十日织布（）

A.七尺五寸B.八尺C.八尺五寸D.九尺

【答案】D

【分析】利用等差数列求和公式和通项公式可求得公差d,进而得到见。即可.

【详解】由题意知：该女子每天织布的尺寸成等差数列，记为何｝，其前〃项和为S,,,则%=1.5,

Sis=60,

...九=159；"15）=15%=60,...%=4,

二数歹叫4｝的公差d===.∙.¾=⅞+12rf=4+12×⅛=9,

661212

即该女子第二十日织布九尺.

故选：D.

6.已知加，〃是两条不同的直线，a,β,7是三个不同的平面，则下列正确的是（）

A.若m/Ia,∏Ha,贝!］，〃//“B.若a_Ly,0Ly,贝IJa〃夕

C.若m_La,nVa,则"?//〃D.若mlIa,tn!Iβ,贝!|a〃£

【答案】C

【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】对于A,若“〃α,n//a,则加，〃平行，相交或异面，故A错误；

对于B,若α,/,/J∙7,则名/相交或平行，故B错误；

对于C,若机，口,”_La,则〃?//〃（垂直于同一平面的两条直线互相平行），故C正确；

对于D,若加//ɑ,机〃尸，则。,万相交或平行，故D错误.

故选：C.

7.已知直线/：x—处一5=0与圆。：V+y2=I0交于A、B两点且IABI=2遥，则Z=（）

A.OB.±1C.+2D.+3

【答案】C

【分析】根据点到直线距离公式与圆的垂径定理求解.

【详解】圆d+V=IO的圆心为(0,0),半径为r=√i6,

5

圆心(0,0)到直线X—6一5=()的距离：d1=-==

√1÷⅛2

由,=/+(网)W∣0=-¾-+5,解得A=±2.

2∖+k-

故选：C

8.若函数/(^^/—^!^-^^(^("2在区间口^^上单调递增，则。的取值范围是()

A.(-∞,1)B.(-∞,1］C.1-8,-g)D.1-00,-(

【答案】B

【分析】先求导数，利用/(X)≥0在［1,+8)上恒成立，分离参数进行求解.

【详解】f∖x)=2x-^-∖,因为/U)在区间［1,m)上单调递增，

所以/'(X)≥0在［1,+8)上恒成立，即2/—%≥〃在［1,4W)上恒成立，

因为二次函数y=2χ2-χ的图象的对称轴为X=：,且开口向上

4

所以y=2j?-x的最小值为1,所以α≤l.

故选：B.

二、多选题

9.如果平面向量5=(2,0),6=(1,1),那么下列结论中正确的是()

A.CiHb

B.μ4)l⅛

C.a∙b=2近

D.同=闾4

【答案】BD

【分析】根据向量平行与垂直的坐标表示、向量数量积和模长的坐标运算依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,2×l-0×l=2≠0,.∙.α与人不平行，A错误；

对于B,.Λ(^-⅛)∙⅛=I×1-1×1=0,B正确;

对于C,a`b=2×l+0×l=2，C错误;

对于D,同=J2。+cP=2，W=JF+F=应,r.∣α∣=J∑M∣,D正确.

故选：BD.

10.如图是)=/(x)的导函数/W的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是()

B./(χ)在［-2,1］上是增函数

C.当户1时，/(x)取得极大值

D./(x)在［-1,2］上是增函数，在［2,4］上是减函数

【答案】AD

【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数/(χ)的单调性，由极值的定义判断函

数/(X)的极值，由此判断四个选项即可.

【详解】解：导函数/(X)的图象可知，

当-2<x<-1时，/U)<0,则/(X)单调递减，

当X=-I时，/(x)=O,

当-l<x<2时I/(X)>0,则/(x)单调递增，

当42时，［(x)=0,

当2<x<4时，［(X)<0,则/(x)单调递减，

当尸4时，/(x)=0,

当χ>4时，/'ω>o,则/a)单调递增，

所以当X=-I时，/(X)取得极小值，故选项A正确；

/(x)在［-2,1］上是有减有增函数，故选项B错误；

当:2时，f(χ)取得极大值，故选项C错误；

在［-1,2］上是增函数，在［2,4］上是减函数，故选项D正确.

故选：AD.

11.已知各项均为正数的等差数列｛4｝中，at+a2+ai=］5,且《+2,的+5,%+心构成等比数列

也｝的前三项，则()

A.生=5

B.H=5∙2”τ

C.an=2n-l

D.设C,=%也，则数列｛%｝的前"项和(=(2nT)2"+l

【答案】ABD

【分析】运用等差数列等和性可分析A项，运用等差数列通项公式基本量计算可分析C项，运用等

比数列通项公式基本量计算可分析B项，运用错位相减法求和可分析D项.

【详解】设各项均为正数的等差数列伍,J的公差为d,

则由已知得6+出+。3=3。2=15,即〃2=5,故A项正确；

又(5—d+2)(5+d+13)=100,解得d=2或d=—13(舍去),

al=a2-d=3f所以4=q+仅一I)Xd=2〃+1,即：an=2n+l,故C项错误;

又々=4+2=5,⅛2=¾+5=10,所以4=2,所以2=5χ2"T；故B项正确；

,n

所以G=(a,lb,l=1(2〃+1)X5X2-'=(2n+I)×2^',

所以(=3+5x2+7*22+…+(2"+l)x2"T,

2^=3×2+5×22÷7×23+∙∙∙÷(2w+l)×2n,

两式相减得

4—2〃X2

一1=3+2X2+2X22+-+2X2"T-(2"+1)X2"=3+-------(2n+l)×2n=(l-2n)2n-1,

1—2

则％=(2,L1)2"+1.故D项正确.

故选：ABD.

12.已知函数/(x)=SinX+χ3-0r,则下列结论正确的是()

A./(x)是奇函数B.当α=T时，函数/S)恰有两个零点

C.若/(X)是增函数,则α≤lD.当〃=3时，函数/W恰有两个极值点

【答案】ACD

【分析】利用函数奇偶性的定义判断A；利用导数分析函数/(x)的单调性判断B；利用导数结合函

数单调性判断C；利用导数以及零点存在性定理判断D作答.

【详解】对于A,函数/(x)=SinX+x3-依的定义域为R,

/(-Λ∙)=sin(-x)+(-ɪ)3+0r=-sinx-x3+or=-∕(x),函数/(x)为奇函数，A正确；

对于B,当α=-l时，/(x)=sinx+x3+x,求导得尸(X)=CoSX+3/+1,而COSX+120,x2≥0>

显然这两个不等式不能同时取等号，即有了'(x)>0,函数f(x)在R上为增函数，

又/(0)=0,因此函数f(x)有且只有一个零点，B错误；

对于C,/'(x)=cosx+3χ2-。，因为函数f(χ)是增函数，则f'(x)≥O对任意的XeR恒成立，即

a≤3x2+cosx,

令g(x)=3χ2+cosx,求导得g'(x)=6x—SinX,令∕z(x)=6x—Sinx,/?'(X)=6—COSX>0,

即函数g'(x)在R上为增函数，g'⑼=0,当XVO时，g'(x)<O,函数g(x)为减函数，

当x>0时，g'(x)>O,函数g(x)为增函数，因此g(x)mto=g(0)=l,所以α≤l,C正确;

对于D,当a=3时，/(x)=sinx+√-3x,则/'(x)=8sx+3x?-3,显然函数/'(x)的图象可由函

数g'(x)的图象

向下平移3个单位而得，由C选项知，函数/'(x)在(9,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

而/'(F=/'(I)=CoSl>0,∕,(0)=-2<0,由零点存在性定理知，函数/(可在(TO)和(0,1)上都

存在一个零点，

并且都是函数尸(%)的变号零点，因此，当a=3时，函数/(x)有两个极值点，D正确.

故选：ACD

【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

(1)若函数f(x)在区间。上单调递增，则/'(x)≥0在区间。上恒成立；

(2)若函数/(x)在区间O上单调递减，则f'(x)≤O在区间。上恒成立；

(3)若函数/(x)在区间。上不单调，则尸(x)在区间。上存在极值点；

(4)若函数“X)在区间。上存在单调递增区间，则大e。，使得用犬)>0成立;

(5)若函数f(x)在区间。上存在单调递减区间，则3veO,使得/'(x)<0成立.

三、填空题

13.函数/(x)=InX-L在点(1,-1)处的切线方程为.

X

【答案】y=2x-3

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】f'｛x)=-+∖,

XX

则r⑴=2,

所以函数，(X)=InXT在点处的切线方程为y+l=2(x-l),

即y=2x-3.

故答案为：y=2x-3.

14.已知等差数列｛为｝的通项公式为％=9-2〃，则其前〃项和S,取得最大值时，〃=.

【答案】4

【分析】令凡=9-2"≥0,求出”的范围，从而可得答案.

9

［详解］令q,=9-2"≥0,得"≤∙∣,

又"eN+,所以当"≤4时，an>0,当〃25时，⅛<0,

所以当前〃项和S“取得最大值时，rt=4.

故答案为：4.

15.若双曲线χ2-±τ=i(m>0)的渐近线与圆/+产-分+3=0相切，则机=.

tn"

【答案】√3

【分析】根据双曲线方程，写出渐近线方程，整理圆的标准方程，明确圆心与半径，结合直线与圆

相切，建立方程，可得答案.

【详解】由双曲线方程χ2-∙4=ι("Aθ),则其渐近线方程y=±如，

In

由圆方程f+y2-4y+3=0,整理可得χ2+(y-2)2=l,其圆心为(0,2),半径z∙=l,

由两个渐近线关于y对称，则不妨只探究渐近线丁=，加，整理可得，心-y=o,

|0-21

由题意,可得】=L=I解得.

y∣∖+m^

故答案为：√3∙

16.已知函数/(x)=x%ji有三个零点，则实数。的取值范围是.

【答案】(og)

【分析】函数/(x)=Ye=-。有三个零点，即函数)，=》％1,>=。的图象有三个交点，构造函数

g(x)=x2e'-∖利用导数求得g(x)的单调区间、极值，画出其大致图象，由此求得。的取值范围.

［详解］令〃耳=》廿*-。=0,贝∣jA⅛r=",

故函数"x)=χ2e∣τ-4有三个零点，即函数>=χ2eJ,y=q的图象有三个交点,

令g(x)=x2el-x,则g'(x)=2xe∣τ-X2CI^Λ=AeI(2-x),

当XVO或x>2时，g'(x)<0,当0<xv2时，g'(x)>0,

所以函数g(χ)在(y,o),(2,÷w)上递减，在(0,2)上递增，

4

则g(X)极小值=g(°)=°，g(X)极大值=g(2)=)

当XfF时，g(χ)->+8,当χ>0时，g(x)>O,当X→+00时，g(x)→O,

如图，作出函数y=Jei的大致图象,

故答案为：(0，：)

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作

出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归

思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由〃x)=0分离变量得出α=g(x),将问题等价转化为直线V="与函数y=g(x)

的图象的交点问题.

四、解答题

17.已知函数/(x)=3/—9x+5.

(1)求函数“X)的单调递减区间；

(2)求函数f(x)在13,3]上的最大值和最小值.

【答案】(I)(T,1)；(2)最大值为59,最小值为T9

【解析】(1)求出了'(X),令r(x)<0,得到函数的单调递减区间；

(2)求出函数在[-3,3]的单调性，根据极值和端点值，求得最值.

【详解】⑴/(X)=9X2-9=9(X+1)U-1),xeR

令r(x)<O,得T<x<l,所以/(x)的减区间为(T,1).

(2)由(1),令/")>0,得x<T或x>l知:X∈[-3,-l],/(x)为增函数，

Xel-1,1],/(x)为减函数，x∈[l,3],/(x)为增函数.

/(-3)=-49,/(-1)=11,/(I)=-I,/(3)=59.

所以〃X)在区间[T3]上的最大值为59,最小值为T9.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.

18.在liAβC中，角A,3,C对应的边分别是4,6,c,且qsinB=-J3bcosA.

(1)求角A的大小；

(2)若6=4,的面积S=2√L求一MC的周长.

【答案】（1）丁

⑵6+2√7

【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求解；

（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解.

【详解】（1）在ABC中，由正弦定理三=3=——=2R得:

sinAsinBsinC

a=2RsinA,b=2Rsin8代入式子。sinB=-√3⅛cosA,

化简得，sinAsinB=-布SinBCoSA,

sinβ≠O,

.∙.sinA=-5/3cosA,艮IJtanA=一近，

因为Ae（O,π）,所以A吟.

（2）S=-hcsmA=-×4csin-=∖∕3c=2'fi,

223

.*.c=2

由余弦定理得〃=b1+c2-2⅛ccosA=42+22-2×4×2×（-^=28,

a=25/7

.∖a+b+c=2>/7+4+2=6+2^/7

45C的周长为6+2".

19.《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳

马”如图，在阳马中，SA_L平面45Cr>,E为Sr）的中点.

⑴求证：SB〃平面E4C；

（2）若S4=AD,求证：AElSC.

【答案】（1）证明见详解

（2）证明见详解

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；

（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.

【详解】（1）连接3。交AC于点0,连接OE,

∙.∙0,E分别为BD,SO的中点，则SBOE,

S8<Z平面£4C,OEU平面E4C,

/.SB/平面E4C.

（2）；SA，平面ABC。，Cz）U平面ABCD,

SAA.CD,

又「ABC。为矩形，则AO_LCr）,且SAA£>U平面SA£>,SAryAD=A

：.CE>_1_平面8。，

由A£u平面S">,可得CZ）J_AE,

若$4=4）,且E为S。的中点，则SOLAE,

CD,SOu平面SeE）,CDcSD=D,则AE，平面ScD,

SCU平面SCD,故AELSC.

20.已知在等差数列｛q｝中，%+%=13,其前8项和Sg=60.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列出｝满足d=（4-3）∙3",求也｝的前〃项和刀,.

【答案】（1）4,=〃+3；⑵（（2〃-1）X3”1+3

4

【解析】（I）根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求解通项公式；（2）由（1）可知

2=（q-3）3=n-3",利用错位相减法求和.

【详解】解：(1)由Sg=8x("；+a)=4(4+=)=4(q+q+7d)=8q+284=60,

由出+%=13,得2〃]+5d=13,

Sa.+28J=60J=I

联立2,；+5〃=13,解得

4=4

故a“=4+(〃-DXI=〃+3.

nn

(2)bll=(an-3)∙3=n∙3,

所以＜=1X3'+2X32+3X33++n×3∖①

3η,=l×32+2×31+3×34++“x3"+∣,②

ɔ_O7J+I

由①一②,n+l+

得-21,=3+3?+3?++3^-π×3--n×3"',

所以(,,I)了+3

【点睛】方法点睛：一般数列求和包含：1.公式法，利用等差和等比数列的前〃项和公式求解；2.

错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为

4=/(〃+1)-/(〃)，4.分组转化法求和，适用于q,=4+〃；5.倒序相加法求和.

21.已知椭圆5→∕=l(α>6>0)的左焦点为尸(―2,0),离心率为好.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F的直线与椭圆交于只Q两点，O为坐标原点，求^POQ面积的最大值.

【答案】(1)-+21=1(2)√3

62

【分析】(1)直接由题设就可求出；

(2)联立直线与椭圆方程,设而不求,整体代换,再利用三角形的面积公式及基本不等式便可得到

△P。。面积的最大值.

【详解】⑴由题可知，c=2,即层=4①

又.e=、0X=亚■△②,故椭圆C的标准方程为：-+-^=I.

∖a23a2362

⑵由题可设,直线/的方程为：X=2,设尸(玉,M),Q(%,%).

联立/2,消去χ,得(产+3)9—49一2=0,则有χ+%=2

162_2

W2F

2

又SPoQ=SFop+Sroe=ɪ∙IF0∣∙(Iy11+1y21)=Iγ1-y21=λ∕(yl+γ2)-4yly2

当且仅当产=Lf=±1即直线方程为x=±y-2时,ZXPOQ面积达到最大值,即为G

【点睛】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆相交后构成的三角形面积的最值求法,注意运用基本不

等式,难度较难.

22.设函数f(x)=gχ2-(α+l)x+alnx,(α>0).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)讨论函数/(x)的零点个数

【答案】(1)当”>1时，函数f(x)的增区间是(0,1)和(&+»),减区间是(IM);

当α=l时，函数〃