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文档简介

专题03平行线四大模型(能力提升)1.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为()A.25° B.20° C.15° D.10°2.如图,l1∥l2,将一副直角三角板作如下摆放,图中点A、B、C在同一直线上,∠1=80°,则∠2的度数为()A.100° B.120° C.130° D.150°3.如图,AB与HN交于点E,点G在直线CD上,GF交AB于点M,∠FMA=∠FGC,∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC,下列四个结论:①AB∥CD;②∠EHG=2∠EFM;③∠EHG+∠EFM=90°;④3∠EHG﹣∠EFM=180°.其中正确的结论是()A.①②③ B.②④ C.①②④ D.①④4.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β、γ的关系为()A.β=α+γ B.α+β﹣γ=90° C.α+β+γ=180° D.β+γ﹣α=90°5.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β、y的关系是()A.β+γ﹣α=90° B.α+β+γ=180° C.α+β﹣γ=90° D.β=α+γ6.如图,AB∥CD,EMNF是直线AB、CD间的一条折线.若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,则∠4的度数为()A.55° B.50° C.40° D.30°7.为了落实“双减”政策,促进学生健康成长,各学校积极推行“5+2”模式,立足学生的认知成长规律,满足学生多样化的需求,打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容.晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动,如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间,小丽把它抽象成图2的数学问题:已知AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,则∠E的度数是30°.8.如图,直线PQ∥MN,直角三角尺ABC的∠BAC=30°,∠ACB=90°.(1)若把三角尺按图甲方式放置,则∠MAC+∠PBC=90°;(2)若把三角尺按图乙方式放置,点D,E,F是三角尺的边与平行线的交点,若∠AEN=∠A,求∠BDF的值;(3)如图丙,三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间,点G在线段CD上,连接EG,适当转动三角尺,使得CE恰好平分∠MEG,求的值.9.如图,AB∥CD,点E为两直线之间的一点.(1)如图1,若∠BAE=35°,∠DCE=20°,则∠AEC=;(2)如图2,试说明,∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;(3)①如图3,若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F,判断∠AEC与∠AFC的数量关系,并说明理由;②如图4,若设∠E=m,∠BAF=∠FAE,∠DCF=∠FCE,请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数.10.已知AM∥CN,点B在直线AM、CN之间,AB⊥BC于点B.(1)如图1,请直接写出∠A和∠C之间的数量关系:.(2)如图2,∠A和∠C满足怎样的数量关系?请说明理由.(3)如图3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE与CH交于点G,则∠AGH的度数为.11.已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,M,并且∠AGE+∠CHF=180°.(1)如图1,求证:AB∥CD;(2)如图2,点M在直线AB,CD之间,连接GM,HM,求证:∠M=∠AGM+∠CHM;(3)如图3,在(2)的条件下,若射线GH恰好是∠BGM的平分线,在MH的延长线上取点N,连接GN,若∠N=∠AGM,则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是(直接写答案).12.问题情境我们知道,“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补”,所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用.已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°,长方形DEFG中,DE∥GF.问题初探(1)如图(1),若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,BC与DE相交于点M,AB⊥DE于点N,求∠EMC的度数.分析:过点C作CH∥GF.则有CH∥DE,从而得∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠MCH,从而可以求得∠EMC的度数.由分析得,请你直接写出:∠CAF的度数为,∠EMC的度数为.类比再探(2)若将三角板ABC按图(2)所示方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系,并说明理由.(3)请你总结(1),(2)解决问题的思路,在图(3)中探究∠BAG与∠BMD的数量关系?并说明理由.13.已知AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点.(1)如图1,点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点,则∠EGF=;(2)若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点,有如下结论:①∠EGF一定为钝角;②∠EGF可能为60°;③若∠EGF为直角,则EF⊥CD.其中正确结论的序号为.(3)进一步探索,若EF⊥CD,且点G不在线段EF上,记∠AEG=α,∠CFG=β,EM为∠AEG最接近EG的n等分线,FN是∠CFG最接近CF的n等分线(其中n≥2).直线EM、FN交于点Pn,是否存在某一正整数n,使得∠EPnF=90°?说明理由.专题03平行线四大模型(能力提升)1.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为()A.25° B.20° C.15° D.10°【答案】D【解答】解:由题意知:∠CAB=60°,∠C=90°.∵∠CDE=40°,∴∠CED=50°.∵DE∥AF,∴∠FAE=∠CED=50°.∴∠BAF=∠CAB﹣FAE=60°﹣50°=10°.故选:D.2.如图,l1∥l2,将一副直角三角板作如下摆放,图中点A、B、C在同一直线上,∠1=80°,则∠2的度数为()A.100° B.120° C.130° D.150°【答案】C【解答】解:如图,过点A作AD∥l1,∵l1∥l2,∴AD∥l2,∴∠FNA+∠NAD=180°,∵AD∥l1,∴∠EMA+∠MAD=180°,∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF=180°+180°=360°,∵∠EMA=∠EMC+∠CMA=80°+60°=140°,∠MAD+∠DAN=90°,∴∠FNA=360°﹣140°﹣90°=130°,即∠2=130°,故选:C.3.如图,AB与HN交于点E,点G在直线CD上,GF交AB于点M,∠FMA=∠FGC,∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC,下列四个结论:①AB∥CD;②∠EHG=2∠EFM;③∠EHG+∠EFM=90°;④3∠EHG﹣∠EFM=180°.其中正确的结论是()A.①②③ B.②④ C.①②④ D.①④【答案】D【解答】解:∵∠FMA=∠FGC∴AB∥CD∴①正确;过点F作FP∥AB,HQ∥AB,∵AB∥CD,∴FP∥AB∥HQ∥CD,设∠NEB=x,∠HGC=y,则∠FEN=2x,∠FGH=2y∴∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠AEH+∠HGC=∠NEB+∠HGC=x+y,∠EFM=∠BEF﹣∠FME=∠BEF﹣∠AMG=∠BEF﹣(180°﹣∠FGC)=x+2x﹣(180°﹣y﹣y)=3x+3y﹣180°,∴2∠EFM=6x+6y﹣360°,∴∠EHG≠2∠EFM∴②错误;∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y﹣180°=4x+4y﹣180°≠90°,∴③错误;∴3∠EHG﹣∠EFM=3(x+y)﹣(3x+3y﹣180°)=180°,∴④正确.综上所述,正确答案为①④.故选:D.4.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β、γ的关系为()A.β=α+γ B.α+β﹣γ=90° C.α+β+γ=180° D.β+γ﹣α=90°【答案】B【解答】解:延长DC交AB于G,延长CD交EF于H.直角△BGC中,∠1=90°﹣α;△EHD中,∠2=β﹣γ,∵AB∥EF,∴∠1=∠2,∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=90°.故选:B.5.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α、β、y的关系是()A.β+γ﹣α=90° B.α+β+γ=180° C.α+β﹣γ=90° D.β=α+γ【答案】C【解答】解:如图,过点C、D分别作AB的平行线CG、DH,∵AB∥EF,∴AB∥CG∥DH∥EF,∴∠1=∠α,∠2=∠3,∠4=∠γ,∵∠2=90°﹣∠1=90°﹣∠α,∠3=∠β﹣∠4=∠β﹣∠γ,∴90°﹣∠α=∠β﹣∠γ,∴α+β﹣γ=90°.故选:C.6.如图,AB∥CD,EMNF是直线AB、CD间的一条折线.若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,则∠4的度数为()A.55° B.50° C.40° D.30°【答案】B【解答】解:如图2,过M作OM∥AB,PN∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥OM∥PN∥CD,∴∠1=∠EMO,∠4=∠PNF,∠OMN=∠PNM,∴∠EMN﹣∠MNF=(∠1+∠MNP)﹣(∠MNP+∠4)=∠1﹣∠4,∴60°﹣70°=40°﹣∠4,∴∠4=50°.故选:B.7.为了落实“双减”政策,促进学生健康成长,各学校积极推行“5+2”模式,立足学生的认知成长规律,满足学生多样化的需求,打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容.晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动,如图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间,小丽把它抽象成图2的数学问题:已知AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,则∠E的度数是30°.【答案】30°【解答】解:延长DC交AE于点F,∵AB∥CD,∴∠EFC=∠A=80°,由外角的性质得,∠DCE=∠E+∠EFC,∴∠E=110°﹣80°=30°.故答案为:30°.8.如图,直线PQ∥MN,直角三角尺ABC的∠BAC=30°,∠ACB=90°.(1)若把三角尺按图甲方式放置,则∠MAC+∠PBC=90°;(2)若把三角尺按图乙方式放置,点D,E,F是三角尺的边与平行线的交点,若∠AEN=∠A,求∠BDF的值;(3)如图丙,三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间,点G在线段CD上,连接EG,适当转动三角尺,使得CE恰好平分∠MEG,求的值.【解答】解:(1)延长BC交MN于点D,∵PQ∥MN,∴∠PBC=∠ADC,∵∠ACB是△ACD的一个外角,∴∠ACB=∠ADC+∠MAC,∴∠ACB=∠PBC+∠MAC=90°,故答案为:90;(2)∵∠AEN=∠A,∠BAC=30°,∴∠AEN=∠A=30°,∴∠CEM=∠AEN=30°,利用(1)的结论可得:∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴∠PDC=∠ACB﹣∠MEC=60°,∴∠BDF=∠PDC=60°,∴∠BDF的度数为60°;(3)∵CE平分∠MEG,∴∠CEM=∠CEG,设∠CEM=∠CEG=x,∴∠GEN=180°﹣∠CEM﹣∠CEG=180°﹣2x,利用(1)的结论可得:∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴∠PDC=∠ACB﹣∠MEC=90°﹣x,∴∠BDF=∠PDC=90°﹣x,∴==2,∴的值为2.9.如图,AB∥CD,点E为两直线之间的一点.(1)如图1,若∠BAE=35°,∠DCE=20°,则∠AEC=;(2)如图2,试说明,∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;(3)①如图3,若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F,判断∠AEC与∠AFC的数量关系,并说明理由;②如图4,若设∠E=m,∠BAF=∠FAE,∠DCF=∠FCE,请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数.【解答】解:(1)55°如图所示,过点E作EF∥AB,∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF,∴∠BAE=∠1,∠ECD=∠2,∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠ECD=35°+20°=55°,故答案为55°.(2)如图所示,过点E作EG∥AB,∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG,∴∠A+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°,即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°.(3)①2∠AFC+∠AEC=360°,理由如下:由(1)可得,∠AFC=∠BAF+∠DCF,∵AF平分∠BAE,CF平分∠DCE,∴∠BAE=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,∴∠BAE+∠DCE=2∠AFC,由(2)可知,∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°,∴2∠AFC+∠AEC=360°.②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE=360°,∵∠BAF=∠FAE,∠DCF=∠FCE,∠BAF+∠DCF=∠F,∴∠F=(∠FAE+∠FCE),∴∠FAE+∠FCE=n∠F,∴∠F+∠E+n∠F=360°,∴(n+1)∠F=360°﹣∠E=360°﹣m,∴∠F=.10.已知AM∥CN,点B在直线AM、CN之间,AB⊥BC于点B.(1)如图1,请直接写出∠A和∠C之间的数量关系:.(2)如图2,∠A和∠C满足怎样的数量关系?请说明理由.(3)如图3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE与CH交于点G,则∠AGH的度数为45°.【解答】解:(1))过点B作BE∥AM,如图,∵BE∥AM,∴∠A=∠ABE.∵BE∥AM,AM∥CN,∴BE∥CN.∴∠C=∠CBE.∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.∴∠A+∠C=∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°.故答案为:∠A+∠C=90°;(2)∠A和∠C满足:∠C﹣∠A=90°.理由:过点B作BE∥AM,如图,∵BE∥AM,∴∠A=∠ABE.∵BE∥AM,AM∥CN,∴BE∥CN.∴∠C+∠CBE=180°.∴∠CBE=180°﹣∠C.∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.∴∠ABE+∠CBE=90°.∴∠A+180°﹣∠C=90°.∴∠C﹣∠A=90°.(3)设CH与AB交于点F,如图,∵AE平分∠MAB,∴∠GAF=∠MAB.∵CH平分∠NCB,∴∠BCF=∠BCN.∵∠B=90°,∴∠BFC=90°﹣∠BCF.∵∠AFG=∠BFC,∴∠AFG=90°﹣∠BCF.∵∠AGH=∠GAF+∠AFG,∴∠AGH=∠MAB+90°﹣∠BCN=90°﹣(∠BCN﹣∠MAB).由(2)知:∠BCN﹣∠MAB=90°,∴∠AGH=90°﹣45°=45°.故答案为:45°.11.已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,M,并且∠AGE+∠CHF=180°.(1)如图1,求证:AB∥CD;(2)如图2,点M在直线AB,CD之间,连接GM,HM,求证:∠M=∠AGM+∠CHM;(3)如图3,在(2)的条件下,若射线GH恰好是∠BGM的平分线,在MH的延长线上取点N,连接GN,若∠N=∠AGM,则∠M、∠N、∠FGN的数量关系是(直接写答案).【解答】(1)证明:∵∠AGE=∠BGF,∠CHF=∠EHD,又∠AGE+∠CHF=180°,∴∠BGF+∠EHD=180°,∴AB∥CD;(2)证明:过点M作MK∥CD,则∠KMH=∠CHM,又AB∥CD;∴AB∥MK;∴∠AGM=∠GMK,∵∠GMH=∠AGM+∠KMH∴∠GMH=∠AGM+∠CHM.(3)解:如图3,令∠AGM=2α,∠CHM=β,则∠N=2α,∠M=2α+β,∵射线GF是∠BGM的平分线,∴∠FGM=∠BGM=(180°−∠AGM)=90°−α,∴∠AGH=∠AGM+∠FGM=2α+90°﹣α=90°+α,∵∠GMH=∠N+∠FGN,∴2α+β=2α+∠FGN,∴∠FGN=2β,∴∠M=2α+β=∠N+∠FGN,即:∠M=∠N+∠FGN.12.问题情境我们知道,“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补”,所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用.已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°,长方形DEFG中,DE∥GF.问题初探(1)如图(1),若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,BC与DE相交于点M,AB⊥DE于点N,求∠EMC的度数.分析:过点C作CH∥GF.则有CH∥DE,从而得∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠MCH,从而可以求得∠EMC的度数.由分析得,请你直接写出:∠CAF的度数为,∠EMC的度数为.类比再探(2)若将三角板ABC按图(2)所示方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系,并说明理由.(3)请你总结(1),(2)解决问题的思路,在图(3)中探究∠BAG与∠BMD的数量关系?并说明理由.【解答】解:(1)由题可得,∠CAF=∠BAF﹣∠BAC=90°﹣60°=30°,∠EMC=∠BCH=90°﹣30°=60°;故答案为:30°,60°;(2)∠EMC+∠CAF=90°,理由:证明:如图,过C作CH∥GF,则∠CAF=∠ACH,∵DE∥GF,CH∥GF,∴CH∥DE,∴∠EMC=∠HCM,∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°;(3)∠BAG﹣∠BMD=30°,理由:证明:如图,过B作BK∥GF,则∠BAG=∠KBA,∵BK∥GF,DE∥GF,∴BK∥DE,∴∠BMD=∠KBM,∴∠BAG﹣∠BMD=∠ABK﹣∠KBM=∠ABC=30°.13.已知AB∥CD,直线EF与AB、CD分别交于点E、F,点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点.(1)如图1,点G恰为∠BEF和∠DFE的角平分线的交点,则∠EGF=;(2)若点G恰为∠BEF和∠DFE的三等分线的交点,有如下结论:①∠EGF一定为钝角;②∠EGF可能为60°;③若∠EGF为直角,则EF⊥CD.其中正确结论的序号为.(3)进一步探索,若EF⊥CD,且点G不在线段EF上,记∠AEG=α,∠CFG=β,EM为∠AEG最接近EG的n等分线,FN是∠CFG最接近CF的n等分线(其中n≥2).直线EM、FN交于点Pn,是否存在某一正整数n,使得∠EPnF=90°?说明理由.【解答】解:(1)∵AB∥

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