广东省深圳市2023届高三（三）数学试题（含答案与解析）

2023年广东省深圳市高考冲刺试卷（三）

数学

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项:

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

人2R一

-.t∙aA=（XlX<5）B=（Λ∣X-6Λ-7≤0∣A

I.己知集合ɪ1ʃ.LJ,则A）

A.{x∣x≤-l}B.{x∣-l≤x<5}

C.{x∣x≤-7}D.{x∣-7≤x<5}

2.若复数z=2i+三，其中i是虚数单位，则复数Z的模为

1+1

A.也B.√3C.√2D.2

2

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=I,其余的六条棱长均为2,则该四棱锥的体积为（）

4.若270°<α<360°,则三角函数式J■1+,<R+J_cos2c的化简结果是（）

V2丫22

.aC.αCaCa

Asin—B.-Sin—C.cos—D.—cos一

2222

5.设随机变量-Mo,。2）且PaKI）=L尸U>2）=p,则尸（0〈*1）的值为（）

2

11

A.—pB.1—pC.l-2pD.-----p

22

22

6抛物线的焦点到双曲线小于

=1的渐近线的距离为

r√3D.B

A.1B.√3‰z∙-----

36

12

7.若等边.ABC的边长为2,平面内一点M满足CM=Wa+：CA,则M4∙M3=()

88

BCD

13一

A.9--9--9

αv,(x<O)/(%.)-/(ɪɔ)

8.已知函数f(χ)=〈，满足对任意的χ∣≠χ2都有I="<0成立,则。的

(a-3)x+4a,(x.0)xl-x2

取值范围是()

A10,；B.(0,1)C.ɪ,ŋD.(0,3)

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)

9.在棱长为1的正方体ABCo—AAGA中，P为线段Ba上的动点，下列说法正确的是().

A.对任意点P,OP〃平面ABa

B.三棱锥A。A的体积为,

6

C.线段Z)P长度的最小值为迈

4

TT

D.存在点尸，使得Z)P与平面AORA所成角的大小为§

10.下列说法中正确的是()

f+5

A.函数/(X)=/,的最小值为2

√x+4

CCCIbb+m

B.右f力>0,m>0,则一<-----

aa-∖-m

9_7

函数〃X)=一r「的值域为(τQ,2)∣(2,y)

X—1

D.函数/(χ)=Jr万∙T与函数g(x)=JT二T为同一个函数

JT

11.关于函数/(x)=2Sin(X+§),下列说法正确是()

(g,θ)是图象的一个对称中心;5TT54

A.B.—是函数的一个单调递增区间;

66

TT

C.X=-2是图象的一条对称轴;最大值是2,最小值是-2.

3

12.已知OVMVWV1，下列不等式恒成立的是()

x,

A.x2e>Xlex2B.x2lrυcl<X1Inx2

xt2

C.x1lnxl<X2Inx2D.e'+e<Inr2+Inx1

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.对于任意xe[-2,3],不等式V一a∣χ∣+ι>o恒成立，则实数”的范围是

14.定义[x]表示不超过X最大整数(XeR),⅛=[-1.3]=-2,[0.8]=0；定义{x}=x-[x].

[999][9992][99939994

(1)ll(X)0∫+[10()()∫+[1000>+<

1000

99999929993999"

(2)当“奇数时,+《>+<>++《

Tooo100010001000

已知椭圆三+的左、右焦点分别为耳，

15.C:E=ι乙，点P是C上异于左、右顶点的一点,

95

△。片用外接圆的圆心为M,。为坐标原点，则尸M∙PO的最小值为.

16.设数歹U｛a,,｝的前n项和为S”,若％=3且2a,=S“∙S„_,则｛α,,｝的通项公式可

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知等差数列｛4｝满足4=1°,24=6.

(1)求4；

2"τ,〃为奇数

⑵数列也｝满足么=h阳，T,为数列也｝的前〃项和，求&.

5<‰τ，〃为偶数

18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成

绩分组:第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］,得到的频率分布直

(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);

(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方

图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.

19.如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30。相距而+√∑海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45。的方向

以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2√Σ海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时

后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃

窜，巡逻艇立即加速以3亚海里/小时的速度沿着直线追击

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里

(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

20.在正方体ABCD-ABCR中，如图E、F分别是BB∣,C。的中点.

D∖Ci

(1)求证：平面尸，平面ADE；

(2)求直线EF与AAF所成角的正弦值.

(I)求抛物线的标准方程；

(2)抛物线C在X轴上方一点A的横坐标为2,过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交

点分别为B,C,求证：直线BC的斜率为定值.

22.已知函数/(x)=0χ2-xlnx.

(1)若函数在(0,+8)上单调递增，求实数”的取值范围；

(2)若α=e,证明：当x>0时，/(x)<xe'+L

参考答案

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

A=∕x∣x<5∣B=(XlX2-6x—7≤0)tR

1,已知集合ɪ1J,ɪ1，，则AB=()

A.{x∣x≤-l}B.{x∣-l≤x<5}

C.{x∣xW-7}D.{x∣-7<x<5}

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式得集合8,然后由交集定义计算.

【详解】因为A={x∣x<5},3={小2-6χ-7≤0∣=∣x∣(x+l)(x-7)≤θ}=∣x∣-l≤^≤7∣,

所以ACj3={x∣-l<xv5}.

故选：B.

2

2.若复数z=2i+三，其中i是虚数单位，则复数Z的模为

A.与B.√3C.∣2D.2

y

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可.

22(l-i)

【详解】复数z=2i+—：=2i+/,\/=2i+l-i=l+i,

l+i(l+ι)(l-ι)

贝UIZl=JFTF=JΣ•

故选C∙

【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题.

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AP=I,其余六条棱长均为2,则该四棱锥的体积为()

【答案】C

【解析】

【分析】先证明BOLAC,从而可证平面PAC，平面ABCO,则有顶点P的射影在AC上，从而可得

OA=OB=OC,即有-ABC是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.

【详解】连接AC,8。，交点为E，如图所示：

P

。二二C

B

AB=AD,CB=CD,且AC是公共边,

.-.i,ABC^ADC,..ZCAB=ZCAD,

易得.AEB^..AED,ΛAEB=ZAED=90o,BE=DE,

即3。_LAC,又P3=Pf),..BO_LPE，

ACPE=E,AePEU平面∕½C,

平面P4C，又BDU平面ABCD,

二平面PAC_L平面ABCQ.

过点P作PO1平面ABCD，垂足为。，连接。8,

PA=PC,..OA=OC,

04,。BU平面ABa),.∙.PO,04,POLOB,

由∕¾=PB,P。是公共边，.∙..PQ4也.POB,

即有OA=OB=OC,

AB,C三点在以AC为直径的圆周上，

：.ZABC90°,AC=>Λ7+2Γ=√5-OA=与,

:.PO=JPA?-OA?=卜2_4)2=芈,

SABCD=2SABC-2×l×2×--2,

“ICCCIC而而

vP-ABCD=~XSΛBCDXP0=~X2X~^~=^~^~■

故选：C

4.若2700<α<360°,则三角函数式+LCOS2a的化简结果是()

V22V22

.a.aaCα

A.sin—B.-sin—C.cos—D.-cos—

2222

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数的升寨公式易知⅛osα=*c。咤=3(结合27。。<。<36。。，可得

CoSa>0,cost<0,再利用升幕公式即可求得答案.

2

(yQf

【详解】解：若C€(270。,360。)，所以ew(135°,180°),贝IJCOSa>0,cos-<0,又

22

。

—I+I—Ccos2α=—IC×2cos2α=COS2a,—1+1—cosa=—IC×2cos2—=cos2—a

22222222

故选：D

5.设随机变量。2)且PaKl)=L,PQ>2)=P,则P((K/1)的值为()

2

11

A.B.1—pC.1—2pD.——p

2^2

【答案】D

【解析】

【分析】由P(X<1)=L,得正态分布概率密度曲线关于〃=1对称，又由P(X>2)=p,根据对称性,

2

可得P(X<0)=p,进而可得P(0<X<l)=；-p,即可求解.

【详解】由随机变量XN(μ,σ),可知随机变量服从正态分布，其中X=〃是图象的对称轴,

又由p(x<D=;,所以〃=1,

又因为P(X>2)=p,根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得P(X<0)=p,

所以P(O<X<l)=g—〃，故选D.

【点睛】本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理

推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

22

6.抛物线V=8χ的焦点到双曲线上一匕=1的渐近线的距离为

124

A.1B.√3C.3D.立

36

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由＞2=8X,焦点坐标为(2,0),又渐近线方程为：y=∖χ.则由点到直线的距离

公式得d==1

考点：抛物线与双曲线的性质及点到直线的距离算法.

12

7.若等边JIBC的边长为2,平面内一点M满足CN=]CB+§C4,则M4∙M3=()

88

193CD

A.9--9-

【答案】C

【解析】

【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.

【详解[MA=CA-CM=CA-I-CB+-CA∖=-CA--CB=-BA,

(33J333

(12、222

MB=CB-CM=CB-∖-CB+-CA∖=-CB——CA=-AB,

133J333

]22228

：.MA-MBBA-AB——AB^=——×22=——.

33999

故选：C.

α*,(x<O)

8.已知函数f(x)=,，满足对任意的M≠X2都有uɪJ成立，则。的

(α—3)x+4”,(%..0)%,-χ2

取值范围是()

A.10,；B,(O,1)

D.(0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得函数/(x)在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右

f(xΛ-f(xΛ

段函数的值，进而得到实数”的取值范围，依题意对任意的XNX,,都有JI八成立,所以

x1-X2

函数在H上为减函数，即可得到不等式组，解得即可;

[详解】vʃ（X）对任意的R≠X2都有<O成立，

Xj-X2

a∖（x<0）

.V（x）=↑为R上的减函数，

（。一3）x+4α,（X.0）

0<a<∖

.∙.44-3<0解得0<姓一.

[¼,14

故选：A.

【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：（1）若函数在区间m,句上单调，则该函

数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接

点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变

量取值范围.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9.在棱长为1的正方体ABCO-ABlG。中，P为线段Ba上的动点，下列说法正确的是（）.

A.对任意点P,OP〃平面A

B.三棱锥P-4。。的体积为，

6

C.线段OP长度的最小值为逅

4

D.存在点P,使得OP与平面AoAA所成角的大小为W

【答案】AB

【解析】

【分析】根据平面ABlA〃平面8G。，可判断A;根据三棱锥体积公式，计算三棱锥P-4。R的体积，

可判断B；求出线段OP长度的最小值可判断C;作出OP与平面所成角，计算其正切值范围，结合

题设可判断D.

【详解】A选项：如图所示,

连接AB1,ADt,BR,BD和C1D,

,/BB1//DDx,BBx=DDi,:.四边形B8Q。为平行四边形，；.B1D1//BD,

8。U平面C∣5D,4A0平面GBO,所以42〃平面GBO,

同理可知AA〃平面。出。，

∙.∙AAC49=A，AOj,BQu平面ABQl,.∙.平面ABQ〃平面BCQ,

,/DPu平面BCI。，

对任意点尸，OP〃平面ABlA,故A正确；

B选项：如图所示，

连接QP,AQ和”，

由A知，BC1//ADi,

*/BC1φ平面ADD1,AD1U平面ADD1,：.BCl//平面ADD1,

∙.∙PeBC∣,P到平面AQA的距离d为定值，即d=l,

,

∙∙^p-ADD,=^-d—■AD-DD]ɪɪ,故B正确；

C选项：由题意正方体ABC。-AgG。可知BD=BG=G9,

∙∙∙.BGo为正三角形，

•••当P为BG中点时，DPZBC1,

.∙.此时。尸最小，为JL正=如，故C错误;

22

D选项：如图所示,

连接A4，在AA上取一点。使AQ=GP,连接PQ,OQ,

由DiA//C1B可知D1Q//CiP,故四边形PQDiCt为平行四边形，

.∙.PQ//C,Dx,由于GA_L平面AAIAQ,则PQl平面AAI。。，

/.NPDQ即为直线PD与平面AAz)Q所成角θ,

CPQ1

...tanθ=---=----,

DQDQ

∙.∙Q在线段Aa上，.∙.正≤OQ≤1,.∙.1≤*.∙.tane∈[l,0],

2

若夕=：,则tan。=石史［1,近］,故D错误.

故选：AB.

10.下列说法中正确的是()

V24.5

A.函数/(X)二厂L-的最小值为2

√X2+4

一,CCebb-∖-m

B.若α>h>0,m>0,则一<-----

aa+m

2_Q

C.函数/(x)=Nr匚二的值域为(-8,2)1(2,+8)

X-I

D.函数/(x)=Jx-l∙Jx+1与函数g(χ)=J/_］为同一个函数

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.

“∙/、χ2+5x2+4+1/~~~71

【详解】A：jz(x)=,=.=√x+4+

√X2+4√√+47%2+4

=1=>Λ2=-3,显然该方程无实数解,

若E=Th

⅛V-V2+4≠.ɪ,

√X2+4

所以/(X)=JX2+4+-]>2-Jx2+4--/=2,

+4V+4

12+5

因此/(x)=K=最小值不是2,所以本选项不正确；

√x÷4

B：因为Q>b>0,"2>0,

b+mha(b^-m)-h(a+m)m(a-b∖

所以--------=—-------——------=—------>0,

a+maa^a+m)Q(Q+m)

b+mb

即----->-,因此本选项正确；

a+ma

c：因为〃X)=2二2=空二∩zl=2—-L,

x-∖x—\x—\

2v-_ɜ

所以/(x)∕2,因此函数/(X)=二一的值域为(TR,2)I(2,+8),所以本选项正确;

X-L

x-l≥0/、1------I-----

D：由/(x)=JX-IJX+1可知:<+]>0=>x≥l,所以函数/(x)=JX-I∙Jx+l的定义域为

{x∣x≥l},

由函数g(x)=∙Jf-1可知χ2-1N0=χ2≥l=χNl,或X≤-l,

所以函数g(x)=47=T的定义域为{∙φzι或χ≤-ι},

因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确,

故选：BC

11.关于函数/(x)=2Sin(X+§■),下列说法正确的是()

(2τιA5TT5ττ

A.一,0是图象的一个对称中心；B.是函数的一个单调递增区间;

I3)L66j

TT

C.X=一一是图象的一条对称轴;D.最大值是2,最小值是-2.

3

【答案】AD

【解析】

【分析】应用整体代入法，验证对称中心、单调区间、对称轴即可判断A、B、C的正误，由正弦函数的

值域判断D的正误.

∑rn2〃

【详解】A：将x=§代入，得/(y)=2sin;r=0,正确；

57zr5兀、.τc兀7τc.τcτc兀.ʌ.,,TCτc7ττ.、,

B：X∈[r------,],则---≤Xd≤，而----≤XH≤—上/(x)单调增i，一≤ΛH≤上单倜λ

66236232236

减，错误；

C:X=-1时，x+g=°,显然不是/(x)=2Sin(X+()的对称轴，错误；

D：由解析式知/(x)=2Sin(X+§)e[—2,2],正确；

故选：AD.

12.已知OVXlVX2<1，下列不等式恒成立的是()

lt2nAnr

A.x2e'>x1eB.&Ii<xJ∙2

xx2

C.xllnr∣<x2lnx2D.e'+e<Inx2+Irtx1

【答案】AB

【解析】

【分析】A选项，构造函数/(x)==∙,xw(0,l),通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造

g(x)=—,x∈(0,l),通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造〃(X)=XInX,Xe(0,1),通过

求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小.

【详解】令仆)中心(O,1)J，(“宏〉0"⑺在小叫内单调递增

,一Λ

..0<x∣<X2<1时，~：，即x∣e”<X2Ɑ',A选项正确；

令g(无)=―,无e(0,l),g'(∙^)=^⅛^

>O,g(x)在XG(0,1)内单调递增,

.∙.0<x<%<<,

l2即x2lαη<x1Iru2,B选项正确;

ɪl⅞

令〃(X)=XlnX,x∈(0,l),∕f(x)=lnr+l,xw(O,l),当Xe(0」)时，∕z'(x)<O,∕z(x)单调递减，当

X时，/z'(x)>O,〃(x)单调递增，MXJ与〃(马)大小不确定，C错误；

2x,

当OVxIVX2〈I时，Inx}+Inx2<0eʃ+e>0,D错误

故选：AB

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.对于任意左右［-2,3］,不等式V一a∣χ∣+ι>o恒成立，则实数。的范围是

【答案】（—明2）

【解析】

%2+1X2+1

【分析】α=0时恒成立，α≠0时，不等式变形为只要求得的最小值即可得结论，这可

I-xIKl

由函数的单调性求得.

【详解】α=0时，不等式f+i〉。恒成立,

+1

α≠0时，不等式变形为α<-pp,0<N≤3,设f=∣x∣,∕∈(0,3j,

IxI

ʃ=λ∣↑1=ɪ-ɪ^t+-,由对勾函数知该函数在（0,1］上递减，在［1,3］上递增,

Wtt

∙∙∙r=l时，y=f取得最小值2.

∙∖a<2.

故答案为：（-∞,2）.

【点睛】本题考查不等式恒成立问题，常用方法是用分离参数法把问题转化为求函数最值.

14.定义［x］表示不超过X的最大整数（XWR）,如：［T.3］=-2,［0.8］=0;定义{x}=x-［x］.

34

999_9_9_9_2ʃ999∫999

(1)+Toδo∫+'[Ioδo∫+'--

ToooIOOO

999'999"

（2）当"为奇数时,+<>++〈

IioooJIOOOIOOOIOOO

n-]999

【答案】①.2②.—+—

21000

【解析】

9999992999'

【分析】（I）利用新定义求出,利用二项展开式求《卜的值，然后根据规律求出

10001000Tooo

[9994

的值，代入所求的式子求解即可:

∣1000/

（2）由（1）归纳出规律，利用此规律求出所求的式子的值.

999999999999

【详解】解：（I）由题意得,

1000100010001000

9992(IOOO-I)2IOOO2-20∞+lCCC1

■.-------=1--------------=-----------------------=998+——

IOOO100010001000

9992>=998+———998=—i—

1000IOoO1000

9993≡hi=IOOO-XIOOOFXIOON=叱-3000+3」

1000100010001000

3

999卜100*3000+3-旃-(1000—000+3T999

1000~Ioδδ

99941

由二项式定理同理可得，〈

1555广1555,

99999929993999499919991

+<>+----+----+----+一2；

10001000100010001000100010001000

999"999

（2）由（1）可归纳出当〃是奇数时，＜

10001000

999"1

当〃是偶数时，〈

10001000

n-∖〃+1人一皿

・•・当〃为奇数时，则有——个偶数,——个奇数,

22

r

9999992999999"71-1999

+《>+<>+…+<----H---------

10001000Tooo100021000

…⑺n-∖999

故答案：2；——+-------

21000

22

15.己知椭圆C:二+匕=1的左、右焦点分别为£,居，点P是C上异于左、右顶点的一点,

95

外接圆的圆心为M,O为坐标原点，则PM∙PO的最小值为.

9

【答案】ɑ

2

【解析】

【分析】根据向量的加法法则和向量垂直的表示，结合均值不等式代入即可.

【详解】PMPO=-PM-PMPFx+PMPF^,

2

取线段PG的中点G,则MGIPF1,

所以PM.尸月=PE{gpG+GM)=；Pf；2,

1-2

同理PM∙PB=,P6，

当且仅当IP同=IPEI=3时，等号成立,

9

即尸M∙PO的最小值为一.

2

9

故答案为：—.

2

16.设数列｛4｝的前n项和为S.,若4=3且2an=Sn-S„_,则｛4｝的通项公式an=

3,n=∖

【答案】18

n≥2

(5-3〃)(8-3")'

【解析】

【详解】∙≥2时，由2%=5“31可得23-25,1=5,囚1，化为，一，一=一1,，是公差为

111_1Izlλ15c6CC

一一，首项为一等差数列，丁=W一行（〃一1）=一不"+2,B,=^^——>〃22时，a=S11-S1=

23S,l32265-3∕?

18

（5-3〃）（8-3〃），又因为《=3，

3,〃=1

故答案为：,18ɔ.

7-------77-------c,∏≥2

（5-3∕ι）（8-3n）

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知等差数列｛4｝满足4=1°，Λ5-2Λ2=6.

（1）求；

2"τ,〃为奇数

⑵数列也｝满足a=1“而加，】为数列也｝的前“项和，求成.

54.1，〃为偶数

、乙

【答案】(1)an=4n-2

一

ɔ24“1

(2)τ2n=2n-2n^-

【解析】

【分析】(1)根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求凡；

(2)利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列｛d｝的前〃项和

【小问1详解】

设等差数列｛α,,｝的公差为"，

4+2d=10q=2

因为4=10，%—24=6.则,(q+4d)—2(q+d)=6'解得

d=4

所以=2+4(〃-1)=4〃-2.

【小问2详解】

2"T,〃为奇数

由(1)可得〃

2〃-3,"为偶数'

则&=(4+4++⅛-∣)+⅛+⅛++处)

=(l+22++22n^2)+[l+5++(4n-3)]

1—4"∏(4n-2)C24,,-l

=------+—i--------,=2n2-n+--------,

1-423

`4"-1

所以&=2/一2〃+------.

18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成

绩分组:第1组［75,80),第2组［80,85),第3组［85,90),第4组［90,95),第5组［95,100］,得到的频率分布直

方图如图所示.

(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);

(2)该校高一年级共有IOOO名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方

图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.

【答案】(1)中位数为86.67,平均数为87.25(2)300

【解析】

【分析】

(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为狐〃,因为前2组的频率之和为0.4<0.5,因为前3组的

频率之和为O∙7>0.5,所以85<帆<90,求出∏即可求得答案；

(2)因为样本中90分及以上的频率为(0∙04+0∙02)χ5=0.3,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布

直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.

“优秀”等次的人数

【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为

因为前2组的频率之和为0.4<0.5,因为前3组的频率之和为0.7>0.5,所以85<帆<90,

由0.4+0.06×(m-85)=0.5,得利=86.67.

n=77.5×5×0.01+82.5×5×0.07+87.5×5×0.06+92.5×5×0.(M+97.5×5×0.02=87.25所以,这50名学生数学成绩

的中位数和平均数分别为86.67,87.25

⑵因为样本中90分及以上的频率为(0.04H).02)χ5=0.3,

所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到

“优秀”等次的人数为Q3χlOO(A3OO人.

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.

再求出学生数,属于基础题.

19.如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30。相距遍+夜海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45。的方向

以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2班海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时

后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃

窜，巡逻艇立即加速以3五海里/小时的速度沿着直线追击

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里

(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

【答案】（1）两船相距石海里.

（2）巡逻艇应该北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船.

【解析】

【分析】（1）在-ABC中，解三角形得8。=26，NABC=45°，在ABCD中，由余弦定理求得CC）.

（2）在Z∖6CD中，解三角形得NBCo=60°，NBoC=90°，得到NCoE=I35°，在，CO七中，由正弦

定理求得NOCE=30，结合图形知巡逻艇的追赶方向.

【小问1详解】

由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时

=3χl=3,AC=2五xl=2√Σ,

由题意知ZBAC=90°-30°=60°

在一ABC中，ΛB=√6+√2,AC=2√2

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC

=(√6+√2)2+(2后-2(√6+6)∙2夜Xg=12

所以BC=2g^

ACBC叩20_2G

在-ABC中,由正弦定理得

sinZABC-sinZBACsinZABCsin60

√2

所以sin∕45C=.∙.NA6C=45",(135舍去)

~2,

所在ZACB=180°—60°-45°=75°

又ZCBD=180n-45°-450—60°=30°

在z‰BCD中，ZCBD=30°,BD=3,BC=2y∣3

由余弦定理得CD2=BC2+BD1-IBC-BD∙cos30°

=（2√3）2+32-2×2√3×3∙COS30°=3

.∙.cr>=√3.

故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距G海里.

【小问2详解】

当巡逻艇经过，小时经CE方向在E处追上走私船，

则CE=3√2f,DE=3t,CD=3

CDBDBC

在ABCO中，由正弦定理得:

SinNCBDSinNBCD-SinNBDC

则夕=326

sin30sin/BCDsin/BDC

所以sinNBCD=走，.∙.NBCD=60"，NBDC=90°,NCDE=135°