高一物理人教版必修1学案2-3匀变速直线运动的位移与时间的关系

3匀变速直线运动的位移与时间的关系知识点一匀速直线运动的位移(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt.(2)做匀速直线运动的物体，如图所示，其v－t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．知识点二匀变速直线运动的位移位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和时间轴包围的面积．如图所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积．知识点三eq\o(\s\up17(匀变速直线运动的位移公式),\s\do5(x＝v0t＋\f(1,2))at2)(1)公式中的x、v0、a均是矢量，应用公式时，应先确定正方向．(2)当v0＝0时，x＝eq\f(1,2)at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系．(3)当a＝0时，x＝v0t，表示匀速直线运动的位移与时间的关系．某质点的位移随时间变化的数量关系式为x＝4t＋2t2m，x与t答案：4m/s4m/s2考点一对v－t图象的理解1．匀速直线运动的v－t图象(1)图象特征匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线，如图所示．(2)图象的作用①能直观地反映匀速直线运动速度不变的特点．②从图象中可以看出速度的大小和方向，如图，图象在t轴下方，表示速度为负，即速度方向与规定的正方向相反．③可以求出位移x.在v－t图象中，运动物体在时间t内的位移x＝vt，就对应着“边长”分别为v和t的一块矩形的“面积”，如图中画斜线的部分．2．匀变速直线运动的v－t图象(1)图象的特征匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．如图甲和乙所示为不同类型的匀变速运动的速度图象．初速度为零的匀加速直线运动的v－t图象是过原点的倾斜直线，如图丙所示．(2)图象的利用①直观地反映速度v随时间t均匀变化的规律．图甲为匀加速运动，图乙为匀减速运动．②可以直接得出任意时刻的速度，包括初速度v0.③可求出速度的变化率．图甲表示速度每秒增加0.5m/s，图乙表示速度每秒减小1m/s.④图线与时间轴所围“面积”表示物体在时间t内的位移．如下图所示，画斜线部分表示时间t内的位移．3．v－t图象的深入分析(1)v－t图象与时间轴的交点表示速度方向的改变，折点表示加速度方向的改变．(如图所示)(2)v－t图象中两图象相交，只是说明两物体在此时刻的速度相同，不能说明两物体相遇．(3)v－t图象只能反映直线运动的规律因为速度是矢量，既有大小又有方向．物体做直线运动时，只可能有两个速度方向，规定了一个为正方向时，另一个便为负值，所以可用正、负号描述全部运动方向．当物体做一般曲线运动时，速度方向各不相同，不可能仅用正、负号表示所有的方向，所以不能画出v－t图象．所以，只有直线运动的规律才能用v－t图象描述，任何v－t图象反映的也一定是直线运动规律．【例1】(多选)某物体运动的v－t图象如图所示，下列说法正确的是()A．物体在第1s末运动方向发生变化B．物体在第2s内和第3s内的加速度是相同的C．物体在4s末返回出发点D．物体在6s末离出发点最远，且最大位移为1m用v－t图象分析问题时要注意：(1)v－t图象中直线的斜率表示物体运动的加速度；(2)图线和t轴所围的面积的数值等于物体的位移大小，图线和t轴所围成的面积的数值的绝对值的和等于物体的路程．【解析】由图象可知，物体在前2s内速度先增大后减小，但运动方向没有变化，选项A错误；第2s内和第3s内图线的斜率没变，所以加速度相同，选项B正确；在v－t图象中，图线与坐标轴所围的“面积”表示物体的位移，从图象可以看出，前4s内物体的位移为零，所以物体在4s末返回出发点，选项C正确；物体在第6s末离出发点最远，6s内的位移为1m，选项D正确．【答案】BCD甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内(A)A．汽车甲的平均速度比乙的大B．汽车乙的平均速度等于eq\f(v1＋v2,2)C．甲、乙两汽车的位移相同D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析：v－t图象中图线下的面积表示位移，在0～t1时间内，甲的位移大于乙的位移，所以汽车甲的平均速度比乙的大，选项A正确，选项C错误；汽车乙做的不是匀减速直线运动，平均速度小于eq\f(v1＋v2,2)，选项B错误；v－t图象中图线的斜率表示加速度，汽车甲、乙的加速度都是逐渐减小的，选项D错误．考点二匀变速直线运动的位移(1)匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2.(2)对位移公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2的理解①位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中v0是初速度，时间t是物体实际运动的时间．②此公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算结果x>0，说明位移的方向与初速度v0方向相同；x<0，说明位移方向与初速度v0方向相反．③对于初速度为零的匀加速直线运动，位移公式为x＝eq\f(1,2)at2，即位移x与时间t的二次方成正比．④此公式中共有四个物理量，知道其中任意三个物理量，便可确定第四个物理量．【例2】一辆卡车初速度为v0＝10m/s，以a＝2m/s2的加速度行驶，求：(1)卡车在3s末的速度v3；(2)卡车在6s内的位移x6与平均速度v；(3)卡车在第6s内的位移x.卡车做匀加速直线运动，根据速度公式可求得3s末的速度，根据位移公式可求得6s内的位移．第6s内的位移等于前6s内的位移减去前5s内的位移．【解析】(1)3s末的速度v3＝v0＋at3＝10m/s＋2×3m/s＝16m/s(2)6s内的位移x6＝v0t6＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,6)＝10×6m＋eq\f(1,2)×2×36m＝96m6s内的平均速度v＝eq\f(x6,t6)＝eq\f(96,6)m/s＝16m/s(3)5s内的位移x5＝v0t5＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,5)＝10×5m＋eq\f(1,2)×2×25m＝75m所以第6s内的位移x＝x6－x5＝21m.【答案】(1)16m/s(2)96m16m/s(3)21m总结提能(1)对x＝v0t＋eq\f(1,2)at2中a的理解：物体做匀减速直线运动时，若以初速度方向为正方向，并使a仅表示加速度的大小，这时匀减速直线运动的位移时间关系式可变形为x＝v0t－eq\f(1,2)at2，这时v0、a、t均取正值，更适合于我们的习惯．(2)汽(火)车刹车等问题，物体做匀减速直线运动，停止后不再运动．这类问题的处理思路是：先求出它们从刹车到静止的刹车时间，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动公式求解．2011年太平洋冰壶锦标赛在南京奥体中心完美收官，主场作战的中国队表现出色，包揽了男、女两个项目的金牌．如图所示，冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时，速度恰好为零．冰壶通过前三个矩形区域的时间为t，试通过所学知识计算冰壶通过四个矩形区域所需的时间．解析：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，设每个矩形区域的长为l.由A到E，有4l＝vt1－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)，0＝v－at1，由A到D有3l＝vt－eq\f(1,2)at2，联立解得t1＝2t或t1＝eq\f(2,3)t，显然eq\f(2,3)t不符合题意，应舍去．答案：2t【例3】汽车在高速公路上行驶的速度为108km/h，若驾驶员发现前方80m处发生了交通事故，马上紧急刹车，汽车以恒定的加速度经过4s才停下来．(1)问该汽车是否会有安全问题？(2)如果驾驶员看到交通事故时的反应时间是0.5s，该汽车是否会有安全问题？(1)驾驶员采取刹车措施后，汽车做匀减速直线运动．在此过程中，初速度为汽车的行驶速度108km/h，即30m/s，汽车经过4s停下来，末速度为0.运动过程如图所示．(2)该汽车的实际运动可分为两部分：当驾驶员看到交通事故时，在反应时间内，汽车做匀速直线运动；当驾驶员刹车后，汽车以原行驶速度为初速度做匀减速直线运动．其运动情况如图所示．选取汽车行驶的初速度方向为正方向．【解析】(1)108km/h＝30m/s，由公式v＝v0＋at可得汽车刹车过程中的加速度为a＝eq\f(v－v0,t)＝eq\f(0－30,4)m/s2＝－7.5m/s2汽车从刹车到停止所经过的位移为x＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(30×4＋\f(1,2)×－7.5×42))m＝60m由于前方距离有80m，汽车经过60m就已停下来，所以不会有安全问题．(2)汽车做匀速直线运动的位移x1＝v0t＝30×0.5m＝15m，汽车做匀减速直线运动的位移x2＝v0t＋eq\f(1,2)at2＝30×4＋eq\f(1,2)×(－7.5)×42m＝60m，汽车停下来的实际位移为x＝x1＋x2＝(15＋60)m＝75m，由于前方距离有80m，所以不会有安全问题．【答案】(1)不会有安全问题(2)不会有安全问题总结提能公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值．若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反．ETC是电子不停车收费系统的简称．汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以正常行驶速度v1＝16m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝8m处正好匀减速至v2＝4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝25s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶．设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a1＝2m/s2和a2＝1m/s2.求：(1)汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；(2)汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间Δt是多少？解析：(1)汽车通过ETC通道时，匀减速过程的位移x1＝eq\f(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2),2a1)＝60m，匀加速过程的位移x2＝eq\f(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2),2a2)＝120m，则汽车的总位移x＝x1＋d＋x2＝188m.(2)汽车走ETC通道时，匀减速过程的时间t1＝eq\f(v1－v2,a1)＝6s，匀速过程的时间t2＝eq\f(d,v2)＝2s，匀加速过程的时间t3＝eq\f(v1－v2,a2)＝12s.汽车走人工收费通道时，匀减速过程的时间t′1＝eq\f(v1,a1)＝8s，匀减速过程的位移x′1＝eq\f(v1＋0,2)t′1＝64m；匀加速过程的时间t′2＝eq\f(v1,a2)＝16s，匀加速过程的位移x′2＝eq\f(v1,2)t′2＝128m.则汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间Δt＝(t′1＋t0＋t′2)－(t1＋t2＋t3)－eq\f(x′1＋x′2－x1＋x2＋d,v1)＝28.75s.答案：(1)188m(2)28.75s1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是(C)A．物体的末速度一定与时间成正比B．物体的位移一定与时间的平方成正比C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小解析：根据v＝v0＋at和x＝v0t＋eq\f(1,2)at2可知，选项A、B错误；由a＝eq\f(Δv,Δt)可知，选项C正确．当物体做匀减速运动时，速度减小，但位移可能增大，选项D错误．2．做匀变速直线运动的物体，加速度为a，在时间t内位移为x，末速度为v，则下列关系中正确的是(D)A．x＝vt＋eq\f(1,2)at2B．x＝－vt＋eq\f(1,2)at2C．x＝－vt－eq\f(1,2)at2D．x＝vt－eq\f(1,2)at2解析：根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2和v＝v0＋at，可得D选项正确．3．如图所示是汽车与自行车在同一直线上、从同一地点同向运动、同时计时而作出的v－t图象，由图象可知(A)A．在2s末二者速度相同B．在4s末二者速度相同C．在2s末二者相遇D．在4s末二者不相遇解析：由图象可知，自行车做匀速直线运动，速度为v1＝6m/s，汽车做初速度等于零的匀加速直线运动，a＝3m/s2，交点表示t＝2s时，二者速度都是6m/s，A正确，B错误；位移可由图线与横轴所围的面积求得，t＝2s末面积不相同．t＝4s末面积相同，C、D错误．4．(多选)一个物体做匀变速直线运动，它的位移与时间的关系式为x＝t＋0.5t2(m)，从t＝0时开始计时，t1时刻它的速度大小为3m/s，则(AC)A．物体的加速度a＝1m/s2B．物体的加速度a＝0.5m/s2C．t1＝2sD．t1＝4s解析：将x＝v0t＋eq\f(1,2)at2与x＝t＋0.5t2(m)，对比知v0＝1m/s，a＝1m/s2.当v＝3m/s时，t1＝eq\f(v－v0,