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第3页共3页复习资料数学与应用数学专业《抽象代数》（本科）一、选择题(每小题3分,共18分)1、A2、D3、D4、D5、D6、A三、填空（每小题3分,共15分）1、2、-43、4、5、四、（8分）证明：首先，新运算是的代数运算；………1分其次，结合律成立，有……3分再次，设原来运算作用下中的逆元为，为单位元，则，是新运算作用下中的单位元…………5分最后，，有是新运算作用下的逆元…………7分故对新运算也作成一个群……………8分五、（12分）解：…………………4分同理：……8分同理：…………………12分六、（12分）证明：首先证是单射且，假设则，由函数的单调性知：，………………3分其次证是满射有…………………8分最后证保持运算……11分综上所述：是和之间的同构映射，即…12分七、（8分）证明：的单位元，非空且是子集……………2分则，同理：……………………5分则，同理：………7分………………8分八、（12分）证明：设是加群的全体自同态映射组成的集合，首先，因为恒等变换，所以非空。其次，对加法作成交换加群.，，，∴加法是的代数运算.对于零变换，，有，∴零变换是中零元，设，则也是的自同态映射，且，，又，∴对加法作成交换加群。…4分·······································线···································订··································装··········································再次，对乘法满足交换律，，，有再次，中乘法对加法满足左右分配律，，，同理有.……………
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