高中数学必修知识点

零点：对于函数yf（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)定理：如果函数yf(x在区间a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa)fb)0那么，函数yf(x在区间a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得fc)0,这个c程f(x)0的根。（反之不成立关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x有零点函数y零点：对于函数yf（x）,我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)定理：如果函数yf(x在区间a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa)fb)0那么，函数yf(x在区间a,b]内有零点。即存在c(a,b),使得fc)0,这个c程f(x)0的根。（反之不成立关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x有零点函数yf(x)的图象与x(1确定区间a,b],验证fa)fb)0,给定精确度2求区间a,b)的中点c函数的应用3计算fc二分法求方程的近似解 ①若f(c)0,则c就是函数的零点②若fa)fc)0,则令bc此时零点x0(a,b③若fc)fb)0,则令ac此时零点x(c,b04判断是否达到精确度a-,则得到零点的近似值a(或b);否则重复24几类不同的增长函数函数模型及其应用用已知函数模型解决问题映射定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应fB为从集合A到集合B的一个 传统定义：如果在某变化中有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，定按照某个对应关系f,y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作yf(x近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射函数及其表示函数的三要素对应法函数的表示方法列表图象传统定义：在区间a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，则f(x在a,b上递增,a,b递增区间；如f(x1)fx2)，则f(x在a,b上递减,a,b是的递单调性导数定义：在区间a,b上，上递,a,b是递增区间；如f(xfx)0，fx在a则fx在a,b上递减,a,b是的递减区函数函数的最大值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x（2）存在xI，使得fx)M。则称M是函数yfx)的最大最值00最小值：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：（1）对于任意的xI，都有f(x（2）存在x0I，使得fx0)N。则称N是函数yf(x)的最小(1)fx)fx),x定义域D，则f(x)叫做奇函数，其图象关奇偶性2)fx)fx),x定义域D，则fx)叫做偶函数，其图象关于y 奇偶函数的定义域关于原点对周期性：在函数f(x)的定义域上恒有f(xT)fx)(T0的常数则fx)叫做周期函数，T为周期T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，简（1）描点连线法：列表、描点向左平移个单位：y1y,x1axyf(xa向右平移a个单位：y1y,x1axyf(xa平移变换向上平移b个单位：xxybyybf(x 向下平移b个单位：x1xy1byybf(x横坐标变换：把各点的横坐标x1缩短（当w1时）或伸长（当0w1时到原来的1/w倍（纵坐标不变），即x1wxyf(wx伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标y1伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A（横坐标不变），即y1y/Ayfx函数xx2 x2x 2yyf(2xx关于点xy对000yy12 y2y xx12 x12x0关于直线xx对称yf(2x0x0对称变换y y2y0yf(x关于直线yy对称 y12关于直线yx对称 y (xy1（1）元素与集合的关系：属于（）和不属于集合与元素（2）集合中元素的特性：确定性、互异性（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限（1）元素与集合的关系：属于（）和不属于集合与元素（2）集合中元素的特性：确定性、互异性（3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集（4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法子集：若xAxB，则AB，即A是B的子集1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，真子集有(2n-1)个2、任何一个集合是它本身的子集，A注关系3、对于集合ABC,如果AB，且BC那么A4、空集是任何集合的（真）子真子集：若AB且AB（即至少存在xB但xA），则A是B的真集合集合相等：AB且A00A集合与集合定义：ABxxA且x交集性质：AAA，A，ABBA，ABAABB，ABAB定义：ABxxA或x并集性质：AAA，AA，ABBA，ABA，ABB，ABAB运算Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(A AxxU且xA定义 U补集性质：CUAA，(CUAAU，CU(CUAA，CUABCUACUC(AB)(CA)(CUUU21、若f(xg(x均为某区间上的增（减）函数，则f(xg(x)1、若f(xg(x均为某区间上的增（减）函数，则f(xg(x)2、若f(x为增（减）函数，则f(x)为减（增）3、若f(xgx的单调性相同，则yf[g(x是增函数；若f(xgx调性不同，则yf[g(x1x0f(00yf(x函数又是偶函数，则f(x)0（反之不成立4yf(u和ug(x5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x1f(xf(x1f(xf(x22根式na,n为根指数，a为被开方数mm a分数指arasars(a0,r,s指数的运指数函数(ar)根式na,n为根指数，a为被开方数mm a分数指arasars(a0,r,s指数的运指数函数(ar)sars(a0rs(ab)rarbs(a0,b0,r定义：一般地把函数yax(a0且a1)叫做指数指数函数性质：见表对数：xlogNa为底数，N为真logaN)logMlogaN基本初等函数 M M N对数的运算aaaN性质nloga nlogaM;(a0,a1,M0,N对数函log(ac0且ac1c换底公式logbalogcx(a0且a1)叫做定义：一般地把函数y对数函数a性质：见表定义：一般地，函数yx叫做幂函数，x是自变量，是常幂函数性质：见表表1指数函数yaxa0aylogaxa0,axx0,值域y0,y过定点过定点aaaayxq0高中数学必修2知识或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°kktan当0,90高中数学必修2知识或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°kktan当0,90时，k 当90,180时，k0；当90时，k不y2y1x x (2)k与①点斜式：yy1k(xx1直线斜率k，且过点x1,y1y=y1当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。ykxbkyyxyy）直线两点xyxy（xy x 1 xy lx轴交于点(a0),与y轴交于点(0,b,lx轴、y轴的截距分别为a,bAxByC0（A，B2xyb（b为常数yxa（a为常数A0xB0yC00（A0B0是不全为平行于已知直线0的常数）A0xB0yC0（C为常数（ⅰ）kyy0kxx0，直线过定点x0y（ⅰ）kyy0kxx0，直线过定点x0y（ⅱ）过两条直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数其中直线l2不在直线系中当l1yk1xb1l2:yk2xb2l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k2l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20交点坐标即方程组A1xB1yC1xByC l1与l2方程组无解l1//；方程组有无数解两点间距离公式：A(x1y1)，（x2y2）则|AB|(x2x1)2y2点到直线距离公式：Px0y0到直线l1AxByC0的距离dAx0By0A2B（1）标准方程xa2yb2 ，圆心a,b，半径为r（2）x2y2DxEyFD2E20时，方程表示圆，此时圆心为D,E，半径为rD2E22 2D2E4F0时，表示一个点 当D2E0求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；（1）设直线l:AxByC0，圆Cxa2yb2r2，圆心Ca,bl，则有drl与C相离drl与C相切drl与C相dA2B（2）设直线lAxByC0，圆Cxa2yb2r2AaBb0l与C相离0l与C相切0l与C相0l与C相离0l与C相切0l与C相x0,表示切点坐标，r①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为yy0r2(课本命题xx②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-:x y 设圆Cxybr2，22R111222当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；RrdRrdd 当d0时，为同心圆R表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEA'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'表示PA'B'C'D'E表示PA'B'C'D12SSSS圆锥直棱柱1(cc(rSS圆台侧 2r2rlRlR22rrlrrlSSS圆台 ShV1 1r 柱圆锥33 1(S' S'SS)h1(r2rRR2V1(S'S'S圆台333；=4；=4 =4球球3①平面的概念 通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。③点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作Al；直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。公理用符号语言表示公理Al,Bl,A,Bl公理相交，交线是符号语言：P B Bl,P①②③④（线线平行线面平行那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行①两平行直线所成的角：规定为0①两平行直线所成的角：规定为0③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴3）过每两个坐标轴的平面叫做坐右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,yz来表示，有序实数组(xyzMM(xyz)（xM的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标） (x2x1)(y2y1)(z2z1222§1算法初次多项式，只要作n§1算法初次多项式，只要作n次乘法和nxn1...aax xx...xax n1n21例题：秦九韶算法计算多项式3x64x55x46x37x28x1当x0.4时需要做几次加法和乘法运算答案当x0.4时需要做几次加法和乘法运算答案 ，即:3x4x5x6x7x8x理解算法的含义：一般而言，对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法，2..:...算法结构：环Ⅱ.选择结构（selectionstructure或者称为分支结构。其中的判断框，书写.算法结构：环Ⅱ.选择结构（selectionstructure或者称为分支结构。其中的判断框，书写时主Ⅲ.structure实生codeBA ApYN YAxyx Ⅰ赋值语句（assignmentstatement：用xxyx Ⅰ赋值语句（assignmentstatement：用xy，表示将y但此时的““=”具有计算功能。如：3a,b6aa3*51a=2a+如：a=b=c=都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值a,b,c=2都是错误的，而3是正确的pxxyyzpxyy,x,y,z: 输入语句（inputaastatement）x,y输出语句x4.Print语句可以输出常量和表达式的值.5.；隔开例题：x5时，Print“x”xx=Ⅲ.条件语句（conditionalstatement1.If语句注：没有 IfAB2.If注：①不要忘记结束语句 ，当有If ②.1.If语句注：没有 IfAB2.If注：①不要忘记结束语句 ，当有If ②. If后面也要有 例题 a,b, a,b, a≥b a≥band Else b≥c a≥c ac bc数Ⅳ.循环语句cyclestatement：当事先知道循环次数时 For循环，即 AThen AThenC 是N次也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用While循环 是N次也是已知次数的循环 当循环次数不确定时用While循环 凡是能用While循环书写的循环都能用For循环书 3.While循环和Do循环可4.Do5.条件的判定例题：135...的一个算法（见课本P21SI I97II2SSI PrintSForIFrom3ToSSI Print2SI ISSIII PrintS…Loop … DoForIFrom初值 终值 … …End SISSIIISSISSIIISIII2SS ISIPrSIPrSIS)IDo)(或者II97或者I99SSIIIII2SSPrintPrS4正角:按逆时针方向旋转形1、任意角负角:按顺时针方向旋4正角:按逆时针方向旋转形1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成2、角x限，则称k36090,k第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为kk360180,kk180k360270,k270k360360,kk第四象限角的集合为k终边在x轴上的角的集合为k180ky轴上的角的集合为k18090k终边在坐标轴上的角的集合为k90k3、与角终边相同的角的集合为k360k4、已知是第几象限角，确定n*所在象限的方法：先把各象限均分nn是第几象限对应的标号即为3、与角终边相同的角的集合为k360k4、已知是第几象限角，确定n*所在象限的方法：先把各象限均分nn是第几象限对应的标号即为n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．lr，11807236057.3 则lrC2rlS1lr1r2 9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是rr0，则sinycosxtanyxx2rrx11sincostanyTPsin21cos2,cos21sin2；2sintanOMxAsintancos,cossintan1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank2sinsin，coscos，tantan3sinsin，coscos，tantan4sinsin，coscos，tan4sinsin，coscos，tantan5sincos，cossin 6sincos，cossin 14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移短）1倍（纵坐标不变ysinxysinx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标变ysinx长度ysinx的图将函数ysinx的图象上所有点ysinx0,0①振幅：；②周期：2；③ ；④相位：x；⑤初相 ysinxxx1xx2，最大值为 ，则1，1yy 222函ycosytany，最大值为 ，则1，1yy 222函ycosytanysin数图象定xxk,k义RR2域值R域当x2kk；x2kk21x2k最时，x2kk时，值值2k时，周期性奇偶性2在2k2,2k2k,2kk在单在kkk上是增函数；2k,2k2在2k2,2k2k,2kk在单在kkk上是增函数；2k,2k在22调2k,2k3k上是增函数．性22上是减函数．k上是减函数．对称中心对称中心对称中心对k,0k,0k kk称22对xk称轴性xkk2k零向量：长度为0单位向量：长度等于1个单位的向量．aaa．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabcaaaa．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabca00aa⑸坐标运算：设ax1y1bx2y2，则abx1x2y1y2⑵坐标运算：设ax1y1bx2y2，则abx1x2y1．设、两点的坐标分别为x1,y1x2y2，则x1x2y1y2⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a①aa②当0aa的方向相同；当0a的方向与a0a⑵运算律：①aaaa；③ababx,y，则ax,yx,y⑶坐标运算：设20、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．ax1y1，bx2y2，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量ab21、平面向量基本定理：如果 、内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2不共线的向量e1、e222是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2xy当时，点 ,12．1 112cosa0,b0,．零向量与任一向量的数量积为0⑴ababxy当时，点 ,12．1 112cosa0,b0,．零向量与任一向量的数量积为0⑴ababab；aaa2a2或a与bab aa．③abab．abab；③abcacbc⑶运算律：①abbaab⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1bx2y2abx1x2y1y2axy，则a2x2y2，或 x2y2ax1y1bx2y2abx1x2y1y20a、b都是非零向量，ax1y1，bx2y2是a与的夹角，则acos．x2 x2 ⑴coscoscossinsin⑵coscoscossinsin⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin⑸tantantan（tantantan1tantan1tantan⑹tantantan（tantantan1tantan1tantan⑴sin22sincosabcos2cos22 cos2cos2sin2cos2cos22 cos2cos2sin22cos2112sin2sin21cos22（，⑶tan22tan1tan222sin，其中tan26sin51、正弦定理：在Ca、b、c分别为角、、CR为Cabc2R sin sin2a2Rsinb2Rsinc2RsinC②sina，sinb，sinCc③a:b:csin:sin:sinC④ ab abc．sinsinsin sin sin sin 1bcsin④ ab abc．sinsinsin sin sin sin 1bcsin1absinC1acsin2224、余弦定理：在C中，有a2b2c22bccosb2a2c22aca2b22abcosCb2c2a2c2a2b25、余弦定理的推论：cos，cosC．6、设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若a2b2c2，则C；②若a2b2c2，则C90；③若a2b2c2，则C9015、数列的通项公式：表示数列annn16、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an1（或前几项）间的关系的公式差中项．若bac，则称b为a与c219、若等差数列 的首项是a，公差是d， an1daan1 anmd；②aan1d；③d20、通项公式的变形：①； nad19、若等差数列 的首项是a，公差是d， an1daan1 anmd；②aan1d；③d20、通项公式的变形：①； nad n d④．n21、若an是等差数列，且mnpq（m、np、q则amanaa* 若an是等差数列，且2npq（n、pq*，则2anapaqna1an；②nn1dn2 2an12nn*23、等差数列的前，SSndS奇． Sa偶，S②若项数为2n1n