3.1.1 椭圆及其标准方程（精练）（解析版）

3.1.1椭圆及其标准方程（精练）1．（2023·江西宜春）已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则（

）A．6 B．3 C． D．2【答案】B【解析】依题意，，则.故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点，故的周长，故选：D3．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即，又，所以，由，所以；故选：A4．（2023春·贵州黔东南）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【解析】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C

5．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【解析】由椭圆，可得，所以，又由椭圆的定义可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：D.6．（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（

）A．10 B．16 C．20 D．不能确定【答案】C【解析】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为.故选：C7．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以.故选:C8．（2022春·北京·高二北京二中校考期末）椭圆的焦距为4，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】由椭圆化为标准形式得：，且椭圆的焦距，当椭圆焦点在轴上时，，，则由，所以，此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，当椭圆焦点在轴上时，，，，解得，此时方程为：，满足题意综上所述，的值为．故选：D．9．（2022秋·天津和平·高二耀华中学校考期中）曲线与的关系是（

）A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点【答案】D【解析】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，所以，焦距为，焦点坐标为，椭圆的焦点在轴上，且，所以，焦距为，焦点坐标为，所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.故选：D.10．（2022秋·江西吉安·高二吉安一中校考期中）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B11．（2023秋·高二课时练习）（多选）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹【答案】BCD【解析】根据题意，得，①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为焦点的椭圆；②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为线段；③当时，，不存在满足条件的点M．综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选：BCD.12．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】D【解析】对于椭圆有，设，则根据椭圆的定义得，又，解得，.故选：D.13．（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】C【解析】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点，所以符合条件为直角三角形的点有6个，故选：C.14．（2023·全国·高三专题练习）设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】椭圆，则，，两边平方得①，在中，由余弦定理得,即②，由①②得.故选：B15．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【解析】设，因为，所以；因为，所以，即，所以，整理得，其轨迹是椭圆.故选：B.16．（2023秋·高二单元测试）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由知，焦点为，，即，.设所求椭圆方程为，则，解得，故所求椭圆方程为.故选：A.17．（2023·浙江·二模）已知是椭圆的左焦点，点在上，在上，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，可得圆的圆心坐标为，半径，由椭圆，可得，设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可得，所以，又由,如图所示，当点四点共线时，即时，取得最小值，最小值为，所以.故选：A.18．（2023秋·高二单元测试）已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为．【答案】20【解析】

因为＝0，所以⊥，所以△是直角三角形．由椭圆定义知||＋||＝6，①又，②由－②得，因为，所以.故答案为：20.19．（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为.【答案】/【解析】由题设圆和圆的圆心分别为，半径分别为，则椭圆的焦点为，，又，，故，当且仅当分别在的延长线上时取等号，此时最大值为.故答案为：.20．（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为.【答案】【解析】如图，由椭圆可得,所以,则,所以在中，，因为,且,所以,设的坐标为,且，即，解得，所以点到轴的距离为.故答案为：..21．（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是．【答案】4，8【解析】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1，则由椭圆的定义可得故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小，所以，.故答案为：4，8.22．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的条件．【答案】必要不充分【解析】若方程表示椭圆，则且，且，是方程表示椭圆的必要不充分条件，即P是Q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分．23．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是.【答案】/【解析】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：24．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为．【答案】【解析】由题知，，，因为点在椭圆上，所以，所以，又因为，所以，所以，从而．故答案为：25．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为.【答案】【解析】椭圆的焦点，，设点，依题意，，又，于是，所以点的坐标为.故答案为：26．（2023秋·广东潮州）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点．(4)经过点，两点；(5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点.(6)焦点坐标为，过点；(7)经过两点．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)【解析】（1）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为，易知，∴，又，∴，故所求椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为，∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为；（3）根据题意可知，又焦点在y轴上，故焦点坐标为，∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得，即，∴，故椭圆的标准方程为.（4）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以，所以椭圆的标准方程为.（5）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上因为，所以，故设椭圆方程为由题意得，解得或(舍去)所以椭圆的标准方程为.（6）设椭圆的长半轴为，短半轴为，因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且，又椭圆过点，所以，所以，所以，故，所以椭圆的标准方程为；（7）设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.1．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）（多选）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（

）A．若点的横坐标为2，则B．的最大值为9C．若为直角，则的面积为9D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为【答案】BCD【解析】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；对B，的最大值为，B对；对C，为直角，设，则，则有，则的面积为，C对；对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对.故选：BCD2．（2022·高二课时练习）（多选）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（

）A．的最大值为5 B．C．存在点，使 D．的最大值为【答案】BD【解析】对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，，，，故，进而，故C错误，对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD3．（2023·全国·高二专题练习）（多选）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（

）A．B．C．D．【答案】BC【解析】A选项，表示动点到定点和的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A错；B选项，表示动点到定点和的距离等于，即，满足椭圆定义，所以表示焦点在轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B正确；C选项，由可得，整理得显然表示椭圆，故C正确；D选项，由可得，则，显然不表示椭圆，故D错.故选：BC.4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）（多选）为椭圆的两个焦点，过的直线l与椭圆交于A，B两点，则的内切圆半径的r值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由已知可得，，，如图，根据椭圆的定义可得，的周长为，所以.设，，设，，则.由已知可得，直线与轴不重合，，设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可得，.，且，所以，.令，则，当且仅当，即时等号成立，所以，，所以，所以，，所以，，解得.故选：BCD.5．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设关于直线的对称点，由，得．

可知，又知，所以，则为直角，由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，，设，则，在直角三角形中，，解得，从而，所以.故选：D．6．（2023·全国·高三专题练习）设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或2【答案】D【解析】因为为椭圆两个焦点，所以，，则，，因为，则P点位于x轴右侧，则轴或故当轴时，P的横坐标为，其纵坐标为，则，，故；当时，设，，则，由勾股定理可得，即，解得或（舍去），故，综上，的值为或，故选：D7．（2023·江苏淮安）下列命题正确的个数为（

）（1）已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆；（2）已知定点满足，动点满足，则动点的轨迹是一条射线；（3）当时，曲线：表示椭圆；（4）曲线方程的化简结果为.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】对于（1），，此时点的轨迹为线段，故（1）错误；对于（2），，此时点的轨迹为一条射线，故（2）正确；对于（3），当时，曲线：即，表示圆，故（3）错误；对于（4），曲线方程表示点到点、的距离和为，由椭圆定义可知，点的轨迹是以、为焦点且的椭圆，轨迹方程为，故（4）正确；故选：C.8．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点P在C上，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．9（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设的内切圆半径为，则，，，可得.，解得.又因为，所以，即，所以，即，解得（舍去负值），所以.故选：A10．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是.【答案】【解析】由题知，若以为圆心的动圆与两圆均外切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，则，，因，所以此时点的轨迹不是椭圆，不符合题意；若以为圆心的动圆与圆外切，与圆内切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，则，，因，若点的轨迹为椭圆，则，即，且圆与圆不相交，即，综上，若点的轨迹为椭圆，则.故答案为：11．（2023·广东深圳·统考模拟预测）椭圆的左右两焦点分别为，点在椭圆上，正三角形面积为，则椭圆的方程为．【答案】【解析】图所示，边的中点的横坐标为，把代入椭圆方程可得，解得，因为正三角形的面积为，可得，且，即，解得，将，且，代入，可得，解得或，因为，所以，则，所以椭圆的方程为.故答案为