人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》抛物线的定义与性质训练

抛物线的定义与性质强化训练（同学版）

1、（2022•安徽蚌埠三模）设厂为抛物线y2=4χ的焦点，A,B,C为该抛物线上三

点,假设A,B,C三点坐标分别为（1,2）,（汨，%）,S,”）,且两+1两+∣∕

|=10,那么龙ι+%2=（）

A.6B.5C.4D.3

2、（2022•亳州市检测）过点A（3,0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为（）

A.圆B.椭圆

C.直线D.抛物线

3、（2022•哈尔滨期末）过抛物线f=4y的焦点F作直线/交抛物线于PGI,y）,

P2（x2,y2）两点，假设yι+χ=6,那么∣P1P2∣=（）

A.5B.6

C.8D.10

4、（多项选择）（2022・武汉模拟）设抛物线Cy2=2px（p>0）的焦点为E准线为/,

A为C上一点，以E为圆心，IaM为半径的圆交/于B,OZVlBF的面积为9小，

那么（）

A.∣BF∣=3

B.Z∖A3F是等边三角形

产到准线的距离为3

C的方程为V=6χ

5、（2022•济南期末）直线y=x+力交抛物线y=*于A,3两点，。为抛物线顶

点，OALOB,那么匕的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

2

6、（多项选择）（2022•青岛质检）设尸是抛物线C：y=4x的焦点，直线/过点F

且与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点，那么以下结论正确的选项是（）

A.IAB∣≥4

B.∣0A∣+[0B∣>8

P（2,2）,那么|网+∣AF∣的最小值是3

D.∕∖OAB面积的最小值是2

7、抛物线C：9=©的焦点为凡准线为/,P为。上一点，尸。垂直于/且交/

于点。，M,N分别为PQ,PF的中点，MN与X轴相交于点R,假设NNHP=

60°,那么以下结论错误的选项是（）

A.ZFQP=60oB.∖QM∖=∖C.∣FP∣=4D.尸H∣=2

8、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于。,E两点.∣Λ目

=4√2,∣DE∣=2√5,那么C的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4

C.6D.8

9、（2020•高考全国卷］∏）设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2p%S>0）

交于D,E两点，假设OOLOE,那么C的焦点坐标为（）

AQ,O）B.&0）

C.（1,O）D.（2,0）

10>（2022•陕西省咸阳市质检）点M（—3,2）是坐标平面内肯定点，假设抛物线y2

=2x的焦点为凡点Q是该抛物线上的一动点，那么IMQl—IQH的最小值是（）

75

A，2B.3C.zD.2

11、（2022•盐城市阜宁中学离二检测）抛物线C：V=4x的焦点为E点P在抛物

线的准线上，线段PF与抛物线交于点M,那么以下推断正确的选项是（）

A.AOM尸可能是等边三角形

B.AOMF可能是等腰直角三角形

⅛1÷⅛

IPn

D.∣MF∣IPFI=I

12、（2020.全国m卷）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2pxS>0）交于

D,E两点，假设OO_LOE,那么C的焦点坐标为（）

A.g,0）B.g0）C.（l,0）D.（2,0）

13、（多项选择）（2021・烟台调研）产是抛物线C：V=I6x的焦点，M是C上一点,

FTW的延长线交y轴于点N.假设M为RV的中点，那么（）

AC的准线方程为x=-4

B/点的坐标为（0,4）

C.「NI=I2

ONF的面积为16啦（。为坐标原点）

14、设R为抛物线V="的焦点，A,B,C为抛物线上三点，假设r为AABC

的重心，那么南|+|两+1和I的值为（）

A.lB.2C.3

15、设厂为抛物线C：y2=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于A,B

两点，。为坐标原点，那么AOAB的面积为（）

A妪B喳

—4u∙8

l639

Cc-—32Du-4

16、（2021•新高考卷II）假设抛物线γ2=2pxS>0）的焦点到直线y=x+l的距离为

√2,那么p=（）

A.1B.2C.2√2D.4

17、。为坐标原点，MQ,2）,P,Q是抛物线C：.y2=2px上两点，尸为其焦点，

假设F到准线的距离为2,那么以下说法正确的有（）

A.AiPM/周长的最小值为2小

B.假设命="鱼，那么∣PQ∣最小值为2啦

C.假设直线尸。过点F那么直线OP,。。的斜率之积恒为一2

D.假设APO尸外接圆与抛物线C的准线相切，那么该圆面积为学

18、（2021.吉林省吉林市调研）抛物线γ2=4光的焦点E点A（4,3）,P为抛物线上

一点，且尸不在直线AF上，那么△/¾F周长取最小值时，线段PE的长为（）

19、（2021.上海虹口区二模）直线/1：4χ-3y+6=0和直线'X=-1,抛物线y2

=4x上一动点P到直线/,和/2的距离之和的最小值为（）

37π

A--

1-65

B.

D.7

C2-

4

20、（2022.重庆沙坪坝区模拟）抛物线C：V=2px（p>0）的焦点为F,过点（p,0）且垂

直于X轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A,假设IAFl=1,那么抛物线

C的方程为（）

4

A.ʃ2=尹B.yi=2x

C.y2=3xD.y2=4x

21、（2021.安徽蚌埠一中期中）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点

P（m,一3）到焦点的距离为5,那么抛物线方程为（）

A.Λ2=8yB.x1=4y

C.xi=~4yD.X2=-Sy

22、（2021.广西四校联考）抛物线y2=2pxS>0）上横坐标为4的点到此抛物线焦点

的距离为9,那么该抛物线的焦点到准线的距离为（）

A.4B.9

C.10D.18

23、（2021•天津河西区质检）直线y=Z（x+2）（QO）与抛物线C：γ2=8x相交于A、

8两点，尸为C的焦点，假设I阴|=2尸引，那么人=（）

A.IB.芈

C.ID∙¥

24、（2021.湖北荆州模拟）从抛物线√=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线

的垂线,垂足为M,且IPM=9,设抛物线的焦点为F,那么直线PF的斜率为（）

A逮1^2

Zx•7rɪɔ•7

「逑n

LZ•7•7

25、（2022•蚌埠模拟）直线/过抛物线C：y2=2pχS>0）的焦点F（1,0）,且与C交

于A,B两点,那么P=，]⅛+τ⅛7=-

26、点P为抛物线y*2=4尤上的动点，点A(2,l)为平面内定点，F为抛物线焦点，

那么：

(1)∣∕¾∣+∣PH的最小值为；

(2)照|一IPFl的最小值为,最大值为.

27、在平面直角坐标系Xay中，有肯定点A(2,1).假设线段。4的垂直平分线

过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，那么该抛物线的准线方程是.

28、(2022•安徽省宿州市高三调研)抛物线C：y2=4χ的焦点为R过F的直线交

抛物线C于A,8两点，以A/为直径的圆过点(0,2),那么直线AB的斜率为

29、(2022•湖南名校大联考)P为抛物线C：y=x2上一动点，直线/：y=2x-4与

X轴、y轴交于M,N两点，点A(2,—4),且Q=Zu/+〃俞，那么2+〃的最

小值为.

30、(2021.新高考I卷)。为坐标原点，抛物线C:y2=2pχ(p>0)的焦点为RP为

C上一点，尸产与X轴垂直，Q为X轴上一点，且「。1_。旦假设尸。|=6,那么C

的准线方程为.

2

31、(2021•山西高校附中模拟)点Q(2√L0)及抛物线y=,上一动点P(x,y),那

么y+∣PQI的最小值是.

32、(2021.广东茂名五校联考)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Rl,0),过焦点的

直线交抛物线于A、B两点，假设HFI=4∣BF∣,那么HBl=.

33>(2022・龙岩一模)抛物线V=4χ的焦点为巴准线与X轴的交点为A,以A尸

为直径的圆在第一象限交抛物线于点B,那么西•而的值等于.

34、(2022・广州模拟)抛物线物=2Py(P>0)的焦点为尸,准线为/,点P(4,川)在

抛物线上,K为/与y轴的交点,且IPK=啦IPFl,那么加=,P=.

35、设尸是抛物线y2=4x上的一个动点，尸为抛物线的焦点，假设8(3,2),那

么∣PB∣+IPFl的最小值为.

36、(2022•沈阳质量检测)正三角形AoB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线/

=3x±.,那么AAOB的边长是.

37、(2022•北京昌平区模拟)抛物线C：y2=2px过点P(l,1),过点(0,作直线

/与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作X轴的垂线分别与直线OP,ON

交于点A,B,其中。为原点.

(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段的中点.

抛物线的定义与性质强化训练(解析版)

1、(2022•安徽蚌埠三模)设E为抛物线y2=4χ的焦点，A,B,C为该抛物线上三

点，假设A,B,C三点坐标分别为(1,2),(xι,yi),(x2,y2),fi∣M∣+∣FB∣+∣FC

1=10,那么x1+x2=()

A.6B.5C.4D.3

解析：依据抛物线的定义，知I法∣FB∣,但石分别等于点A,B,C到准线X

=-1的距离，所以由I丽1+1丽1+1危∣=10,可得2+尤1+1+及+1=10,即XI

+尤2=6.应选A.

2、(2022•亳州市检测)过点A(3,0)且与〉轴相切的圆的圆心的轨迹为()

A.圆B.椭圆

C.直线D.抛物线

解析：选D.如图，设P为满意条件的一点，不难得出结论：力

点尸到点A的距离照|等于点尸到y轴的距离IPB故点尸在以O

点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线.1∖~Jp)

0∖A~~^yi

3、(2022•哈尔滨期末)过抛物线f=4y的焦点F作直线/交抛物线于Pa1,》)，

P2(x2,”)两点，假设yι+"=6,那么∣P∣P2∣=()

A.5B.6

C.8D.10

解析：x2=4y的准线为y=-1,由于Pl(X1,y∣),P2(x2,”)两点是过抛物线

焦点的直线/与抛物线的交点，所以PI(X1,Jl),P2(X2,>2)两点到准线的距离分

别是y∣+l,y2+l,所以∣P1P2I=)>1+y2+2=8.

4、(多项选择)(2022・武汉模拟)设抛物线CV=2px(p>0)的焦点为凡准线为/,

A为C上一点，以尸为圆心，IaM为半径的圆交/于8,OAABE的面积为9√5,

那么()

A.∣BF∣=3

B∙4A3尸是等边三角形

E到准线的距离为3

C的方程为f=6x

解析：由于IaII为半径的圆交/于8,。两点，所以∣∕¾∣=∣FB∣;又出用=IFDl

=∣M∣,所以NABD=90。，∖FA∖=∖AB∖,可得aABF为等边三角形，B正确；

过产作RCLAB交于C,那么C为AB的中点，C的横坐标为多B的横坐

标为一律所以A的横坐标为当，代入抛物线可得M=3∕AM=W,

∆ABF的面积为9√3,即晟ʌ-XB)IyAI=g∙稼十SΛ⅛=9√5,解得p=3,

所以抛物线的方程为V=6x,D正确;

焦点坐标为G，0),所以焦点到准线的距离为∣X2=3,C正确；

O93

此时点A的横坐标为所以IBFl=IAfl=IABl=]+]=6,A不正确.

5、(2022・济南期末)直线y=x+Z?交抛物线y=*于A,B两点,。为抛物线顶

点，OAlOB,那么人的值为()

A.-1B.0C.1D.2

解析：D设A(XI,yι),B(X2,”)，将y=x+b代入y=%,化简可得％2—

2x—2。=0,故XI+X2=2,用尤2=-2b,所以yim=xi九2+。(Xl+%2)+/=〃.又

OALOB,所以XlX2+y∣y2=O,即一2匕+扇=0,那么8=2或/?=0,经检验ZJ=O

时，不符合题意，故b=2.

2

6、(多项选择)(2022•青岛质检)设尸是抛物线C：γ=4x的焦点，直线/过点「

且与抛物线。交于A,3两点，。为坐标原点，那么以下结论正确的选项是()

A.∣AB∣≥4

B.∣OA∣+∣OB∣>8

PQ,2),那么IRM+1AFl的最小值是3

D.ΛOAB面积的最小值是2

解析：由题意知F(l,0),不妨设A在第一象限，

(1)假设直线/斜率不存在，

那么A(l,2),BQ,-2),

那么IABl=4,∖OA∖+∖OB∖=2∖OA∖=2yβ,SΔ0AB=^×4×1=2,明显B错误；

(2)假设直线/存在斜率，设直线/的斜率为左，

那么直线/的方程为y=A(x—1),明显A≠0,

y=k(x—1),

联立方程组∖，

Iy=4x,

消元得必X2—(2⅛2+4)x+F=0,

设Aa1,y∣),5(X2,72),

场,,23+4,4

用B√kXi+Xi-F=2+/，

4

"

..∖AB∖=x↑+%2÷2=4÷7K2>4,

原点。到直线/的距离d=ɪ,

ΛSΔOAB=∣×∣AB∣×J

=2×(4+S×⅛

=2Vi+⅛›2∙

综上，IABl24,SAoAB2,故A正确，D正确.

过点A向准线作垂线，垂足为N,

那么∣Z¾∣+[AF∣=∣∕¾∣+HM.

又P(2,2)在抛物线右侧，故当P,A,N三点共线时,∣∕¾∣+∣Λf］取得最小值

3,故C正确.应选ACD.

7、抛物线C：V=4χ的焦点为R准线为/,P为C上一点,PQ垂直于/且交/

于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点MN与X轴相交于点R,假设NNRF=

60°,那么以下结论错误的选项是（）

A.NbQP=60。B.IQM=I

C.∖FP∖=4D.∖FR∖=2

解析：选B.如图，连接尸。，FM,由于M,N分别为v,

M

PQ,P尸的中点，所以MN〃尸。，又尸。〃X轴，NNRF=60°,所以NbQP=60°,

由抛物线的定义知，∣P0∣=∣PF∣,所以aFQP为等边三角形，那么FMLPQ,∖QM∖

=2,等边三角形/QP的边长为4,∖FP∖=∖PQ∖=4,∖FN∖=^∖PF]=2,那么AFRN

为等边三角形，所以尸R∣=2.应选B.

8、以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.依引

=4√2,∣DE∣=2√5,那么C的焦点到准线的距离为（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：选B.如图，不妨设抛物线C:y2=2px（p>0）,A（xι,斗

()历［2A

2√2),那么Xl=­ɪ—=-,由题意知IoAl=所以

ZPP

8=（§+5,解得p=4.

9、（2020•高考全国卷]∏）设。为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2p%S>0）

交于D,E两点，假设OOLOE,那么C的焦点坐标为（）

AQ,0,B∙60

C.(1,0)D.(2,0)

解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y=±2∖h不妨设D（2,2g）,

E（2,一2g）,由OOJ_OE,可得用∙无=4-4p=0,解得p=l,所以抛物线C

的方程为y2=2x,其焦点坐标为（；，0）.

10、（2022•陕西省咸阳市质检）点M（—3,2）是坐标平面内肯定点，假设抛物线V

=2x的焦点为E点。是该抛物线上的一动点,那么IMQ—IQE的最小值是（）

75

A，2B.3C，2D.2

1

解析：选C.如图，抛物线的准线方程为X=一不，过点Qιv

作。。垂直准线于点。'，附。|一∣0F∣=∣MQ-∣Q21,明显当°、

MQ//X轴时，∣M0L∣QQ取得最小值，此时IMQIFI=I2+x=~⅛

,15

3|—2÷2=2.

11、(2022•盐城市阜宁中学高二检测)抛物线C：V=4x的焦点为凡点P在抛物

线的准线上，线段尸尸与抛物线交于点M,那么以下推断正确的选项是()

A.AOM/可能是等边三角形

B.aOMF可能是等腰直角三角形

⅛1÷⅛

D∙扁IPF一l俨「I=】

解析：4OMF是等边三角形，那么边长为1,且点M的横坐标为g,纵坐标

为力,此时IoM=、/"+2=∣≠1,所以AOM/7不行能是等边三角形，故A不

正确；

假设AOM/是等腰直角三角形，那么只可能是NOMb

3

=90o,∣0M∣=∣FM∣=2，

所以IoMF+∣FM)2≠IOFI2,故B不正确；

过点M作准线的垂线交准线于点N,那么IW=IMN

\PF]_\PM\+\MF\_,\MF\_IMM_2

∖PM∖~∖PM∖一]+IPM一1十IPM一十IPH'故C正确，D不正确.

12、(2020.全国III卷)设0为坐标原点，直线尤=2与抛物线C：γ2=2px(">0)交于

D,E两点，假设。。，。七，那么C的焦点坐标为()

AG,0)B.g0)C.(l,O)D.(2,0)

解析:将x=2与抛物线方程V=2p左联立，可得y=±2g,不妨设0(2,2g),

E(2,—2g),由。OJ_OE,可得用.无=4—4p=0,解得p=l,所以抛物线C

的方程为γ2=2x.其焦点坐标为0).

13、(多项选择)(2021・烟台调研)产是抛物线C：V=I6x的焦点，M是C上一点，

FTW的延长线交y轴于点N.假设M为RV的中点，那么()

AC的准线方程为X=-4

B/点的坐标为(0,4)

CJ川=12

ONF的面积为16√2(O为坐标原点)

解析：不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线/与X轴交于点尸，作

MBLl于点、B,N4_U于点A.

由抛物线的解析式可得准线方程为X=-4,/点的坐标为(4,0),A正确，

∣AΛ∏+IFFI

B错误.故HM=4,尸尸1=8,在直角梯形ANFP中，中位线IBM=^~ɪ^l=6,

由抛物线的定义有IMFI=IM阴=6,结合题意，有IMNl=IMH=6,

故-Nl=I五M+WM=6+6=12,C正确，而ICwl=∙√I中二不=86，

SOWF=I×8√2×4=16√2,D正确.

14、设R为抛物线V="的焦点，A,B,C为抛物线上三点，假设尸为AABC

的重心，那么国|+|两+1和I的值为()

A.lB.2C.3

解析：依题意，设点A(Xl,yι),B(X2,yι),C(X3,对，

又焦点年，0),所以尤I+X2+X3=3XT=∣,

那么I成|+|两+1及I=(XI+J)+L+])+(X3+J)=(XI÷X2÷X3)+1=^+1=

3.

15、设P为抛物线C：V=3χ的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于A,B

两点，O为坐标原点，那么AOAB的面积为()

63

「--

c-32

解析：由得焦点坐标为需

,0,

因此直线AB的方程为)=3

即4x—44y—3=0.

方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得

4y2—12小y—9=0,

那么％+)出=3小，yAyn=-^^,

故W一刈|=N〔％+冲〕,-4班冲=6.

1]39

x6=

因此S^oAB=^\OF\\yA—>⅛l=2×44,

219

方法二：联立直线方程与抛物线方程得x2-yA-+^=0,

ιz,,21

故XAIXB2.

213

依据抛物线的定义有HBl=XA+XB+P=5^+]=12,

3

同时原点到直线AB的距离为d=-1!!L

√42+〔一4小〕28,

9

因此SZXOAB=d=M

16、（2021•新高考卷∏）假设抛物线y2=2px⑦>0）的焦点到直线y=x+l的距离为

Λ∕2,那么/?=()

A.1B.2C.2√2D.4

2-0+l

解析:修

OL其到直线χ-y+l=O的距离d==y[2,解得P=

√1+1

2（p=-6舍去）.应选B.

17、。为坐标原点，M（2,2）,P,。是抛物线C：V=2pχ上两点，尸为其焦点,

假设F到准线的距离为2,那么以下说法正确的有（）

A.aPMF周长的最小值为2小

B.假设际=/成，那么IPQI最小值为

C.假设直线产。过点F那么直线OP,。。的斜率之积恒为一2

9兀

D.假设户外接圆与抛物线C的准线相切，那么该圆面积为詈

解析：尸到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线C

y2=4x,F（l,O）,∣MF∣=√f2-l]2+[2-0]2=√5,准线

/:x=-l,

对于A,过P作PNJ垂足为N,那么IPH+∣PM=∣PN∣

+∣PMelMNI=2+1=3,

所以APM/周长的最小值为3+小，故A不正确；

对于B,假设际=%和，那么弦PQ过尸，过尸作/的垂J[q/

线，垂足为产，过Q作/的垂线，垂足为2,设PQ的中点为c,H∕√

J

G,过G作GG'_U,垂足为G',那么IPQ=IPn+∣0Fl=IPPlp,∣4∕^

+∣ββ,∣=2∣GG,∣≥2×2=4,即∣PQ∣最小值为4,故B不正确；Z:x=-1|

对于C,假设直线P。过点E设直线P0:x=my+1,

x=my+l

92

联立J9消去X得γ-4/xy—4=0,

l.r=4x,

设P(M,y∣),Q(X2,”)，那么yi+”=4〃z,yi》=-4,

Viv744]6

所以=,x=,=故不正确；

kop∙koQζx∖7Xti~yι>72^——47=-4,C

对于D,由于。b为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为g,

13

由于APO户外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为I+]=,

所以该圆面积为π(∣)2=^π,故D正确.

18、(2021.吉林省吉林市调研)抛物线γ2=4x的焦点片点A(4,3),P为抛物线上

一点，且「不在直线A/上，那么△/¾F周长取最小值时，线段Pb的长为()

A.1B.苧

C.5D.ɪ

解析：求47¾F周长的最小值，即求∣%∣+∣Pf]的最小值，设点P在准线上

的射影为D,依据抛物线的定义，可知IPw=IPr因此，∣∕¾∣+∣PF1的最小值，

即∣∕¾∣+∣PD∣的最小值.依据平面几何学问，可得当D,P,A三点共线时∣∕¾∣+∣PD∣

最小，此时唱，3),且IPFl=I+1=当，应选B.

19、（2021.上海虹口区二模）直线东4χ-3y+6=0和直线/2：X=-1,抛物线y2

=4x上一动点P到直线∕∣和/2的距离之和的最小值为（）

3711

ʌ-16B-T

7

C.2D.4

解析:直线/2：x=—1是抛物线尸=4尤的准线，抛物线V=4χ的焦点为f∏,0）,

那么点P到直线/2：%=-1的距离等于IPF1，过点尸作直线/i:4χ-3y+6=0的

垂线，和抛物线的交点就是点P,所以点P到直线∕κ4x—3y+6=0的距离和到

直线/2：%=-1的距离之和的最小值就是点尸（1,0）到直线∕∣:4χ-3y+6=0的距

离，所以最小值为个天£=2,应选C.

20、（2022.重庆沙坪坝区模拟）抛物线C：y2=2px（Λ>0）的焦点为尸，过点血0）且垂

直于X轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A,假设IAFl=1,那么抛物线

C的方程为（）

A.JT=-JxB.y2=2x

C.y2=3xD.y2=4x

解析：由题意知XA=p,又HFI=无A+?=当=1,.∙.p=∣,二抛物线C的方

4

程为y2=]χ,应选A.

21、（2021∙安徽蚌埠一中期中）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点

P(m,一3)到焦点的距离为5,那么抛物线方程为()

A.x1=8yB.xi=4y

C.X2=-4JD.Λ2=-8J

解析：由题意可知抛物线的焦点在y轴负半轴上，故设其方程为√=-

2py(p>0),所以3+^=5,即p=4,所以所求抛物线方程为x2=—8y，应选D∙

22、(2021•广西四校联考)抛物线j2=2PX(P>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点

的距离为9,那么该抛物线的焦点到准线的距离为()

A.4B.9

C.10D.18

解析：抛物线f=2px的焦点为收，0),准线方程为》=一§由题意可得4+

?=9,解得P=I0,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.应选C.

23、(2021•天津河西区质检)直线y=A(x+2)(Q0)与抛物线C：f=8x相交于A、

3两点，F为C的焦点，假设IRM=2尸身，那么女=()

1√2

A.ɜB.ɜ

22√2

C.ɜD.

解析：设抛物线Cγ2=8*的准线为/：x=-2,直线y=A(九+2)(fc>0)恒过

定点P(-2,0),

如图过A、3分别作AM，/于M,BNll于N,

^1∖FA∖=2∖FB∖,那么IAM=2∣BN∣,

点8为AP的中点、连接。B,

那么IQBl=；HH,

|0BI=IBFl,点5的横坐标为1,

故点8的坐标为（1,2啦），.∙M=卷U=平.

24、（2021•湖北荆州模拟）从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线

的垂线,垂足为M,且IPM=9,设抛物线的焦点为F,那么直线PF的斜率为（）

A谨18√2

ZK•7B.7

芈2√2

cD.7

解析：设P（X0,川），由抛物线y2=4x,

可知其焦点口的坐标为（1,0）,

故IPMl=XO+1=9,解得ΛO=8,

故P点坐标为（8,4啦），

所以M∙=与乎=芈.应选C.

1-o/

25、（2022・蚌埠模拟）直线/过抛物线C：y2=2pχ（p>0）的焦点尸（1,0）,且与C交

，舟矗

于A,B两点，那么p—

解析：由题意知§=1,从而〃=2,

所以抛物线方程为y1=4x.

当直线AB的斜率不存在时，将X=I代入抛物线方程,

解得HFl=IBH=2,从而苏+j⅛=L

当直线4?的斜率存在时，设AB的方程为y=k（x-l）,

y=k〔》一1〕，

联立1

J2=4X,

整理，得必χ2-Qd+4）χ+必=0,

设A(尤1,yι),B(X2,m),

',2公+4

…Xl+x2=-72-，

那么jIC

X∖X2=∖,

从而一L+-L=-^+'

从而IAn+IBFl一汨+1+尤2+1

%1+及+2XI+田+2

了1+x2+%1x2+lXi+及+2*

综上，丽+两=L

二3

为X=-2∙

26、点P为抛物线γ2=4%上的动点，点A(2,l)为平面内定点，尸为抛物线焦点，

那么：

⑴I网+IPFl的最小值为；

⑵照|一|PQ的最小值为，最大值为.

解析：⑴如图①,由抛物线定义可知，IPFl=IPHI,∣M∣+∣PF∣=∣Λ4∣+ra,

从而最小值为A到准线的距离为3.

如图②，当P,A,尸三点共线，且尸在E4延长线上时，|力|一IPn有最小值为

-∣A∕η=-√2.当P,A,尸三点共线，且P在AF延长线上时，∣∕¾∣一∣PF∣有最

大值为IAFI=啦.故∣Z¾∣一∣PF∣最小值为一啦，最大值为啦

27、在平面直角坐标系Xo)，中，有肯定点A(2,1).假设线段。4的垂直平分线

过抛物线V=2pxS>0)的焦点，那么该抛物线的准线方程是.

解析：线段OA的垂直平分线方程是y=-2x+∣,且交X轴于点修，0),该

点为抛物线γ2=2px(p>0)的焦点，故该抛物线的准线方程为A-=

28、(2022•安徽省宿州市高三调研)抛物线C：V=4χ的焦点为R过尸的直线交

抛物线C于A,B两点,以A/为直径的圆过点(0,2),那么直线AB的斜率为

解析：由抛物线C:γ2=4x可得焦点为Rl,0),设A(Xy),

由抛物线的定义可得∣Ab∣=汨+g=χ∣+1,

A-的中点为，n.l,

所以AZ7为直径的圆的方程为(X—咛学)2=(，［),

由于以AF为直径的圆过点(0,2),

所以,一旦S)+(2一雪=(虫»，可得)'ι=4,所以Xi=4,

所以点A(4,4),

4—04

所以直线AB的斜率为;;一r=τ.

29>(2022•湖南名校大联考)P为抛物线C：y=x2上一动点，直线/：y=2χ-4与

X轴、y轴交于M,N两点，点A(2,-4),^AP=∕ΛM+μAN,那么2+〃的最

小值为.

解析：由题意得M(2,0),N(0,-4),设P(x,y),由A>=1W+〃病得(X

-2,y+4)="0,4)+//(-2,O).

n27

2X-

+-十

,y+4x—2X一--2--

所以x—2=〃，九因此FI=-—――一424

-2y+4=42+27

77

>不故2+〃的最小值为

30、(2021.新高考I卷)0为坐标原点，抛物线Cy2=2pχ0>O)的焦点为RP为

。上一点，P尸与X轴垂直，。为X轴上一点，且PQJ_OP.假设尸Q=6,那么C

的准线方程为.

解析：由题意易得∣OF∣=g,IPFl=p,ZOPF=ZPQF,所以tanNOPf=

tan/PQF,所以隘=黑，即1条解得p=3,所以C的准线方程为X=V

法二由题意易得IoH=S∣P7∏=p,∖PF∖1=∖OF∖-∖FQ∖,即PI=V6,解得P

=3或P=O（舍去）,

3

所以C的准线方程为X=一京

31、(2021.山西高校附中模拟)点。(2√Σ0)及抛物线>=看上一动点P(X,y),那

么y+∣PQ∣的最小值是.

解析：抛物线y=Y即f=4y,其焦点坐标为F(0,1),准线方程为yQ的坐标

为(2/，0),所以4Q=4(26)2+12。作准线的垂线交X轴于点。，如下

图.结合抛物线的定义，有γ+∖PQ∖=∣PD∣+∖PQ∖=∖PH∖+∖PQ∖~1=∖PF∖+∖PQ∖-

1产。1=3—1=2,即y+∣P0∣的最小值是2.

32、(2021•广东茂名五校联考)设抛物线γ2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过焦点的

直线交抛物线于A、B两点,假设HFl=4∣3F∣,那么HBl=.

解析：解法一：如图，设抛物线的准线为/,AC±ITC,BD工I于D,BM

_LAC于M,交X轴于N,/交X轴于“，那么尸”|=2,设∣3F∣=”,那么IABI=50,

由ABNFsABMA得

∖FN∖∣AM∣m2~a3

∖BF∖~∖AB∖,1a~5,

525

解得α=1,Λ∖AB∖=~^.

解法二:

∙.∙g=l,.∙.p=2,

不妨设直线AB方程为x=my+l,

A(X1,yι),B(X2,券)，

∖y2=4x

由1I,,得)1—4〃zy—4=0,

x=my+1

・•・6”=-4,又IAFl=4∣3F∣,∙'∙yι=-4y2,

1,从而X2=g,Λ∣BF∣=1+∣=∣,

∣AB∣=5∣BF∣=γ.

33、(2022・龙岩一模)抛物线y2=4χ的焦点为尸，准线与X轴的交点为A,以AF

为直径的圆在第一象限交抛物线于点B,那么或•元的值等于1

解析：设3（X0,泗）.由方程组

y2=4x(X20)

消去y并整理,

.x2+y2=l,

得f+4X—I=O(XN0),解得Xo=—2.

由题意,得Rl,0),A(-l,0),

ΛM=(-2,0),FB=(x0-l