【高考数学】新题汇编：概率（高考真题+模拟新题）

课标理数13.K1卜福建卷］盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，

黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于.

课标理数13.K"∙福建卷］【答案】I

【解析】从盒中随机取出2个球，有Cg种取法；所取出的2个球颜色不同，有CjCj种

取法，则所取出的2个球颜色不同的概率是P=*ClCl=言6=；3.

课标文数19.12,Kl［∙福建卷］某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依

次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率

分布表如下：

X,l,2,3,4,“α,0.2,0.45,6,C(I)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级

系数为5的恰有2件，求a,b,C的值；

(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为即，及，X3,等级系数为5的2件

日用品记为力,>2，现从Xl，X2，X3，>,1>)2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取

出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

课标文数19.12、KlL福建卷］【解答】(1)由频率分布表得。+0.2+0.45+6+c=l,即

α+⅛+c-0.35.

3

因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以。=∣j=0.15.

2

等级系数为5的恰有2件，所以c=5=0.1.

从而α=0.35—b—C=O.1.

所以α=0.1,⅛=O.I5,C=O.1.

(2)从日用品X”X2，%3>yi>>2中任取两件，所有可能的结果为：

｛X1,Xl｝,｛X∣,X3｝>｛X∣>%｝，｛Xl，〉2｝，｛X2，乃｝，｛X2<｝，｛》2，/2**3，丫1｝，｛口，

”｝，｛力，/｝.

设事件A表示“从日用品XI，及，X3,%，丫2中任取两件，其等级系数相等”，则A包

含的基本事件为：

［X∖>X2｝,｛x∣,X3｝，｛及，X3｝,｛yi,y2］>共4个.

又基本事件的总数为10,

4

故所求的概率P(A)=而=0.4.

课标数学5.K1卜江苏卷］从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另

一个数的两倍的概率是.

课标数学5.K1［.江苏卷］I【解析】一次随机抽取两个数共有1,2；1,3；1,4；2,3；2,4；

3,4,一个数是另一个数的2倍的有2种，故所求概率为今

ʌɪθB8

C.∣D.∣

课标文数9.K2卜安徽卷］D【解析】假设正六边形的六个顶点分别为A、B、C、D、

E、F,则从6个顶点中任取4个共有15种基本结果，所取四个点构成矩形四个顶点的结果

数为3,所以概率为去

课标文数16.12,K2］北京卷］以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数,

乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组乙组

990X89

1]0

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为

19的概率.

(注：方差s2=][(χ∣-Xy+(X2—X)2H-------F(X"―X)2],其中X为X],X2，…，X"的平

均数)

课标文数16.12,K2卜北京卷]【解答】⑴当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植

树棵数是：8,8,9,10,

所以平均数为

—8+8+9+1035

X=4=不

方差为

HG节+(8韦可9书+(1。一舒]

-16∙

分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：

(4,81),(Ai,

&),(A∖9&),(4,&),

(Λ2,8]),(42,%),(A2，B3),(A2，&),

(A3,Bi),(43,&),(A3,%)，(A3，B4)，

(A4,Bi),(4,B?),(A4,B3),(A4,&).

用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,

41

它们是：(4,B4),(A2,&),(A3,Bi),(A4,Bi),故所求概率为P(C)=讳=J

课标文数17.12,K2[∙广东卷]

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用心表示编号为〃(〃=1,2,…，6)的

同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号几1,234,5成绩/,70,76,72,70,72⑴求第6位同学的成绩称及这6位同学成绩的

标准差s；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率.

课标文数17.12,K2[・广东卷]【解答】

—16

(I)VX=7O∑n=l,X∏=75,

一5

.∙.X6=6X-∑‰=6×75-70-76-72-70-72=90,

n=1

16——1

22222222

.v=ð∑ι(Jt„—X)=ð(5+1+3÷5+3+15)=49,

：.s=7.

(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}∙

选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种：

{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},

2

故所求概率为I

课标理数4.K2卜课标全国卷]有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,

每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()

1123

ʌ,ɜB，2e.ɜD1

课标理数4.K21课标全国卷]A【解析】甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种,

参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为3;=/1

课标文数19.K2,12卜辽宁卷]某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品

种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成〃小块地，在总

共2〃小块地中，随机选〃小块地种植品种甲，另外〃小块地种植品种乙.

(1)假设〃=2,求第一大块地都种植品种甲的概率；

(2)试验时每大块地分成8小块，即〃=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地

上的每公顷产量(单位：kg∕hπ?)如下表：

品种甲,403,397,390.404,388,400,412,406品种乙,419,403,412,418,408,423,400,413分别求

品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪

一品种？

附：样本数据Xl,X2,…，X"的样本方差s2=%(x∣-X)?+(X2—X)2H--------F(X„—X)2],

其中丁为样本平均数.

课标文数19.K2,12卜辽宁卷]【解答】(1)设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第

二大块地中的两小块地编号为3,4,令事件A="第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).

而事件A包含1个基本事件：(1,2).

所以P(A)=

(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

Tψ=1(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,

O

⅛=∣[32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62]=57.25.

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

—1

XZ.=Q(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,

O

S⅛=∣[72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12]=56.

O

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本

方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

课标文数6.K2卜课标全国卷】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，

每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()

ʌɜB,^

1>3

c∙3D4

课标文数6.K21课标全国卷]A【解析】甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，

31

参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组的概率为

课标文数18.K2[∙山东卷]甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙

校1男2女.

(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名

教师性别相同的概率；

(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自

同一学校的概率.

课标文数18∙K2［∙山东卷］【解答】(1)甲校两名男教师分别用4、8表示，女教师用C

表示；乙校男教师用。表示，两名女教师分别用E、F表示.

从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：

(A,O),(A,£),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共9种.

从中选出两名教师性别相同的结果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,E)共4种.

选出的两名教师性别相同的概率为尸=今

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：

(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,

O),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.

从中选出两名教师来自同一学校的结果有：

(A,B),(A,Ch(B,C),(£>,E),(D,F),(E,F)共6种，

选出的两名教师来自同一学校的概率为P=⅛=∣.

课标理数10.K2∣∙陕西卷］甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地

从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景

点的概率是()

A⅛B9C⅛DI

课标理数10∙K2［∙陕西卷］D【解析】对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个景点，

最后一个景点的选法有CAXa=36(种)，若两个人最后选同一个景点共有C⅛=6(种)选法，

所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P=以黑ɪ=/

大纲文数12.K2［∙四川卷1在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一个偶数”和一个奇数6构成以原点

为起点的向量α=(α,Z?).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行

四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n,其中面积等于2的平行四边形的个数为m,

则%

)

ʌɪB5C⅛D∙3

大纲文数12∙K2［∙四川卷］B【解析】因为当∂?=(α∣,㈤，曲=("，仇)，则以5>，

<⅞为邻边的平行四边形的面积S=Id>||的ISinZPOQ=∖OP∖∖OQ∣∙√I-Cos2ZPOQ=

“55%而产一(次.丽)2=、(鬲+6S计磅一m6+M2)2=∣α也一MV.根据条件知平行四

边形面积等于2可转化为Mb2—s历l=2(X).由条件知,满足条件的向量有6个,即幻=(2,1),

02=(2,3),“3=(2,5),α√=(4,7),为=(4,3),qj=(4,5),易知九=C⅛=15.而满足你)式的意向

I

量α∣和04、ɑɪ和悠、。2和46共3个，即G=亍

大纲理数12.K2∣∙四川卷］在集合｛1,2,3,4,5｝中任取一个偶数”和一个奇数方构成以原点

为起点的向量α=(α,b),从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行

四边形.记所有作成的平行四边形的个数为〃,其中面积不超过4的平行四边形的个数为m,

则£=()

ʌɪβ∙3CIDI

大纲理数12∙K2［∙四川卷］B【解析】因为当OP=(α∣,㈤，OQ=Si,bi),则以0尸,

而为邻边的四边形的面积S=∖OP^OQ∣sinZPOQ^∖OP∖∖OQ∖-√1-cos2ZPOQ=

^j∣∂p∣2∣∂β∣2-(OP∙∂β)2=y∣(ar+c^)(b∖+bi)-(aιb↑+a2b2)2=∣α也一”2611.根据条件知平行四

边形面积不超过4可转化为侬历一sRW4(X).由条件知，满足条件的向量有6个，即勾

=(2,7),a.2=(2,3),ɑj=(2,5),a√=(4,/),as=(4,3),c⅛=(4,5),易知"=C看=15.而满足你)

ιγι1

式的有向量幻和"2、幻和14、幻和⑥、M和久八。2和"6共5个，即

课标理数16.K2,K6［∙天津卷］学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个

白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球.这些球除颜色外完全相同.每次游戏

从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后

将球放回原箱)

(1)求在1次游戏中，

⑴摸出3个白球的概率；

(ii)获奖的概率；

(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).

课标理数16.K2,K6［∙天津卷］【解答】⑴⑴设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件

AG=O,1,2,3),则P(A3)=|送=/

(ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B=4UA3,又尸(A2)=方哥詈鲁4,

一117

且42，4互斥，所以P(B)=P(Az)+P(A3)=5+5=记.

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=OW2=需，

P(X=I)=C⅛(L∙⅛)=∣⅛,

P(X=2)=阖2=盖.

所以X的分布列是

O2149Q21497

x-o,1,2p,7oδ,5θ,Ioδx的数字期望x5o+2xwo=5∙

课标文数15.K2卜天津卷］编号分别为4,A2,∙∙∙,A∣6的16名篮球运动员在某次训练

比赛中的得分记录如下：

运动员编号4,4,ASAAAAA得分,15,35,21,28,25,36/8,34

运动员编号,A%Aio,A11,4⑵A13,A14,45,A∣6

得分,17,26,25,33,22,12,31,38(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：

区间,［10,20),［20,30),［30,40］人数(2)从得分在区间［20,30)内的运动员中随机抽取2人，

①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；

②求这2人得分之和大于50的概率.

课标文数15.K2［∙天津卷］【解答】(1)4,6,6.

(2)①得分在区间［20,30)内的运动员编号为A3,A4,4,A10-An，A13,从中随机抽取2

人，所有可能的抽取结果有：{4，A4},{A3,4},{4，Aιo}.{Λ3,A∏},{A3,AI3),{A4,

A5}，{4，A∣o},{A4,A”}，{4，Ais},{A5>A10}，{4，A”}，{4，Al3}，{Aιo>A∣ι},{Aιo>

A13},{4u,A13},共15种.

②''从得分在区间［20,30）内的运动员中随机抽取2人，这2个得分之和大于50”（记为

事件B）的所有可能结果有：{4,A5］,{A4,A10},{A4,Au},{4,AM，{4o,A↑↑},共5

种.

所以P（B）=卷=/.

课标理数9.K2卜浙江卷］有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，

若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）

1234

A.§B.§CqD.g

课标理数9.K2卜浙江卷］B【解析】由古典概型的概率公式得P=I—也吟产药

课标文数8.K21浙江卷］从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个

球中至少有1个白球的概率是（）

1c3-9

A∙1OB1OC∙5DIO

课标文数8∙K2卜浙江卷］D【解析】由古典概型的概率公式得P=IT=得.

大纲文数14.K2卜重庆卷］从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3

位中有甲但没有乙的概率为.

7

大纲文数14.K2卜重庆卷］A【解析】从10位同学中选3位的选法有C而种，其中有

甲无乙的选法有Cs种，故所求的概率为恁=

课标理数4.K3卜福建卷］如图1-1,矩形ABC。中，点E为边CO的中点.若在矩形

A8C。内部随机取一个点Q,则点。取自BE内部的概率等于()

D.----------其-----,C

图1一1

课标理数4.K3［福建卷］C【解析】因为SMBE=;IABMBeI，S^i=∖AB∖-∖BC∖,

则点。取自AABE内部的概率P=管=；，故选C.

课标文数7.K3卜福建卷］如图1-2,矩形ABC。中，点E为边C。的中点，若在矩形

A8CD内部随机取一个点Q,则点。取自AABE内部的概率等于()

图1一2

课标文数TK3［2011∙福建卷］C【解析】因为S板=扣划IBcl,S=∖AB∖∙∖BC∖,

则点。取自△>!即部的概率P=故选C.

图1―5~

课标理数15.K3［2(H1∙湖南卷］如图1-5,E尸GH是以。为圆心、半径为1的圆的内接正

方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用力表示事件“豆子落在正方形即'G讷”，B表示

事件“豆子落在扇形。幽阴影部分)内”，贝卜

(DR⑷=；⑵R耶尸______*

2

课标理数15.K31湖南卷］⑴W(2)1【解析】(1)5∣sι=π,SI∣⅛Λ>=(√2)=2,根据几何概

型的求法有：P(A)=用二

〉圆兀

11S,•21

(2)由NEO∕7=90°,SAEOH=WSiE方彩=］，故尸(为4)=<「""'=菱=疝

课标文数15.H4,K3卜湖南卷］已知圆C：f+y2=12,直线/：4x+3y=25.

(1)圆C的圆心到直线/的距离为；

(2)圆C上任意一点A到直线I的距离小于2的概率为.

课标文数15.H4,K3卜湖南卷］(1)5(2)1

【解析】(1)圆心到直线的距周为：(/=^^+[2=5

图1—4

(2)当圆C上的点到直线/的距离是2时有两个点为点B与点D,设过这两点的直线方

程为4x+3y+c=0,同时可得到的圆心到直线4x+3y+C=O的距离为OC=3,

又圆的半径为r=2√5,可得/800=60。，由图1—2可知点A在弧衣上移动，弧长

-----1c1bd1

IBD=qXc=q,圆周长c,故P(A)=~^—=不.

课标理数12.K31江西卷]小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆

内投掷一点，若此点到圆心的距离大于今则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于：，则

去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为_______.

果杨堤数12K3[2(m∙江西卷]【答案】H

由电

图1—5+1

【解析】设4=｛小波周末去看电影｝，B=｛小波周末去打篮球｝，小波周末在家

看书｝,D=｛小波周末不在家看书｝,如图1―5所示，则R功=I-RCɔ=1

13

I?

大纲理数18.K4,K6卜全国卷］根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,

购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望.

大纲理数18.K4,K6卜全国卷］【解答】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保

险；

8表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

。表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)P(A)=O.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D=^C,P(D)=I一产(C)=I-0.8=0.2,

X-B(100,0.2),即X服从二项分布，

所以期望EX=IooXo.2=20.

大纲文数19.K4,K5［∙全国卷］根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,

购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

大纲文数19.K4,K51全国卷］【解答】记4表示事件：该地的1位车主购买甲种保

险；

B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

。表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)P(A)=O.5,P(B)=O.3,C=A-∖-B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.

(2)D=~C,P(Z))=I一尸(C)=I-0.8=0.2,

P(E)=Ci×0.2×0.82=0.384.

课标理数18.K4,K6卜湖南卷］某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件),0,1,2,3频数,1,5,9,5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),

设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天

进货补充至3件，否则不进典将频率视为概率.

⑴求当天商店不涉货的概纂

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.

课标理数18.K4,K6卜湖南卷］【解答】(1)P(“当天商店不进货”)=P("当天商品销

售量为0件”)十尸(“当天商品销售量为1件”)

=-1-+,-5-=-3-

20^20W

(2)由题意知，X的可能取值为2,3.

P(X=2)=P("当天商品销售量为1件")=H；

P(X=3)=P("当天商品销售量为0件")+P(“当天商品销售量为2件")+P(“当天商

品销售量为3件")=今1+9券+a5=*3

故X的分布列为

1ɜ1311

X,2,3"jX的数学期望为EX=2Xχ+3><］=不

课标文数18.12,K4卜湖南卷］某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量K单

位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X=70时，Y

=460；X每增加10,y增加5.已知近20年X的值为：

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

142

降雨量,70,110,140,160,200,220频率,而,,而,,,而(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六

月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于

490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

课标文数18.12,K4卜湖南卷］【解答】(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，

为160毫米的有7个，为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为

134732

降雨量,70,110,140,160,200,220频率,而赤刀,而,市西⑵尸(“发电量低于490万千瓦时或

超过530万千瓦时”)

=P(Y<490或Y>53O)=P(X<13O或X>210)

=P(X=70)+P(X=I10)+P(X=220)

1,3,23

=2δ+2δ+2δ=lo∙

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率

*3

⅛∙

课标文数16.K4卜江西卷］某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司

准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为4饮料，另外2杯为B

饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，

则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料

没有鉴别能力.

(1)求此人被评为优秀的概率；

(2)求此人被评为良好及以上的概率.

课标文数16.K%∙江西卷］【解答】将5杯饮料编号为：1,2,345,编号1,2,3表示A饮

料,编号4,5表示B饮料,则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123),(124),(125),

(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),可见,共有10种.

令。表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，尸表示此人被评为良

好及以上的事件，则

⑴P(Q)==

37

(2)P(E)=,,P(E)=P(E>)+P(E)=

课标理数20.K4,K6［∙陕西卷］

图1—12

如图1—12,A地到火车站共有两条路径小和小，据统计，通过两条路径所用的时间互

不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间(分钟),10〜20,20〜30,30〜40,40〜50,50〜60Zd的频率,0.1,0.2,0.3,0.2,0.2^2的频

率,0,0.1,0.4,0.4,0.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，

求X的分布列和数学期望.

课标理数20.K4,K6[∙陕西卷]【解答】(1)4表示事件“甲选择路径却时，40分钟内

赶到火车站”，

Bi表示事件“乙选择路径L•时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2.

用频率估计相应的概率可得

P(Al)=O.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=O.1+0.4=0.5,

∙.∙P(Aι)>P(A2),二甲应选择％;

P(BD=O.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=OJ+0.4+0.4=0.9,

VP(B2)>P(Bi),：.乙应选择L2.

(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，

由(1)知P(A)=O.6,P(B)=O.9,又由题意知，A,B独立，

.∙.P(X=0)=P(7^~B)=P(T)P(^β)=0.4X0.1=0.04,

P(X=I)=P(了B+AB)=P(N)P(B)+P(A)P("β)

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6X0.9=0.54.

.∙.x的分布列为

X,0,1,2^0.04,0.42,0.54.,.EX=OX0.04+IX0.42+2X0.54=1.5.

课标文数2O.K1[∙陕西卷]如图1—13,A地到火车站共有两条路径心和匕，现随机抽

取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

所用时间(分钟),10〜20,20〜30,30〜40,40〜50,50〜60选择L∖的人数,6,12,18,12,12选择

心的人数,0,4,16,16,4

图1—13

⑴试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径Li和心所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允

许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

课标文数2().K1[∙陕西卷]【解答】(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶

到火车站的有12+12+16+4=44人，

用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择办的有60人，选择立的有40人，故由调查结果得频率为：

所用时间(分钟),10〜20,20〜30,30〜40,40〜50,50〜60Zd的频率,0.1,02030.2,0.2反的频

率,0,0.1,040.4,0.1(3)4、Az分别表示甲选择LI和二时，在40分钟内赶到火车站；

Bi,昆分别表示乙选择心和乙2时，在50分钟内赶到火车站.

由(2)知P(AD=O.1+0.2+0.3=0.6,

P(A2)=O.1+0.4=0.5,

P(AI)>P(A2),

.∙.甲应选择LL

P(S)=O.1+0.2+0.3+0.2=0.8.

P(B2)=O.1+0.4+0.4=0.9,

P(B2)>P(Bt).

：.乙应选择L2.

大纲文数19.K4,K5卜全国卷］根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,

购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.

8表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

。表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.

⑴尸(A)=O.5,P(B)=0.3,C=4+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(8)=0.8.

(2)D=^C,P(D)=1-P(Q=I-0.8=0.2,

P(E)=CgX0.2X0.82=0.384.

课标理数12.K5卜湖北卷］在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任

取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)

课标理数12.K5［∙湖北卷］言【解析】所取2瓶全没有过保质期的概率为晋,

所以至少取到1瓶已过保质期的概率为1—裴=慧.

课标文数13.K5卜湖北卷］在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任

取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为_______.(结果用最简分数表不)

课标文数13.K5卜湖北卷］能【解析】所取2瓶全没有过保质期的概率为忌=畜,

所以至少取到1瓶已过保质期的概率为1—祟=条.

大纲理数18.K5、K6［∙四川卷］本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越

多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分

每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车

骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为上ɪ:两小时以上且不超过

三小时还车的概率分别为去ɪ;两人租车时间都不会超过四小时.

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量&求。的分布列及数学期望Et

大纲理数18.K5、K6［∙四川卷］【解答】⑴由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过

四小时还车的概率分别为方ɪ

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则

P<A>=4×2+2×4+4×4=⅛

答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为微.

(2—可能取的值有0,2,4,6,8,

P(<?=0)=∣×∣=∣;

p^=2)=l×4+2×2=⅛

p(<=4)=2×4+4×2+4×4=⅛

p(^=6)=∣×∣+∣×∣=⅛;

P(ς=8)=∣×∣=⅛.

甲、乙两人所付的租车费用之和。的分布列为

15531I5S317

'°，2,4,6,820行,正,京,正所以“<=°**+2义京+4><言+6><言+8*正=亍

大纲理数13.K5卜重庆卷］将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现

的次数多的概率为.

大纲理数13.K5卜重庆卷］聂【解析】将一枚均匀的硬币投掷6次，可视作6次独立

重复试验.

正面出现的次数比反面出现的次数多的情况就是出现了4次、5次、6次正面，所以所

求概率为品®G)2+cQX∣)+C(I)6=技

课标理数20.K6,K7卜安徽卷］

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个

人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派

下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p∣,pi,

P3,假设0，P2,P3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

(1)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个

人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为切，仇，幻，其中印，

仇，衣是P"P2,P3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)破；

(3)假定1>P1>P2>P3,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的

均值(数学期望)达到最小.

课标理数20.K6,K7［∙安徽卷］【解析】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散

型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括

能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识.

【解答】(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(l-p∣)(l-P2)(l

—曲)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于

1-(1一0)(1-〃2)(1-P3)=P1+p2+p3-piP2-P2P3-P30+p0P3∙

(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为夕1，仇，铅时，随机变量X的分布

列为

X,1,2,3∕⅛］,(1一3)仇,(1-qD(l一伙)所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是

EX=切+2(1一夕］)仇+3(1一切)(1一伙)

=3-2^1­⅛2÷^l√2.

(3)(方法一)由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

EX=3~2p∖~p2+p∖p2.

根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

下面证明：对于Pl，P2,P3的任意排列切，伙，夕3，都有

3—24|一饮+夕闻223—2pi-P2+0P2，(*)

事实上，

/=(3-2/一伙+夕同2)—(3-2pi-p2+p∣p2)

=2(pi-印)+3—仇)一〃1〃2+410

=2(PLql)+(p2-q2)~~(PLql)P2-qi(P2-q2)

=(2-p2)(p∣-^ι)+(l-^ι)φ2-<72)

2(1一团)［(pι+"2)一(切+伙)］

≥0.

即(*)成立.

(方法二)⑴可将⑵中所求的EX改写为3—(切+伙)+542一如若交换前两人的派出顺序,

则变为3—(q1+q2)+q∣42^-伙，由此可见，当42>qι时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

(ii)也可将(2)中所求的EX改写为3—2S—(1一夕|)仇，若交换后两人的派出顺序，则变为

2>-2q∖-[∖-q∖)qi,由此可见，若保持第一个派出加人选不变，当外›42时，交换后两人的

派出顺序也可减小均值.

综合(i)(ii)可知，当(s，/，公)=(/力，P2,pa)时，EX达到最小，即完成任务概率大的人

优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

课标理数17.12,K6,K8[∙北京卷]以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵

数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.

甲组,,乙组9,9,0,X,8,9

1,1,1,0图1一8

(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

(2)如果X=9,分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数y

的分布列和数学期望.

(注：方差s2=%(χ∣-Xy+(X2—X)2H------F(χ,,-X)2],其中X为X1，X2，…，X"的平

均数)

课标理数17.12,K6,K8[∙北京卷]【解答】(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学

__Q-LQ-I-Q-I-inas

的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为G=-ζ-=y；

方差为$21(8—引2+(8—引2+(9—引2+

0θ-y)2]=⅛

(2)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11：乙组同学的植树棵

数是:9,8,9,10.

分别从甲、乙两组中随机选取1名同学，共有4X4=16种可能的结果，这两名同学植

树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.

事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以

21

该事件有2种可能的结果，因此P(Y=I7)=∙⅛=[

IO0

同理可得p(y=i8)=；；p(y=19)=1：

P(y=20)=∣;P(K=21)=∣.

40

所以随机变量丫的分布列为：

K17,18,19,20,21⅛,∣,∣,7⅛y=17×P(y=17)+18×P(y=18)+19×P(y=19)+20×P(y

0M-440

=20)+21XP(Y=21)

=17×∣+18×∣+19×∣+20×∣+21×∣

O444÷0

=19.

大纲理数18.K4,K6[∙全国卷]根据以往统计资料,某地车主购买甲种,保险的概率为0.5,

购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望.

大纲理数18.K4,K6卜全国卷]【解答】记4表示事件：该地的1位车主购买甲种保

险；

3表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;

C表示事件：该