第04讲 空间向量及其运算（七大题型）（解析版）

第04讲空间向量及其运算【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1、空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2、利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2、利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【典型例题】题型一：空间向量的有关概念及线性运算【例1】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（

）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.【变式1-1】（2024·新疆·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，互为相反向量，则C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，【答案】D【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误；对于B,若，互为相反向量，则，故B错误；对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；对于D，四边形ABCD中，，故D正确.故选：D【变式1-2】（2024·云南文山·高二校考阶段练习）如图所示，在四面体中，，，，点在上，且，为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以,故选：B【变式1-3】（2024·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，在三棱柱中，，，依题意，故选：A.题型二：共线向量定理的应用【例2】（2024·全国·高二专题练习）设是不共线的向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则实数k为．【答案】【解析】由，，得，由A，B，D三点共线，得，而，因此，解得，所以实数k为.故答案为：【变式2-1】（2024·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.

(1)请用表示；(2)求证：三点共线.【解析】（1）．（2）；则，又有公共起点，，，三点共线．【变式2-2】（2024·高二课时练习）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.【解析】设的中点为，连接GB，GD，，，，因为G为的重心，所以，所以，所以，即三点共线.【变式2-3】（2024·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【解析】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.题型三：共面向量及应用【例3】（2024·云南玉溪·高二统考期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以.故选:C．【变式3-1】（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，得，于是，由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.故选：C【变式3-2】（2024·山东菏泽·高二菏泽一中校考阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，对于A，由，得，点不共面，A不是；对于B，由，得，点不共面，B不是；对于C，由，得，点不共面，C不是；对于D，由，得，点共面，D是.故选：D题型四：空间向量的数量积【例4】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算：(1)；(2)；(3).【解析】（1）如图，设，，，则，，，..（2）.（3）.【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．(1)试用基底表示向量，，；(2)求和的值．【解析】（1）因为，分别是，的中点，所以，，，又，所以，则.（2）因为，，，，，所以，又，所以.【变式4-2】（2024·山东济宁·高二统考期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.(1)试用向量表示向量；(2)若，求的值.【解析】（1）因为，所以，所以，因为点E为的中点，所以.（2）因为，，所以=【变式4-3】（2024·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中）已知在正三棱锥P－ABC中，点M，N分别是线段AB，PC的中点，记，，.

(1)分别用，，来表示向量，；(2)若，，是两两垂直的单位向量，求向量与的数量积.【解析】（1）由题意可知，；（2）由（1）可知，若，，是两两垂直的单位向量，则，所以.题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角【例5】（2024·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若，

(1)用表示；(2)求；(3)求此平行六面体的体积.【解析】（1）在中，.（2）...（3），到底面的距离，所以平行六面体的体积.【变式5-1】（2024·四川绵阳·高二统考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.求：

(1)的长；(2)直线与所成角的余弦值.【解析】（1）因为,所以.（2）,,,,所以,因为直线与所成角，所以直线与所成角的余弦值为.【变式5-2】（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．

(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值．【解析】（1）由题意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的长为，（2）∵，∴，∴，，∴，即与夹角的余弦值为．【变式5-3】（2024·浙江·高二萧山二中校联考期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，设．(1)用向量表示，并求；(2)求直线与所成角的余弦值．【解析】（1）作出平行六面体，如图，因为，又底面是正方形，，，所以，所以.（2）因为，所以，又，设直线与所成角为，所以，即直线与所成角的余弦值为.题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度【例6】（2024·浙江湖州·高二湖州中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设.

(1)试用表示向量；(2)若，求的长.【解析】（1），又，，，∴．（2）因为，．，．，，，．【变式6-1】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点．(1)用空间的一组基表示，；(2)求，的值．【解析】（1）由题意可得：，.（2）由题意可得：，因为，.【变式6-2】（2024·福建福州·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于60°，是的中点，设，，.(1)用基底表示向量；(2)求的长.【解析】（1）由题意得;（2）由已知，得，，，,，,所以,所以的长为.【变式6-3】（2024·四川成都·高二统考期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．

(1)用向量，，表示向量；(2)求的长．【解析】（1）因为点为的中点，所以，所以；（2）因为点在线段上且，所以，所以，所以，因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面所以，，，则，，．【变式6-4】（2024·广东中山·高二中山市华侨中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，．用向量法解下列问题：(1)求长度；(2)求证：；(3)若点M，N分别在直线和上运动，当且时（MN为公垂线段，这样的MN只有一条），求MN的长度．【解析】（1）设，，，，（2）∵，，∴，∴.（3）由（2）得，∵∴，∴MN的长度即为在上的投影向量的模，∴.题型七：利用空间向量的数量积证垂直【例7】（2024·吉林长春·高二统考期中）已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．【解析】设，由题意得，，，因为，所以，又，所以，所以.【变式7-1】（2024·山西太原·高二统考期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．

(1)用向量表示向量；(2)利用向量法证明：．【解析】（1）连接，则（2），所以，所以.【变式7-2】（2024·广东广州·高二广州市第六十五中学校考期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为与的交点．若．

(1)求；(2)求证：直线平面．【解析】（1）由题意得，，所以，，，所以.（2），，，因为，，所以，，因为，平面，所以平面.【过关测试】一、单选题1．（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，得，于是，由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.故选：C2．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】连接，.故选：A.3．（2024·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故，，，.故选：A4．（2024·上海·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（

）A．若共面，那么中至少存在一对向量共线B．若共面，那么存在一组实数对，使得C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面【答案】B【解析】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题；B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题；C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题；D：如下图所示：若，显然异面，所以本选项命题是假命题，故选：B5．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，如下图所示，因为，，所以，所以．故选：A.6．（2024·全国·高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（）A．不共面 B．不一定共面C．无法判断是否共面 D．共面【答案】D【解析】对于空间任意一点和不共线三点、、，若点满足：，且，则、、、四点共面.而，其中，所以四点共面.故选：D7．（2024·山东威海·高二校考阶段练习）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（

）A． B．1 C．3 D．7【答案】A【解析】将正四面体放在正方体中，如图，因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为，所以，因为是棱中点，所以，又，所以.故选：A.二、多选题8．（2024·河南濮阳·高二范县第一中学校考阶段练习）下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=B．“”是“共线”的充要条件C．若共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面【答案】BCD【解析】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，错误；对C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．故选：BCD．9．（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）在平行六面体中，，则（

）A．为棱的中点 B．为棱上更靠近的三等分点C． D．平面【答案】ABD【解析】因为，所以，则为棱的中点，A正确.因为，所以，则为棱上更靠近的三等分点，B正确.因为为棱的中点，为棱上更靠近的三等分点，易得，C错误.因为平面平面平面，所以平面，D正确.故选：ABD.10．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】空间四边形中，，，点是线段的中点，，，所以选项D正确；对于选项A，，所以选项A错误；对于选项B，，所以选项B错误；对于选项C，，所以选项C正确，故选：CD.11．（2024·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）在正方体中，下列结论中正确的是（

）A．四边形的面积为 B．与的夹角为C． D．【答案】AC【解析】A选项：由正方体可知平面，所以，所以四边形为矩形，，A选项正确；B选项：由正方体可知，所以与的夹角即为与的夹角，又，所以，所以与的夹角为，B选项错误；C选项：由设正方体的棱长为，则，，所以成立，C选项正确；D选项：由