平方差公式的应用和几何背景（解析版）-2023学年七年级数学下册压轴题汇编（湘教版）

2022-2023学年湘教版七年级数学下册精选压轴题培优卷

专题10平方差公式的应用和几何背景

阅卷人

、选择题(共10题；每题2分，共20分)

得分

1.(2分)(2023八上∙华荽期末)如图1,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形

[a>b),把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形面积，可以验

证的乘法公式是()

图1图2

A.(α-b)^=cr-2ab+b^B.(α+⅛)^=a2+2ab+b^

C.a^a+b')=a2+abD.(α+^)(<2-Z?)=a2-b2

【答案】D

【规范解答】解：图1的阴影部分面积为〃一〃，图2的阴影部分面积为:(24+28)(α-3-

卜[+b)(a—b),即(α+—∕?)=cι~-h~.

故答案为：D.

【思路点拨】用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出图1中阴影部分的面积，利用梯形的面积计算

公式表示出图2的面积，进而根据两个图形的面积相等即可得出答案.

2.(2分)(2023八上∙扶沟期末)如图中能够用图中己有图形的面积说明的等式是()

A.%(%+4)-X2+4xB.(x+2)(X-2)=f—4

C.(x+2)2=X2+4Λ+4D.(X+4)(Λ-4)=X2-16

【答案】B

【规范解答】解：如图，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等,

S①+S②=(X+2)(x—2),

S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=x^-4,

.,.(x+2)(x-2)=X2-4,

故答案为：B.

【思路点拨】对图形进行标注，长方形②与③的面积相等，正方形④和⑤的面积相等，则S①+S②

=(x+2)(χ-2),S①+S③=(S①+S③+S④)-S④=χ2-4,据此可得等式.

3.(2分)(2022七上•中山期末)如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后

将剩余部分剪后拼成一个长方形，则这个长方形的周长为()

a

A.2(α+0)B.2a+bC.44D.2(a-b)

【答案】C

【规范解答】解：如图可知，拼接后的长方形的长为(α+b),宽为(a—b),

:•这个长方形的周长=2[(α+b)+(a-8)]=4α,

故答案为：C.

【思路点拨】先求出拼接后的长方形的长和宽，再利用长方形的周长公式计算即可.

4.（2分）（2022八上•太原月考）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图

甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

21

A.+=cr+2ab+bB.(<7-ZJ)^=cΓ-2ab+b

C.a2—kr-^a+b^^a-b^D.^a+2h^a-b^=a^+ab-2b2

【答案】C

【规范解答】解：图甲阴影部分的面积为合一尸，图乙中阴影部分的面积等于（α+3（α-6）

---两个图形中阴影部分的面积相等，

a2-b2=(α+b)(α")

故答案为：C.

【思路点拨】利用不同的表达式表示阴影部分的面积即可得到答案。

5.(2分)(2022八上∙无为月考)计算：^a×10012-ɪ0×9992=()

22

A.5000aB.1999aC.10001aD.10000a

【答案】D

5,5,

【规范解答】解：-a×10012--a×9992

22

=jq×(10012-9992)

=∣a×(1001-999)(1001+999)

=*αx2x2000

2

=1OoooQ，

故答案为：D.

【思路点拨】将代数式^axlOOr-9αχ9992变形为9αχ(100F-9992),再利用平方差公式计算即

222

可。

6.(2分)(2022八上•乐山期中)下列能用平方差公式计算的是()

A.(-x+y)(x+y)B.(-x+γ)(x-γ)

C.(X+2)(2+x)D.(2x+3)(3x-2)

【答案】Λ

【规范解答】解：A、(-χ+y)(x+y),能用平方差公式计算，故A符合题意；

B、(-χ+y)(χ-y)≈-(χ-y)2,不能用平方差公式，故B不符合题意；

C、(x+2)(2+x)=(x+2)2,不能用平方差公式，故C不符合题意；

D、(2x+3)(3χ-2),不能用平方差公式，故D不符合题意；

故答案为：A

【思路点拨】利用平方差公式的结构特点：(a+b)(a-b)=a2-b2,再对各选项逐一判断.

7.(2分)(2022七下•长兴期末)如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大

正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16,则

标号为②的正方形的面积是()

③①

②

(D

③

A.16B.14C.12D.10

【答案】C

【规范解答】解：设正方形①的边长为a,正方形②的边长为b,

♦,♦长方形③的长=a+b,宽=a-b,

:长方形③的面积为16,

：.(a+b)(a-b)=16,

Λa2-b2=16(1)

：大长方形的长=2a+b,大长方形的宽=2a-b,

•••大长方形的面积为100,

.,.(2a+b)(2a-b)=100,

Λ4a2-b2=100(2)

由(2)-(1)×4,得：3b2=36,

/.b2=12,

.∙.正方形②的面积=b-12.

故答案为：C.

【思路点拨】设正方形①边长为a,正方形②边长为b,表示出长方形③长=a+b,宽=a-b,由长方形③面

积为16,可得(a+b)(a-b)=16,整理得aM√=16(1)；大长方形长=2a+b,大长方形宽=2a-b,由大长方

形面积为100,可得(2a+b)(2a-b)=100,整理得4/4√=100(2),再由(2)-(1)×4,得3b'=36,解

得b'=12,即可正方形②的面积.

8.(2分)(2022七下•电白月考)式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(2∣°∣°+1)+1化简的结果为

()

A.21010B.2l0'0+lC.22020D.22020+l

【答案】C

【规范解答】解：设S=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)∙∙∙(2IO'O+1)+1,

.∙.(2-1)S=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)∙∙∙(2'OIO+1)+1

ΛS=(22-1)(22+1)(24+1)(28+l)∙∙∙(2'01°+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)∙∙∙(2I0'0+1)+1

=(2'010-l)(2l010+l)+l

=22020-l+l，

二2∑020

故答案为：C.

【思路点拨】将代数式(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(21010+1)+1变形为(2T)

(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)∙∙∙(2'010+l)+l,再利用平方差公式计算即可。

9.(2分)(2021七下•北仑期中)如图有两张正方形纸片1和8,图1将6放置在4内部，测得阴影部分

面积为2,图2将正方形1B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20,若将3个正方形1和2

个正方形8并列放置后构造新正方形如图3,（图2,图3中正方形/8纸片均无重叠部分）则图3阴影部

分面积（）

图1图2图3

A.22B.24C.42D.44

【答案】C

【规范解答】解：设A的边长为a,B的边长为b∙

由图1可得，

Swκzra2-b^-2;

由图2可得，

SWK=（a+b）--a"-b=ab=10;

由图3,得

2

Smκ=（2a+b）--3a-2b

=4a2+4ab+b2-3a^-2b2

=a2-b2+4ab

=2+4X10

=42.

故答案为：C.

【思路点拨】利用图1和图2,得至|£-旨=2和26=10.同样的，用a、b表示图3的阴影面积，结合整体代

换，可求值.关键还在于掌握a+b,a-b,a2+b2,ab这四个式子之间得关系.

10.（2分）（2019七下•西湖期末）如图，大正方形的边长为m,小正方形的边长为〃，x,y

表示四个相同长方形的两边长（％>y）.则①x—；②孙=加；③/一产=相〃.④

22

-+5=〃?一"，中正确的是（）

2

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】Λ

【规范解答】解：由图得χ-y=n,x+y=m,

则(χ-y)(χ+y)=χ2-y'mn,

χ-y+x+y=2x=m+n,

(x+y)-(χ-y)=2y=m-n,

Λ4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2,

m9-ri9

..町二F-

m+nm-n疗+2mn++4—2mn+〃？m2+n2

.・.x2+y2=(z∙∙)2+(')2

224-—2-

.∙.①②③正确，④错误;

故答案为：A.

【思路点拨】根据图示把m、n用含x、y的代数式表示，两式结合，把x,y用m,n的代数式表示，根据

x、y的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。

阅卷人

---------------------二、填空题（共10题；共20分）

得分

11.（2分）（2022八上•丰台期末）如图1,在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，

将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形.根据两个图形阴影部分面积相等的关系,

可以列出的等式为

【规范解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即42—32=〃—9,

图2是长为α+3,宽为a—3的长方形，因此面积为(a+3)(a-3),

两个图形阴影部分面积相等，

.∙.(a+3)(a—3)=cι~—9,

故答案为：(a+3)(a—3)=/一9.

【思路点拨】分别求出两图形中阴影部分的面积，再根据两阴影部分的面积相等，即得等式.

12.(2分)(2022八上•泗县期中)计算:(√2+lp∙(√2-l)2022=.

【答案】√2+l

【规范解答】解：(√2+l)∙(√2-l)

2O222022

=(√2+1).(√2+1).(^-1)

=(√2÷1).[(√2÷1)∙(√2-1)]2022

ɪ(^÷1)∙(2-1Γ

=5/2+1，

故答案为：√2÷1.

【思路点拨】将代数式变形为卜历+1)[(0+1)∙(JΣ-1)工侬，再利用平方差公式计算即可。

23

13.(2分)(2022七上•杨浦期中)观察下列各式：(X-I)(X+I)=/-1；(χ-l)(χ-%+l)=χ-1;

324

(x-l)(x+x+Λ+1)=X-1I……根据前面各式的规律可得到

(x-l)(x"+x"÷x"^÷+x+l)=.

【答案】xn+l-l

【规范解答】解：由题目中的规律可以得出：(x—l)(χ"+χ"T+χ"2++χ+l)=χ/J],

故答案为：x"+'-l.

【思路点拨】根据前几项的数据与序号的关系可得规律(X-D(X"+X"T+X"2++Λ+1)=Λ"÷>-1O

14.(2分)(2022八上♦锦江开学考)(2x+3y+5)(2x+3y-5)=.

【答案】4x2+12xy+9y2-25

【规范解答】解：(2x+3y+5)(2x+3y-5)

=(2x+3y)2-25

=4x2+12xy+9y2-25,

故答案为：4x2+12xy+9y2-25.

【思路点拨】把(2x+3y)看成一个整体，先利用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式将原式展开

即可.

15.(2分)(2022七下•竦州期末)已知,；二I2是方程组的解，则/—廿的值

是.

【答案】6

【规范解答】解：...「一[是方程组隹的解，

y=-2(α%-by=6

α

.∙.g-^=⅛jP→=2

(2Q+2b=6IQ+6=3

Ja?_〃=(α+b)(a-b)=2×3=6,

故答案为：6.

【思路点拨】将方程组的解代入方程组中，得到关于a,b的方程组，再利用平方差公式（/_〃=

(a+b)(a-b))代入计算.

16.（2分）（2022七下•南河期末）如图，把三个大小相同的正方形甲，乙，丙放在边长为9的大正方形

中，甲与丙的重叠部分面积记为S“乙与丙的重叠部分面积记为S2,且均为正方形，正方形甲、乙一组

邻边的延长线构成的正方形面积记为若S∣-Sz=2Ss,且Ss=I,则图中阴影部分的面积

为.

【规范解答】解：设正方形甲、乙、丙的边长为a,

•；正方形甲、乙一组邻边的延长线构成的正方形面积记为S”且SFI,大正方形边长为9,

Λ2a+1=9,

a=4,

设正方形S”工的边长分别为X,y,

Λx+y+l=4,即x+y=3①，

XVS1-S2=2S3,

Λx2-y⅛,即(x+y)(χ-y)=2,

2_

.,.(x-y)=一②，

3

由①得：χ2+2xy+∕=9,

4

由②得：x2-2xy+yj=-,

77

.∙∙4xy=τ,

77

Jxy=—,

36

，S阴影二(x+l)(y+l)-S3=xy+x+y+l-l,

77185

•∙S阴彩=――÷3=——.

3636

1

故答案为：

36

【思路点拨】设正方形甲、乙、丙的边长为a,由正方形甲、乙一组邻边延长线构成的正方形面积记为

S3,且S3=l,大正方形边长为9,推出2a+l=9,解得a=4,设正方形S∣,S2的边长分别为x,y,从而得到

2

x+y+l=4,即x+y=3①，再由SH2=2S3,得x?-y?=2,利用平方差公式可求得（x-y）②，再利用完全平

47777

方公式得r+2xy+yJ9,x2-2xy÷y--,则4xy=,RPWxy=-，最后根据阴影的分正方形的面积

9τ9r36

（x+l）（y+l）-S3=xy+x+y+l-l,代入数据计算即可求解.

17.（2分）（2022九上•福建竞赛）若素数p,使得4p2+p+81是一个完全平方数，则P=.

(若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.)

【答案】H

【规范解答】解：设4p2+p+81=√,«为正整数.

则64p2+16p+16×81=16n2,即(8/2+1)2+1295=16√.

.∙.(4∕L8p-I)(4α+8p+l)=1295=5χ7χ37.

由4"一8〃一1为整数，4〃+8〃+1为正整数，且4〃+8〃+1>4〃-8〃一1,得

4/1-8/7-1=14〃-8〃-1=54〃-8〃—1=7f4H-8∕?-1=35

<,或<,或<,或<

4"+8p+I=I295[471+8/2+1=7x37[4π+8p+l=5×37[4n+8p+l=37

«=162n=33

〃=9

解得\323，或I63或

P=­P=-P=O

又P为素数，所以P=Il

所以当素数P=U时，4p2+p+81是一个完全平方数.

故答案为：11.

【思路点拨】设4p2+p+81=n?（n为正整数），两边同时乘以16,再利用完全平方公式化简可得

（8p+l）2+1295=16n2,利用平方差公式分解可得（4nTpT）（4n+8p+l）=5X7X37,据此可得n、P的方程组，

求出n、p的值，结合P为素数就可得到p的值.

18.（2分）（2021七下•丽水期末）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余

部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案

是o(请填上正确的序号)

口一口面电

方案①方案②方案③

【答案】①②

【规范解答】解：①阴影部分的面积=a2-b?,拼凑的矩形的面积=(a+b)(a-b),

.*.a2-b2=(a+b)(a-b);

②阴影部分的面积如图，先取点，再作MELAD,NF±AD,

YME=AE=NF=DF,AE+FD=ME+NF=a-b,

•••拼凑的平行四边形的面积=(a+b)(a-b),

/.a2-b2=(a+b)(a-b)；

③阴影部分的面积=a2-b∖拼凑的矩形的面积=(a+b)2b≠(a+b)(a-b)；

故答案为：①②.

【思路点拨】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求

出拼凑而成的面积，两者比较即可判断.

19.(2分)(2021七上∙金牛期末)己知下列等式：；①F=F,②F+23=32；③

333233332

l+2+3=6;(Dl+2+3+4=10……由此规律，则

213+223+233++5()3=.

【答案】1581525

【规范解答】解：•••①尸=12.②F+23=32；③-+23+33=62;④

l3+23+33+43=102，……，

∙,∙11+2,+ɜɜ+...+/iɜ=(I+2+3+…+>

213+223+233++5O3=1s+23+33+∙∙∙+50-(13+23+33+∙∙∙+203)

=(1+2+3+…+50)2-(1+2+3+…+20)2

=12752-2102

=1581525.

故答案为：1581525.

【思路点拨】首先根据前4项的结果推出一般规律：l3+23+33+...+n3=（l+2+3+...+n）2,然后把

原式变形为n=50和n=20时的两个等式之差，再利用平方差公式计算即可.

20.（2分）（2020七下•简阳期中）己知a∣=l-ɪ

an=

1I

1-71H，S,=aι∙a∙∙∙a,贝∣JS∏5二

(«+1)12n2t

2017

【答案】

4032

【规范解答】解:

1142

—X—

3333

1

____!_/Y1__1120162014

。2。14―-206一1+2015Jl2015/20152015

aɪ1fιI1Yi__1120172015

%(心一^20162^l+2016-2016厂20162016

••*^2015=4.%.为”2015

3142532016201420172015

=­X—X—X—X—X—XX-----------X------------X------------X------------,

2233442015201520162016

120172017

―22016—4032

故答案为：型D

4032

n+2n

【思路点拨】利用平方差公式将各式变形，可得规律a.=——X——，据此将S20∣5=q∙α,∙%∙∙%n5

〃+1/7+1

进行变形，然后约分即可.

第∏卷主观题

第∏卷的注释

阅卷人

三、解答题（共8题；共60分）

得分

21.（10分）（2022八上•乐山期中）运用公式进行简便计算.

（1）（5分）10.22-10.2x2.4+1.44；

（2）（5分）（1-

【答案】（1）解：原式=（10.2-1.2）2=81

314220232021120232023

——X—X—X—XX----------X----------=—X----------=-----------

223320222022220224044

【思路点拨】（1）利用完全平方公式分解因式，可得到（10.2-1.2）2,然后进行计算.

再进行计算，然后

约分化简，可求出结果.

22.（6分）（2022七下•平谷期末）已知62—2〃2〃一1=O，求代数式（m-n）~+（，”+〃）（"［一〃）-/的

值.

【答案】解：（zn-n）2+^m+n）（m-n）-m2

=m2-2cmn+力+nr-n~-rrr

=m2-2mn：

>∙*nr-2mn-1=0

∙,∙m2-2mn=1

，原式=1；

【思路点拨】先根据整式的运算法则化简代数式，再根据加2—2加-1=O可得加2—2m=1,整体代

入计算即可。

23.（8分）（2023八上•永城期末）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形.

（2）（1分）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是;（写成多项

式乘法的形式）.

（3）（1分）由上图可以得到乘法公式；

(ι-⅛Iι-⅛Iι-⅛]1

（4）（5分）运用得到的公式，计算:^I⅛

【答案】（1）a2-b2

(2)[a+b)(a-b)

(3)cr-b^-(a+b)(a-b)

⑷解：(1-⅛)(ι-⅛J1-⅛)1^I⅛

=—×-×-X-X-×-×X-------X--------

223344100100

1101

—×----

2100

101

200'

【规范解答】解：(1)阴影面积是"一方2,

故答案为:a2-b2∙,

(2)根据梯形的面积公式可知面积为2χ,(α+b)(α-b)=(α+b)(α-8),

2

故答案为:(a+b)(a-b)；

(3)可以得到的乘法公式为必一从=(α+力(α-b),

故答案为：cι~-b`=(<7+b)(cι—b)；

【思路点拨】(1)直接用大正方形的面积减去小正方形的面积即可；

(2)直接根据梯形的面积公式计算即可；

(3)根据图1中阴影部分的面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案;

(4)直接利用平方差公式计算即可.

24.(7分)(2022七上•芷江月考)计算

(1)(3分)(a-23+c)(a+2b-c)；

(2)(4分)已知：x+y=3,xy=-7,求：

①f+y2;

②(χ-y)2.

【答案】(1)解：(a-2>+c)(α+2b-

=[Q_(2Z?-C)][Q+(2A_C)]

=a2-(2b-c)?

-cr-(破-4^C÷C2)

=a2-4/?2+4Z?c-c2

(2)解：①∖∙χ+y=3,Xy=-7,

.*.X2+y2=(x+y)~-2xy=32—2x(—7)=23；

22

(2)VX+y=23,xy=-l1

(x—y)--x2+j2—2xy=23—2×(—7)=37

【思路点拨】（1）每一个因式内利用添括号法则把互为相反数项结合在一起，然后利用平方差公式及完全

平方公式依次化简，最后去括号即可；

（2）①根据完全平方公式的恒等变形得d+yJ（x+y）2-2xy,然后整体代入即可算出答案；②根据完全平

方公式将（χ-y）2展开，然后整体代入即可算出答案.

25.（6分）（2022八上•新城月考）阅读下列材料，然后回答问题：

2

在进行类似于二次根式的运算时,通常有如下两种方法将其进一步化简:

√3+l

2_2(^-1)_2(√3-l)ɪ

方法一:

22

√3+Γ(λ^+l)(√3-1)-(√3)-I^

2_3-1_(6)2_]2_(6+1)(万-1)

方法二:=G-I

√3+l-^+l^√3+l-6+1

2

（1）（3分）请用两种不同的方法化简:

√5+√3

+

(2)*分)化简：++T^022+√2020

22（逐—⑹2（√5-√3）

【答案】⑴解：方法J石内（逐+⑹回回附.附《；

25-3(逐+5)(回-6)

方法二:=√5-√3；

√5+√3^√5+^(小+`v/ŋ

⑵解:原式=；("应-"√4+^-√6+-+√2022-√2020)=y(√2022-√2)=

,2022√2

^1T

【思路点拨】（I）方法一：给分子、分母同时乘以66,然后利用平方差公式化简即可；

方法二：将分子变形为5-3,然后利用平方差公式进行分解，再约分即可；

+

（2）原式可变形为§（Λ∕40Λ∕6"+次y∕β+…+J2022-J2020）=5（＞/2022-JΣ），据此

计算.

26.(7分)(2022七下•乐亭期末)已知(2"')”=4,(a,,,)2÷√,=ai.

(1)(3分)求加"和2加—〃的值；

(2)(4分)已知4*-"2=15,求加+巩的值.

【答案】(1〉解：；(C)n=4,(a°)2÷a"=a3,

/.2,"=22,a2"""=a3.∙.mn=2,2m-n=3.

(2)解：∙.∙4m'-d=15,・・・(2m+〃)(2加一〃)=15,

•2m—/?■—3，∙♦2m+n=5,

2m+n=5

联立得〈

2m-n二3

m=2

解得〈，...m+n=3∙

n=1

【思路点拨】（1）利用事的乘方，同底数塞的除法计算方法求解即可;

2m+〃=5

（2）利用平方差公式可得（2帆+〃）（2μ—/）=15,再将数据代入可得〈八,再求出m、n的值,

2m-n-3

最后计算即可。

27.（6分）（2022八上•张店期中）乘法公式的探究及应用.

图2

Sl

（I）（I分）如图1,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2,通过比较图1、图2阴影部

分的面积，可以得到整式乘法公式:

（2）（1分）2'6-l可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为.

(3)(4分)计算:2×(3+l)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1.

【答案】(1)(a+b)(a-b)=a2-b2

(2)15,