（江苏专用）高考数学 专题4 三角函数、解三角形 28 三角恒等变换 理-人教版高三数学试题

训练目标(1)三角函数的和差公式；(2)联系和转化的思想.训练题型(1)三角函数式的求值、化简；(2)辅助角公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)的应用；(3)三角变换的应用.解题策略(1)应用三角函数公式化简求值的三步曲：一角二名三结构；(2)给值求角一定要求出角的范围.1．(2015·西藏拉萨中学上学期第六次月考)已知α为第二象限角，sinα＝eq\f(3,5)，则sin2α＝________.2．已知sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(7\r(2),10)，cos2α＝eq\f(7,25)，则sinα＝________.3．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝________.4．(2015·郑州一模)已知sin(eq\f(π,3)＋α)＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，则sin(α＋eq\f(7π,6))＝________.5．若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝________.6．已知cosα＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(1,3)，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，则cos(α－β)＝________.7．函数f(x)＝sinxsin(x－eq\f(π,3))的最大值为________．8．(2015·成都一诊)若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈[eq\f(π,4)，π]，β∈[π，eq\f(3π,2)]，则α＋β＝________.9.eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin20°)＝________.10．已知eq\f(2sin2x＋sin2x,1＋tanx)＝eq\f(1,2)(eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2))，则sinx－cosx＝________.11．(2015·青岛一模)设a＝cos50°cos127°＋cos40°×cos37°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)，c＝eq\f(1－tan239°,1＋tan239°)，d＝eq\f(1,2)(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系是________．12．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．13．函数f(x)＝sin(x＋eq\f(π,4))＋eq\r(2)cos(x＋eq\f(π,2))在[0，π]上的最大值为________．14．设向量a＝(1，cos2θ)，b＝(2,1)，c＝(4sinθ，1)，d＝(eq\f(1,2)sinθ，1)，其中θ∈(0，eq\f(π,4))．若f(x)＝eq\r(x－1)，f(a·b)＋f(c·d)＝eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(2),2)，则cosθ－sinθ的值为________．答案解析1．－eq\f(24,25)解析∵sinα＝eq\f(3,5)，α是第二象限角，∴cosα＝－eq\f(4,5).∴sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(3,5)×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(24,25).2.eq\f(3,5)解析由sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(7\r(2),10)得sinα－cosα＝eq\f(7,5)，①由cos2α＝eq\f(7,25)得cos2α－sin2α＝eq\f(7,25)，所以(cosα－sinα)·(cosα＋sinα)＝eq\f(7,25).②由①②可得cosα＋sinα＝－eq\f(1,5)，③由①③可得sinα＝eq\f(3,5).3.eq\f(1,2)解析原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝eq\f(1,2).4．－eq\f(4,5)解析sin(eq\f(π,3)＋α)＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)⇒sineq\f(π,3)cosα＋coseq\f(π,3)sinα＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)⇒eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝eq\f(4\r(3),5)⇒eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(4,5)，∴sin(α＋eq\f(7π,6))＝sinαcoseq\f(7π,6)＋cosαsineq\f(7π,6)＝－(eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα)＝－eq\f(4,5).5.eq\f(8,3)解析原式＝2＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝2＋2cos(α－β)＝eq\f(8,3).6.eq\f(23,27)解析∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(7,9)，∴sin2α＝eq\r(1－cos22α)＝eq\f(4\r(2),9)，而α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(2\r(2),3)，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－eq\f(7,9))×(－eq\f(1,3))＋eq\f(4\r(2),9)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(23,27).7.eq\f(3,4)解析f(x)＝sinxsin(x－eq\f(π,3))＝sinx(eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)sinxcosx＝eq\f(1,2)eq\f(1－cos2x,2)－eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin(2x＋eq\f(π,6))．故函数的最大值为eq\f(3,4).8.eq\f(7π,4)解析因为α∈[eq\f(π,4)，π]，所以2α∈[eq\f(π,2)，2π]，又sin2α＝eq\f(\r(5),5)，所以2α∈[eq\f(π,2)，π]，α∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，故cos2α＝－eq\f(2\r(5),5).又β∈[π，eq\f(3π,2)]，所以β－α∈[eq\f(π,2)，eq\f(5π,4)]，故cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10).所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝(－eq\f(2\r(5),5))×(－eq\f(3\r(10),10))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，且α＋β∈[eq\f(5π,4)，2π]，故α＋β＝eq\f(7π,4).9．2解析原式＝eq\f(2\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,sin20°)＝eq\f(2sin30°－10°,sin20°)＝2.10.eq\f(\r(2),2)解析原式＝eq\f(2sin2x＋2sinxcosx,1＋\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxsinx＋cosx,sinx＋cosx)＝2sinxcosx＝eq\f(1,2)，由于eq\f(π,4)<x<eq\f(π,2)，此时sinx>cosx，故sinx－cosx＝eq\r(1－2sinxcosx)＝eq\r(1－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).11．a>c>b>d解析a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b＝eq\f(\r(2),2)(sin56°－cos56°)＝eq\f(\r(2),2)sin56°－eq\f(\r(2),2)cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝eq\f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq\f(\f(cos239°－sin239°,cos239°),\f(cos239°＋sin239°,cos239°))＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°，d＝eq\f(1,2)(cos80°－2cos250°＋1)＝eq\f(1,2)cos80°－eq\f(1,2)cos100°＝cos80°＝sin10°，故a>c>b>d.12．1解析∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋sinφcos(x＋φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值为1.13.eq\f(\r(2),2)解析f(x)＝eq\f(\r(2),2)(sinx＋cosx)－eq\r(2)sinx＝eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx＝sin(eq\f(π,4)－x)，因为x∈[0，π]，所以eq\f(π,4)－x∈[－eq\f(3π,4)，eq\f(π,4)]，故f(x)的最大值为eq\f(\r(2),2).14.eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)解析f(a·b)＝eq\r(a·b－1)＝eq\r(1＋cos2θ)＝eq\r(2)|cosθ|＝eq\r(2)cosθ，f(c·d)＝eq\r(c·d－1)＝eq\r(2)|sinθ|＝eq\r(2)sinθ，f(a·b)＋f(c·d)＝eq\r(2)(cosθ＋si