2023年高考第三次模拟考试卷-数学（全国甲卷文）（解析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要

求的。

1.已知集合A={x∣0<x<4,xwN},B={X∣-3<Λ∙≤2,Λ∙∈,则AB=()

A.{Λ∣0<X≤2}B.{x∣-3<x<4}C.{1,2}D.{0,1}

【答案】C

【分析】根据交集的概念和运算直接得出结果.

【详解】由题意得，

A={1,2,3},

所以Ac3={l,2},

故选：C.

2.设复数Z满足亚=i,则IZl=

Z

A.1B.√5C.3D.5

【答案】B

【解析】由亚=i可得Z=出=1-2"再利用复数模的公式可得结果.

ZI

【详解】V-=Z,

Z

2+/2,

Z=—■-=—+1

f+E2

.∙.∣z∣=√l+4=\[5,故选B.

3.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答

20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况

如图：

根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是()

A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致

B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

【答案】D

【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断.

【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：

1号员2号员3号员4号员5号员6号员7号员8号员9号员10号员

工工Γ.工工工ɪ工工工

第一次

65808580909090859090

作答

第二次

80859090959095909595

作答

第三次

8590959510010010095100100

作答

对于A：第一次作答的平均分为：p×(65+80+85+80+90+90+90+85+90+90)=84.5,

第二次作答的平均分：^χ(80+85+90+90+95+90+95+90+95+95)=90.5,

第三次作答的平均分：∖χ(85+90+95+95+100+100+100+95+100+100)=96,

故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；

5x10—5

对于B：第一次作答的正确率：-20χiθ∙X100%=84.5%,

Q∩5×1Ω5

第二次作答的正确率：短；XlOO%=90.5%,

第三次作答的正确率：×100%=96%,

20x10

故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；

对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：100-85=15,

该单位职工一天中第二次作答得分的极差：95-80=15,

故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；

对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：

2222

S3=J-L×[(85-96)+(90-96)+(95-96)×3+(100-96)×5]=2√6,

该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：

Sl=J±X[(65-84.5)2+(80-84.5)2X2+(85-84.5)2X2+(90-84.5)2X5]=√5725>√24=2√6,

故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，故选：D.

4.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为

A.16B.8C.4D.20

【答案】A

【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高

为4,由棱锥的体积公式可得结果.

【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，

一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4,

,该几何体体积为:X2X6X4=16,故选A.

5.将函数/U)=sin(2x+。)的图象沿X轴向左平移ETT个单位后,得到一个偶函数的图象,则。的一个可能取值

O

为()

πC3πC冗-3π

A.-B.—C.---D.—

4844

【答案】A

【分析】根据平移解析式之间的关系可以求出/(x)=sin(2x+0)平移后的解析式,再根据图象的性质可以求出

关于。的等式,根据所给的选项选出一个正确的答案.

(详解】因为函数/U)=Sin(2x+¢)的图象沿X轴向左平移！个单位,所以平移后函数的解析式为:

O

g(x)=sin[2(x+?)+M=SinOx+?+。),该函数是偶函数,所以有

£+0=版'+[(&€2)=°=&/+£伏€2),结合四个选项,当&=0时，φ=∖.

4244

故选：A

6.张卡片上分别写有O,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和

大于5的概率是()

A.—B.-C.—D.-

105105

【答案】B

【分析】列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】从这5张卡片中随机取出2张，

则(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),

共10个基本事件，

其中卡片上的数字之和大于5有(2,4),(3,4).

所以取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是本2=；1

故选：B

7.函数/(X)=I'—卜血X的部分图像大致为()

【解析】计算特殊值〃。)=。，/⑴=F1>0,利用排除法可得是正确选现

【详解】/(°)=。,排除A、"；排除&

故选：C.

8.已知函数"x)=-x3+3χ2+9x+a(。为常数)，在区间［-2,2］上有最大值20,那么此函数在区间［-2,2］上

的最小值为()

A.—37B.—7C∙~5D.—11

【答案】B

【分析】求得导数/'(x)=-3d+6x+9,得出函数的额单调性，结合函数单调性和端点的函数值，即可求

解.

【详解】由题意，函数f(x)=—%3+3/+9x+α,xe［-2,2］,可得，(X)=—3x?+6x+9,

令/'(x)=0,即-3∕+6x+9=0,解得m—1或3(舍去).

当一28T时，r(x)<O,F(X)单调递减;

当T<xv2时,f'(x)>O,F(X)单调递增,

所以当X=T时取最小值，而/⑵=22+α>"-2)=2+α,

即最大值为22+α=20,所以。=—2,

所以此函数在区间［-2,2］上的最小值为/(-1)=-5-2=-7.

故选：B.

o

9.如图，在三棱台ABC-A46中，AAj.平面ABC,ZABC=90,AAt=A,Bl=B1C1=1,AB=I,则AC

与平面BCe向所成的角为()

B

A.30oB.45oC.60oD.90°

【答案】A

【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求A到面BCCg的距离，结合线面角的定义求AC与平面8CG4

所成角的大小.

【详解】将棱台补全为如下棱锥。-ASC,

由ZABC=90。，M=Aβ∣=β∣G=1-AB=2,易知：DA=BC=2,AC=2√2.

由AAlJ.平面ABC,AB,ACu平面ABC,则AAjLAB,AA1ɪAC,

所以8£>=2&，CD=2√3,故3C?+RM=CD?,

所以％88=92乂2&=2&，若A到面BCC冉的距离为儿乂/一ABC=L-B8,

则;X2x；x2x2=g〃x2a,可得∕1=6,

πh1TT

综上，AC与平面BCC4所成角ew[0,g],则sin。=?=；,即C=J.

2AC26

故选：A

10.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，、邑，体积分别为匕、匕.若它们的侧面积相等，且a=：，则上的

值是()

A.2B.—C.-D.一

234

【答案】B

【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为卜0和%，h2,然后根据圆柱的面积公式和体积公式列式计算

求解即可.

【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为小4和九，h2,

S_9町29E{_3

由不1=7，得一^=7,则一=不，

S24S24r12

由圆柱的侧面积相等,得2仍％=2πr1h2,即rfy=r2h2,

所以J=吗^=^1=j

V2τtr~ħ1r22

故选：B.

22

11.已知椭圆E±+S=l(a>6>0)的上顶点为8,右焦点为尸，延长BP交椭圆E于点C,

BF=λFC(λ>]),则椭圆E的离心率e=()

A.户n47CM2-lD-T

B.——

V+lA÷I-U2+l-Γ+l

【答案】A

(l+Λ)c

⅞=------

【解析】设C(XO,%),由BF=2FC可得,广，然后代入椭圆方程化简即可

b

%=一^7

Z

(l+2)c

X)=-------

c=Λ(x-c)λ

【详解】设C(%,%),则由BF=2FCn,0

T?=2%b

%F

(1+彳)2八I

代入椭圆E的方程，整理得:ɪ"⅛=1

rr：pi2矛一1λ~∖

(1+Λ)1÷Λ

二「∣'∣h-]

Wl以e=—

Y几+1

故选：A

12.已知。=InIc=λ∕5ΓΓ,则()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】构造"x)=In(I+力-«,求导求单调性即可得〃0∙l)<∕(0),即证明再构造

g(x)=ln(l+x)-x,xe(T,0].求导求单调性即可得g(-')<g(0),即A<-ln(l-(∙)=ln(E卜lnl.l,即

证明方<4,即可选出选项.

【详解】解:由题知构造f(x)=I∏(l+x)-6,(x≥0),

所以尸⑺=J___监驾=坐I!”。,

l+x2√x2√x(l+x)2√x(l+x)

故〃X)在[0,+8)单调递减,所以/(0.l)<∕(0)=0.

β[J∣n(l.l)-√OJ<O.BPln(l.l)<√0J,βp<7<c

,1,111011-1(

mxInl.1I=I1n—=-I1n—=-I1n—∩-=-1InI1Iπ

构造g(x)=ln(l+x)-x,xe(T,0].

所以g'(x)=T⅛τ=l⅛M'

即g(x)在(T,O]上单调递增,所以g

即In(I-A)+∖<°,即t<Tn(l-∖).即〃<4,

综上∕<α<c.

故选:D

二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共50分。

13.已知向量α=(l,2),向量6=(3,力，若(α+b)Lα,则I=.

【答案】-4

【分析】先求得α+b的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示，列方程，解方程求得f的值.

【详解】依题意α+0=(4,2+r),由于(α+b),α,l⅛(α+⅛)∙(l,2)=(4,2+r)∙(l,2)=8+2r=0,解得f=~4.

14.若直线3x-4y+12=0与两坐标轴交点为A,B,则以线段A8为直径的圆的方程是.

【答案】(x+2)~+[y-T)=个.

【分析】结合已知条件分别求出A、B的坐标，然后分别求出圆心和半径即可求解.

【详解】不妨设直线3x-4y+12=0与X轴和y轴的交点分别为A,B,

令y=0,得x=Y,即A(-4,0)；再令X=0,得y=3,即B(0,3),

从而线段AB的中点为(-2,I),且为所求圆的圆心，

又因为IABl=√(-4-0)2+(0-3)2=5，所以所求圆的半径为∣∙，

25

故答案为:

T

-,,2

15.已知直线y=r0x与双曲线Y-4=l(b>0)无交点，则该双曲线离心率的最大值为.

【答案】G

【分析】根据给定双曲线方程，求出渐近线方程，再借助己知确定人的范围即可计算作答.

2

【详解】双曲线f一方=i(∕,>0)的渐近线为：y=±bx,因直线y=√∑x与双曲线无交点，

于是得b≤√∑,而双曲线实半轴长为1，则该双曲线离心率e=Ji行'≤G,

所以该双曲线离心率的最大值为6.故答案为：√3

16.在三角形A8C中，角A,B,C所对的边分别为α,b,c,若包H=叵上旦=也，则该三角形周长的

ah2

最大值为.

【答案】侦

2

【分析】利用正弦定理化简式子，求出tanB的值，进而求出5的大小，由余弦定理结合基本不等式即可求

H',α+c≤√6.即可求出三角形周长的最大值.

【详解】由正弦定理变形有：—ɪɪ,又因为包H=叵M=①，所以百CoSB=SinB,则

abab2

tanB=√3,.∙.β=⅞,又因为3B=也,所以2月CoSB_显

3b2b-^-^jΓ-T

又因为b2=a2+c2-2accos5=(α+c)2-3ac≥(α+c)2-3."：),="c+cj>

所以(α+c)2≤4/=4χg=6na+c≤√^,当且仅当“〃=c”时取等.

则该三角形周长的最大值为a+b+c=#+迈=地.

22

故答案为：也

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分

17.(12分)安全正点、快捷舒适、绿色环保的高速铁路越来越受到中国人民的青睐.为了解动车的终到正

点率，某调查中心分别随机调查了甲、乙两家公司生产的动车的300个车次的终到正点率，得到如下列联

表：

终到正点率低于0.95终到正点率不低于0.95

甲公司生产的动车100200

乙公司生产的动车110190

(1)根据上表，分别估计这两家公司生产的动车的终到正点率不低于0∙95的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关？

n^ad-bey

(α+b)(c+d)(o+c)(b+d)

P(κ2≥k]0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

【答案】（1）甲公司生产的动车的终到正点率不低于0∙95的概率约为I，乙公司生产的动车的终到正点率不

低于0.95的概率约为羌

（2）没有90%的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关

【分析】（1）用频率估计概率，即可得到答案；（2）套公式计算K'对着参数下结论即可：

【详解】（1）用频率估计概率，甲公司生产的动车的终到正点率不低于0.95的概率约为魏=（；

19（）1Q

乙公司生产的动乍的终到正点率不低于0.95的概率约为==K.

（2）因为K2_600x（100x190-110x200）-_200<ɪ

―_210×390×3002-273<1'

所以K?<2.706，

所以没有90%的把握认为甲、乙两家公司生产的动车的终到正点率是否低于0.95与生产动车的公司有关.

6α.-4

18.（12分）已知数列｛m｝满足〃〃+/=C'+2，且。∕=3（"∈N*）.

n

（I）证明：数列｛占[是等差数列;

（2）求数列｛〃〃｝的通项公式.

【答案】（1）证明见解析

2π+10

（2）«„∕7∈N*

〃+3

一111

【分析】（1）由己知条件转化可得——7--=丁，n∈N∖进而结合等差数列的定义即可得出结论;

a2

¾+.-2n-4

（2）利用等差数列的定义可求出数列的通项公式，进而求出结果.

--2J

1_1⅜,+24-2+4_1]

【解析】（1）证明由凡,，—2=码—42-4α∙,-8-4iα∙,-2）=W+∑Γ≡i

氏+2

即‘ʒ--="∈N*,故数列是等差数列.

a2

¾÷ι-2an-24ln~∖

11,1〃+3

⑵由（1）知U=口+（〃-Ix）Xa=h

2/1+10

所以见=

/7+3

7Γ

19.（12分）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面48C。为直角梯形，NBAD=NCBA=-,PA=AD=DP=AB

2

=2,BC=I,平面R4£>J_平面ABCr>,M为尸力的中点.

⑴证明：CW〃平面B4B；

（2）求多面体PABCM的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）亚

3

【分析】（1）取AP的中点N,连结MN,8N,由题意可推出BC〃脑V,BC=MN,即可证明C例〃BN,

结合线面平行的判定定理，可证明结论；

（2）求得四棱锥P-AB8以及三棱锥M-ACD的体积，二者相减可得答案.

【详解】（1）取AP的中点N,连结MN,BN,

YM为Pn中点，：.MN//AD,MN=-AD,

2

兀I

由题意知NBAD=ZCBA=一,AO=2,BC=1,故BC〃A。,BC=—AO,

22

/.BC//MN,BC=MN,

四边形BCMN为平行四边形，；.CM//BN

面B4B,CMa面Λ4B,

故CM〃平面PAB-.

(2)取Ar)的中点“，连结P"，^∖PA=AD=DP,

P

D

B

则

：面PAf)J"面ABC£),面PADc面ASCO=AD,P”在平面附。中，

.,.PH，面ABCD,取HD的中点G,

.,.MG//PH,历6_1_面488,

又PA=AD=DP=AB=2,故PH=瓜MG=昱,

2

∙∙∙%YB8=g%BCD∙P"=gxg(l+2)χ2xG=G,

■：VM-ACD=；SAA8MG=(X；X2X2X与=与,

*^PABCM~VP-ABCD-VW-ACQ=~ɜ~*

20.(12分)(1)已知函数f(x)=岛，求/'(I)；

(2)已知函数g(x)=d+0r,若曲线g(x)在x=0处的切线也与曲线MX)=—Inx相切，求”的值.

【答案】(1)Z(I)=O=(2)a=--.

e

【分析】(I)求导后，代入X=I即可得到结果；

(2)根据导数几何意义可求得g(x)在X=O处的切线斜率，进而得到切线方程；设该直线与MX)相切于

(⅞,-l∏xn),求得Mx)在(％,-MΛ0)处的切线方程，根据两切线方程相同，可构造方程组求得结果.

,e'(%2+1)—2xex(%—1)2ex

【详解】⑴r(χ)=I,%=/,、2,-∙∙∕,(ι)=0:

(x+Ijlx+IJ

(2)g'(x)=3x2+”,.∙.g'(0)=a,又g(0)=0,

∙∙∙g(x)在x=0处的切线方程为：y=%

设＞=依与MX)=-InX相切于点伉,一出豌ɔ,

“a)=」，.∙∙"(∙⅞)=一^^,

X玉)

・•・切线方程为：>,+ln⅞=一一(ɪ-ʃo),即y=-,χ+l-Inx0,

⅞⅞

1-InX0=O

ɪ,解得：a=—.

-----=Qe

⅞

21.(12分)设抛物线(7:丫2=2川(〃>0)的焦点为居过尸的直线交C于例，N两点，IMVlmin=4.

⑴求C的方程；

(2)设点。(2p,0),直线M2NO与C的另一个交点分别为A,B,当直线的MA3的斜率存在时，分别记为

⅛1,*2∙则3是否为常数，请说明理由.

【答案】(l)V=4x:(2)是常数，理由见解析.

【分析】(1)设直线MN:X=ZMy+],M(x,,yl),N(x2,y2),求出∣Λ∕N∣=x∣+J⅛+P=2p(M+1),得当MN与X

轴垂直时弦长最短，即得解；

⑵设M但,y∣],N但,%),/学,为]，8但,%)，直线MN”=四+1,求出MMN=--—,kAB=---

I4JI4JI4JI4)弘+必为+%

Ic,

%=4%,％=4%,得:^=4,即得解.

【解析】(1)解：设直线MN:工=加〉+],M(x1,y1),N(x2,y2),

_P_

山'加)+2可得y2-2pmy-p2=O,∆>0,yl+y2=Ipmt

y2=4x

所以IMNI=x1+x2+p=m(yl+y2)+2p=2p(∕√+1),

所以当相=(),即MN与X轴垂H时弦K最知，此时IMVI=2〃=4,所以p=2,所以抛物线C的方程为f=4x；

(2)解：设"(q,χ,N(1∙,>JA［卷,)j,b偿,”)，直线MN*=my+1

(x=my+↑_

由〈2:可得y_4冲一4=0,ʌ>O,yy=-4,

y=4xl2

k二=4二-一_;4

由斜率公式可得.一至二至一“大，S一宣二立一

4444

直线Mz):x=±T-y+4,代入抛物线方程可得y2-f(土二”.y-i6=o,

%,

44%k

Δ>0,Ʃ,Λ=-16,所以必=4%，同理可得M=4%,所以原B=0二=W(M+y,)=谭匕所以j=4∙

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多选，则按所做的第一题计分。

［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

G=产

22.在直角坐标系XOy中，曲线Cl的参数方程为^'α为参数），以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴

［