《3.2.1 单调性与最大（小）值》课件与导学案

第3章

函数的概念与性质3.2.1单调性与最大(小)值实例探究在初中我们利用函数图像探究过函数值随自变量的增大而增大(减小)的性质，这性质叫做函数的单调性.下面进一步刻画这种性质.

先研究二次函数的单调性.画出图像，可以看到，当x＜0时，y随x的增大而减小，也就是说，任意取，得到，有.这时我们就说函数在区间(-∞，0]上是单调递减的.

同理，函数在[0,+∞)上是单调递增的.

函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.因为，所以实例探究【问题】如何判断本题中的大小？

【1】观察图像法，从右侧图像中很容易得到函数在(-∞，0]上为减函数，在[0,+∞)上为增函数，但在(-∞,+∞)上不具有单调性.

【2】做差法：

所以

在区间(-∞，0]单调递减；在区间[0，+∞)单调递增.【思考】函数和函数各有怎样的单调性？【解】作出两个函数的图像，由图像可知：

函数在区间(-∞，0]单调递增；在区间[0，+∞)单调递减.单调性的定义一般地，设函数的定义域为S，区间，如果，当时，都有，那么就称函数在区间A上单调递增.特别地，若函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.

如果，当时，都有，那么就称函数在区间A上单调递减.特别地，若函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.函数具有单调性的的区间叫做单调区间.

单调性的定义【探究】在函数单调性的定义中，对区间A有什么要求？（1）区间A可以是整个定义域S.如函数y=x，他在定义域上单调，A=S.（2）区间A可以是定义域S的真子集，如函数y=|x|，S=(-∞，+∞)，当A=(-∞，0]时，函数单调递减.（3）区间A一定是连续的，如果中间有断裂，则无法称

作单调递增或者单调递减.如图示的函数.

单调性的定义函数单调性定义的等价形式(对于任意的)：

【1】

在D上为增函数；【2】

在D上为减函数；【3】

在D上为增函数；

【4】

在D上为减函数.

即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为减函数；单调性定义的应用【1】判断(证明)单调性：【2】比较函数值大小：【3】已知函数值大小比较自变量：并非所有函数都有单调性或者单调区间.如函数虽然它的定义域为R，但是它不具有单调性.

单调性定义的应用【问题】书写函数的单调区间端点有何要求？

函数在区间端点处有定义时，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在书写单调区间时，可以包括，也可以不包括.如函数y=t的单调增区间可以写(0，+∞)，也可以写成[0，+无穷大)

反之，函数在区间端点处无定义时，书写单调区间时就不能包括端点.单调性的应用【例题1】根据定义，研究函数的单调性.

【解】函数的定义域是R，对于任意的且

，

由知，所以：

①当时，，即，

这时，函数是增函数；

①当时，，即，

这时，函数是减函数；

且，有：单调性的应用【例题2】物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的

气体，当其体积V减少时，压强P将增大.试对此用函数的单调性证明.【分析】根据题意，只要证明函数是减函数即可.

【证明】

由得；由得

又，所以即

所以函数是减函数.问题得证.

【观察】观察函数的图像可以发现，二次

函数的图像上有一个最低点(0，0)，即：函数的最值(最大值和最小值)

当一个函数有最低点时，我们就说这个函数有最小值.【定义】一般地，设函数的定义域为A，如果当自变量时，有：

，那么我们就称是函数的最小值；

反之，设函数的定义域为A，如果当自变量时，有：

，那么我们就称是函数的最大值.

【常用结论与表达方式】函数的最值(最大值和最小值)【1】若函数在区间

上单调递增，那么函数的最小值

，最大值

【2】若函数在区间

上单调递减，那么函数的最小值

，最大值

【3】函数的最大值和最小值可以有多个，如图：第三章函数概念与性质3.2.1.1函