《4.2.2 指数函数的图像和性质》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数《4.2.2指数函数的图像和性质》教学设计【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数，以及函数性质基础上，通过实际问题的探究，建立的第四个函数模型。其研究和学习过程，与先前的研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、直观想象、及由特殊到一般的思想方法。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1、能画出具体指数函数的图象；2、在观察指数函数图像基础上，归纳出指数函数的性质，能应用解决简单的问题；3、在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；a.数学抽象：指数函数的性质；b.逻辑推理：类比法学习指数函数性质；c.数学运算：运用指数函数性质解决问题；d.直观想象：指数函数图像；e.数学建模：在实际问题中建立指数函数模型；【教学重难点】教学重点：指数函数的图象和性质。教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。【教学过程】教学过程设计意图（一）、创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？（二）、探索新知问题１用描点法作函数1.列表2.描点3.连线.用描点法作函数观察这四个图像有何特点？问题1：图象分别在哪几个象限？问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题3：图象有哪些特殊的点？问题4：图象定义域和值域范围？指数函数的图像与性质图象00<a<1a>1定义域值域性质过定点非奇非偶在R上是在R上是（三）典例解析例3：说出下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5__1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__0.82.5解：①∵函数y=1.7x在R上是增函数，又∵2.5<3，∴1.72.5<1.73②∵函数y=0.8x在R上是减函数，又∵-1>-2，∴0.8—1<0.8—2③∵1.70.5>1.70=1=0.80>0.82.5，∴1.70.5>0.82.5[规律方法]比较幂的大小的方法1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论例4：如图，某城市人口呈指数增长．（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．开门见山，通过对函数研究的一般方法回顾，提出研究方法。培养和发展逻辑推理和数学建模的核心素养。探究问题：问题1.通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；通过典例问题的分析，让学生运用指数函数的性质解决问题。培养分析问题与解决问题的能力，深化对函数思想的理解。通过典例分析，进一步熟悉指数函数的性质，及认识到指数函数变化迅速的特点；三、当堂达标1．若2x＋1<1，则x的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)【答案】D[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.]2．下列判断正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜πeq\s\up12(eq\r(2))D．0.90.3＞0.90.5【答案】D[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]3．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的单调增区间为()A．RB．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)【答案】A[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u(x)是减函数，故y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x在R上单调递增，故选A.]4．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________.【答案】m<n[∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]5．设f(x)＝3x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？【答案】(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－π＝3π，f(m)＝3m，g(－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－m＝3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．6．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．【答案】(1)由已知得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)，因为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上递减，则2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．通过练习巩固本节所学知识，巩固指数函数的图像和性质，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结1、指数函数的图像及其性质；2、指数比较大小的方法；五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《4.2.2指数函数的图像和性质》导学案【学习目标】1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。【重点难点】教学重点：指数函数的图象和性质。教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质及其应用。【知识梳理】指数函数的图像与性质图象00<a<1a>1定义域值域性质过定点非奇非偶在R上是在R上是【学习过程】（一）、提出问题你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？（二）、探索新知问题１用描点法作函数1.列表2.描点3.连线.用描点法作函数观察这四个图像有何特点？问题1：图象分别在哪几个象限？问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题3：图象有哪些特殊的点？问题4：图象定义域和值域范围？（三）典例解析例3：说出下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5__1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__0.82.5例4：如图，某城市人口呈指数增长．（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？【达标检测】1．若2x＋1<1，则x的取值范围是()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)2．下列判断正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.82＜0.83C．π2＜πeq\s\up12(eq\r(2))D．0.90.3＞0.90.53．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x的单调增区间为()A．RB．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)4．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________.5．设f(x)＝3x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？6．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))).(1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小；(2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域．参考答案：二、学习过程（三）典例解析例3.解：①∵函数y=1.7x在R上是增函数，又∵2.5<3，∴1.72.5<1.73②∵函数y=0.8x在R上是减函数，又∵-1>-2，∴0.8—1<0.8—2③∵1.70.5>1.70=1=0.80>0.82.5，∴1.70.5>0.82.5例4.分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．三、达标检测1【答案】D[∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.]2【答案】D[∵y＝0.9x在定义域上是减函数，0.3＜0.5，∴0.90.3＞0.90.5.]3【答案】A[令u(x)＝1－x，则u(x)在R上是减函数，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))u(x)是减函数，故y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－x在R上单调递增，故选A.]4【答案】m<n[∵a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]5【答案】(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－1＝3，f(π)＝3π，g(－π)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－π＝3π，f(m)＝3m，g(－m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－m＝3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．6【答案】(1)由已知得a2＝eq\f(1,9)，解得a＝eq\f(1,3)，因为f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上递减，则2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)．(2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x≤3，即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]．《4.2.2指数函数的图像和性质》同步练习一基础巩固1．当且时，函数的图象必经过定点（）A． B． C． D．2．函数y=2x与y=（）x关于对称()．A．x轴 B．y轴C．y=x D．原点3．若f（x）=（2a–1）x是增函数，那么a的取值范围为()．A．a<12B．1C．a>1D．a≥14．函数与的图象有可能是()．A． B． C． D．5．若，，，则()．A． B． C． D．6．函数在上的值域为________．7．函数的定义域为_______．8．已知函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求函数的定义域和值域；（3）证明：函数是奇函数．能力提升9．已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.10．不等式的解集是______．11．已知函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞1，且a为常数）在区间[-1，1]上的最大值为14．（1）求f（x）的表达式；（2）求满足f（x）=7时x的值．素养达成12．求函数的定义域、值域及单调区间．4.2.2指数函数的图像和性质答案解析基础巩固1．当且时，函数的图象必经过定点（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函数解析式的特征结合指数函数的性质，令可得，此时，故函数恒过定点.故选：A.2．函数y=2x与y=（）x关于对称()．A．x轴 B．y轴C．y=x D．原点【答案】B【解析】函数y=（）x=2–x，与函数y=2x的图象关于y轴对称，故选B．3．若f（x）=（2a–1）x是增函数，那么a的取值范围为()．A．a<12B．1C．a>1D．a≥1【答案】C【解析】由题意2a-4．函数与的图象有可能是()．A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为增函数，排除A、C，由B,D可得对于B中函数的图象可以看出，则的图象与轴的交点应在原点下方，排除B.选D.5．若，，，则()．A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递减，所以，则；又因为在上单调递增，所以，所以；则，故选：A.6．函数在上的值域为__________．【答案】【解析】因为在上单调递减，所以时,即，所以函数在上的值域为.故答案为.7．函数的定义域为_______．【答案】【解析】由二次根式有意义，得：，即，因为在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：8．已知函数的图象经过点.（1）求的值；（2）求函数的定义域和值域；（3）证明：函数是奇函数．【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；（3）详见解析.【解析】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得.（2）由（1）知，函数，∵，，即的定义域为.因为，又∵，∴，所以的值域为．（3）∵的定义域为，且，所以是奇函数．能力提升9．已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.10．不等式的解集是______．【答案】【解析】．故答案为：11．已知函数f（x）=a2x+2ax-1（a＞1，且a为常数）在区间[-1，1]上的最大值为14．（1）求f（x）的表达式；（2）求满足f（x）=7时x的值．【答案】（1）f（x）=32x+23x-1（2）x=log32【解析】（1）令t=ax＞0，∵x∈[-1，1]，a＞1，∴ax∈[，a]，f（x）=y=t2+2t-1=（t+1）2-2，故当t=a时，函数y取得最大值为a2+2a-1=14，求得a=3，∴f（x）=32x+23x-1．（2）由f（x）=7，可得32x+2×3x-1=7，即（3x+4）（3x-2）=0，求得3x=2，∴x=log32．素养达成12．求函数的定义域、值域及单调区间．【答案】定义域是．值域是;单调减区间是，单调增区间是．【解析】解不等式，得或，所以，函数的定义域为.，，则函数的值域为.令，由二次函数的性质可知，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，由复合函数同增异减法可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.《4.2.2指数函数的图像和性质》同步练习二一、选择题1．已知函数f(x)＝ax(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<1，则f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个2．若，，，则（）A． B． C． D．3．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()A．B．C．D．4．函数f(x)＝ax-3A．(0,1)B．(1,2)C．(2,2)D．(3,2)5．函数的图象的大致形状是A． B．C． D．6．函数在区间上的最大值是（）．A. B. C. D.二、填空题7．若指数函数f(x)=(2a+1)x是R上的减函数，则8．已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________．9.函数的单调递减区间是_________.10．设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是.三、解答题11．求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．12．已知函数f(x)＝3x－.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)判断x>0时，f(x)的单调性；(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈恒成立，求m的取值范围．4.2.2指数函数的图像和性质答案解析一、选择题1．已知函数f(x)＝ax(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若x<1，则f(x)>a；③若f(x1)>f(x2)，则x1<x2.其中正确命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为0<a<1，所以函数fx=ax在-∞,+∞上递减，可得③正确；x>0时，0<fx<a0=1，可得①2．若，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递减，所以，则；又因为在上单调递增，所以，所以；则，故选：A.3．函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()A．B．C．D．【答案】D【解析】函数y＝x＋a单调递增．由题意知a>0且a≠1.当0<a<1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a,在y轴上的截距大于0且小于1；当a>1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D.4．函数f(x)＝ax-3A．(0,1)B．(1,2)C．(2,2)D．(3,2)【答案】D【解析】当x－3＝0，即x＝3时，＝1；f(3)＝1＋1＝2，故选D.5．函数的图象的大致形状是A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，且，所以根据指数函数的图象和性质，函数为减函数，图象下降；函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.6．函数在区间上的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】,当x=-2时取得最大值为27.二、填空题7．若指数函数f(x)=(2a+1)