《5.3诱导公式》同步练习及答案（共三套）

《5.3诱导公式》分层同步练习（一）基础巩固1．的值是（）A. B.C. D.2．等腰中，顶角满足，则底角的正弦值为（）A. B. C. D.3．若，则（）A． B． C． D．4．已知，是第一象限角，则的值为（）A． B． C． D．5．化简得到（）A.B.C. D.6．若，且是第三象限角，则_________.7．________。8．已知．（1）求的值；（2）求的值．能力提升9．若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．10．________。11．若是第四象限角，，则______.12．已知．（1）化简；（2）若，求的值．素养达成13．在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知点，的横坐标分别为.（1）求和的值；（2）求的值.【答案解析】基础巩固1．的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】故答案选A2．等腰中，顶角满足，则底角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设其中一底角为，根据等腰三角形性质，则有，即，，由得，又因，所以故选：A3．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三角函数的诱导公式，可得，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故选B.4．已知，是第一象限角，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，是第一象限角，∴，∴．故选：C5．化简得到（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，原式.故选：B.6．若，且是第三象限角，则_________.【答案】【解析】因为，所以，因为是第三象限角，所以.所以.故答案为：.7．________。【答案】【解析】．故答案为：．8．已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于，所以．（2）原式．能力提升9．若角的终边经过点，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以.故选C.10．________。【答案】【解析】．故答案为：．11．若是第四象限角，，则______.【答案】【解析】是第四象限角，则为第一、四象限角或终边位于轴上，则，且，因此，，故答案为：.12．已知．（1）化简；（2）若，求的值．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）（2）若，则当为第一象限角时，当为第二象限角时，.素养达成13．在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知点，的横坐标分别为.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)由已知条件及三角函数的定义可知，，，因为为锐角，故，从而因为为锐角，故，从而；(2).《5.3诱导公式》同步练习（二）第一课时[合格基础练]一、选择题1．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(11,4) D.eq\f(9,4)A[因为sin150°＝sin(180°－30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)，sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2)，sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－eq\f(\r(2),2)，所以原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)－1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).]2．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是()A．1B．2B[原式＝sin2α＋(－cosα)·(－cosα)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为()A.eq\r(3) B．－eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．－eq\f(\r(3),3)B[由题意得tan600°＝－eq\f(3,a)，又因为tan600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝eq\r(3)，所以－eq\f(3,a)＝eq\r(3)，所以a＝－eq\r(3).]4．设sin160°＝a，则cos340°的值是()A．1－a2 B.eq\r(1－a2)C．－eq\r(1－a2) D．±eq\r(1－a2)B[因为sin160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin20°＝a，而cos340°＝cos(360°－20°)＝cos20°＝eq\r(1－a2).]5．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))的值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)C[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4)－α))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),2).]二、填空题6.eq\r(2＋2sin2π－θ－cos2π＋θ)可化简为________．1－sinθ[原式＝eq\r(2－2sinθ－cos2θ)＝eq\r(2－2sinθ－1－sin2θ)＝eq\r(sinθ－12)＝1－sinθ.]7．已知cos(508°－α)＝eq\f(12,13)，则cos(212°＋α)＝________.eq\f(12,13)[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13)，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝eq\f(12,13).]8．已知sin(α＋π)＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，则eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝________.－eq\f(7,3)[因为sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5)，且sinαcosα＜0，所以sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3)，所以eq\f(2sinα－π＋3tan3π－α,4cosα－3π)＝eq\f(－2sinα－3tanα,－4cosα)＝eq\f(\f(8,5)＋4,－4×\f(3,5))＝－eq\f(7,3).]三、解答题9．已知tan(7π＋α)＝2，求eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)的值．[解]∵tan(7π＋α)＝2，∴tanα＝2，∴eq\f(2cosπ－α－3sin3π＋α,4cos－α＋sin2π－α)＝eq\f(－2cosα＋3sinα,4cosα－sinα)＝eq\f(－2＋3tanα,4－tanα)＝eq\f(－2＋3×2,4－2)＝2.10．已知f(α)＝eq\f(sinπ＋αcos2π－αtan－α,tan－π－αsin－π－α).(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝eq\f(1,5)，求f(α)的值；(3)若α＝－eq\f(31π,3)，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝－eq\f(sinαcosα－tanα,－tanαsinα)＝－cosα.(2)∵sin(α－π)＝－sinα＝eq\f(1,5)，∴sinα＝－eq\f(1,5).又α是第三象限角，∴cosα＝－eq\f(2\r(6),5)，∴f(α)＝eq\f(2\r(6),5).(3)∵－eq\f(31π,3)＝－6×2π＋eq\f(5π,3)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,3)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－coseq\f(5π,3)＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).[等级过关练]1．在△ABC中，给出下列四个式子：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③sin(2A＋2B)＋sin2④cos(2A＋2B)＋cos2其中为常数的是()A．①③ B．②③C．①④ D．②④B[①sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；②cos(A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；③sin(2A＋2B)＋sin＝sin[2(A＋B)]＋sin2＝sin[2(π－C)]＋sin2＝sin(2π－2C)＋sin＝－sin2C＋sin2④cos(2A＋2B)＋cos＝cos[2(A＋B)]＋cos2＝cos[2(π－C)]＋cos2＝cos(2π－2C)＋cos＝cos2C＋cos＝2cos2C故选B.]2．已知a＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))，b＝coseq\f(23π,4)，c＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33π,4)))，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞a＞bB[a＝－taneq\f(7π,6)＝－taneq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),3)，b＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π－\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，c＝－sineq\f(33π,4)＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2)，∴b＞a＞c.]3．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2018)＝8，则f(2019)的值为________．6[因为f(2018)＝asin(2018π＋α)＋bcos(2018π＋β)＋7＝asinα＋bcosβ＋7，所以asinα＋bcosβ＋7＝8，所以asinα＋bcosβ＝1，又f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋7＝－asinα－bcosβ＋7＝－1＋7＝6.所以f(2019)＝6.]4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinπxx＜0，,fx－1－1x＞0，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))的值为________．－2[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)－1))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)－1))－2＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))－2＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))－2＝－sineq\f(π,6)－2＝－eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,6)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)))＝eq\f(1,2)－eq\f(5,2)＝－2.]5．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B)，eq\r(3)cosA＝－eq\r(2)cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[解]由条件得sinA＝eq\r(2)sinB，eq\r(3)cosA＝eq\r(2)cosB，平方相加得2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2),2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)或eq\f(3,4)π.当A＝eq\f(3,4)π时，cosB＝－eq\f(\r(3),2)＜0，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．∴A＝eq\f(π,4)，cosB＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝eq\f(π,6)，∴C＝eq\f(7,12)π.综上所述，A＝eq\f(π,4)，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(7,12)π.《5.3诱导公式》同步练习（二）第二课时[合格基础练]一、选择题1．若sin(3π＋α)＝－eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)A[∵sin(3π＋α)＝－sinα＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα＝－eq\f(1,2).]2．已知sin10°＝k，则cos620°的值为()A．k B．－kC．±k D．不确定B[cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(270°－10°)＝－sin10°＝－k.]3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)A[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)＋\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(1,3).故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是()A．－eq\f(2a,3) B．－eq\f(3a,2)C.eq\f(2a,3) D.eq\f(3a,2)B[由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，得－sinα－sinα＝－a，即sinα＝eq\f(a,2)，cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)a.]5．化简：eq\f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)＝()A．－sinθ B．sinθC．cosθ D．－cosθA[原式＝eq\f(sinθ－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))cosθ,cosθsin－θ)＝eq\f(－sinθ－sinθcosθ,cosθ－sinθ)＝－sinθ.]二、填空题6．化简sin(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos(π＋α)＝________.－1[原式＝(－sinα)·sinα＋cosα·(－cosα)＝－sin2α－cos2α＝－1.]7．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，且|φ|＜eq\f(π,2)，则tanφ＝________.－eq\r(3)[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ))＝－sinφ＝eq\f(\r(3),2)，sinφ＝－eq\f(\r(3),2)，又∵|φ|＜eq\f(π,2)，∴cosφ＝eq\f(1,2)，故tanφ＝－eq\r(3).]8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝eq\f(4,5)，则cos(α－85°)＝________.－eq\f(3,5)[因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝eq\f(4,5)＞0，所以5°＋α是第四象限角，所以sin(5°＋α)＝－eq\r(1－cos25°＋α)＝－eq\f(3,5)，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°)＝sin(5°＋α)＝－eq\f(3,5).]三、解答题9．已知角α的终边经过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).(1)求sinα的值；(2)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcos3π－α)的值．[解](1)因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，所以|OP|＝1，sinα＝－eq\f(3,5).(2)eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanα－π,sinα＋πcos3π－α)＝eq\f(cosαtanα,－sinα－cosα)＝eq\f(1,cosα)，由三角函数定义知cosα＝eq\f(4,5)，故所求式子的值为eq\f(5,4).10．求证：eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2θ)＝eq\f(tan9π＋θ＋1,tanπ＋θ－1).[证明]左边＝eq\f(－2cosθ·sinθ－1,sin2θ＋cos2θ－2sin2θ)＝eq\f(－sinθ＋cosθ2,cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，右边＝eq\f(tan8π＋π＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanπ＋θ＋1,tanπ＋θ－1)＝eq\f(tanθ＋1,tanθ－1)＝eq\f(\f(sinθ,cosθ)＋1,\f(sinθ,cosθ)－1)＝eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)，所以等式成立．[等级过关练]1．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)的值为()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)A[因为f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－eq\f(\r(3),2).]2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()A．89B．90C.eq\f(89,2)D．45C[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋eq\f(1,2)＝eq\f(89,2).]3．已知eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2，则sin(θ－5π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))＝________.eq\f(3,10)[∵eq\f(sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝2,sinθ＝3cosθ，∴tanθ＝3.sin(θ－5π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－θ))＝sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(3,10).]4．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于________．2－eq\f(π,2)[cosα＝eq\f(2sin2,\r(2sin22＋－2cos22))＝sin2，∵α为锐角，∴α＝2－eq\f(π,2).]5．已知f(α)＝eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos－α－π).(1)化简f(α)；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5)，且α是第二象限角，求tanα.[解](1)f(α)＝eq\f(tanπ－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos－α－π)＝eq\f(－tanα·cosα·cosα,－cosα)＝sinα.(2)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5)，得cosα＝－eq\f(3,5)，又α是第二象限角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).《5.3诱导公式》同步练习（三）一、选择题1．已知α为锐角，且tan(π-A．13B．31010C．2．已知α∈(π2,A．35B．-35C．3．设tan(π+A．3B．13C．1D．4．tan690A．-33B．33C．5．已知sin(θ+A．一B．二C．三D．四6．已知，是第四象限的角，则（）A． B． C． D．7．已知cos（）且||，则tan等于（）A． B． C． D．8．已知sin＝，则cos(π＋α)的值为()A． B．－ C． D．－9．已知sinθ＝－，θ∈(－，)，则sin(θ－5π)sin(－θ)的值是()A． B． C． D．10．已知,那么（）A． B． C． D．11．知α为锐角，且2tan(π-α)A．355B．37712．已知f(α)=A．12B．－12C．3二、填空题13．若，则__________.14．若则的值为____.15．已知角α终边上一点P（-4，3），则cos(16．已知，则_________.三、解答题17．已知cosα=，且,求的值.18．已知角是第三象限角，且．（1）化简；（2）若求的值；（3）若，求的值．19．求证：.20．(1)化简;(2)若，求的值.21．已知fa（1）化简fa（2）若α是第三象限角，且cosα-322．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.【答案解析】一、选择题1．已知α为锐角，且tan(π-A．13B．31010C．【答案】B【解析】由正切的诱导公式得tan(π-α)=-tanα，故tan(2．已知α∈(π2,A．