2023年高考数学一轮复习讲义：第十一章概　率

第十一章概率

§11.1随机事件的概率

【考试要求】L了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概

率的区别2理解事件间的关系与运算.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.事件的相关概念

必然事件I-在条件$七定发生I

I确定事件H不可能事件声邃也上

事定不发生I

件

」随机事件F3琏性竺可能发生也Ur能不发生I

2.频数、频率和概率

（1）频数、频率：在相同的条件S下重复“次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试验中

事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例加A）=誉为事件A出现的

频率.

⑵概率：对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率以A）稳定在

某个常数上，把这个常数记作P（A）,称为事件A的概率.

3.事件的关系与运算

名称条件结论符号表示

事件8包含事件4（事

包含关系A发生=B发生82A（或AU3）

件A包含于事件B）

相等关系若BNA且A28事件A与事件B相等A=B

事件A与事件B的并事

并（和）事件A发生或B发生AUβ（xSA+B）

件（或和事件）

事件A与事件B的交事

交（积）事件A发生且B发生ACB（或AB）

件（或积事件）

互斥事件A∩B为不可能事件事件牛与事件牛互斥A∩B=0

ACB为不可能事件，事件A与事件8互为对

对立事件AclB=0,P(AUB)=I

AUB为必然事件立事件

【常用结论】

1.当随机事件A,B互斥时，不一定对立；当随机事件A,B对立时，一定互斥.也即两事

件互斥是对立的必要不充分条件.

2.随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验

中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)必然事件一定发生.(√)

(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.(√)

(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(X)

(4)若AUB是必然事件，则A与B是对立事件.(X)

【教材改编题］

1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()

A.至多有一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都不中靶

答案D

解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.

2.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷IoOo次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则

掷一次硬币正面朝上的概率为.

答案0.5

解析掷一次硬币正面朝上的概率是05

3.先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0,则这个试验有

个基本事件.

答案4

解析这个试验的基本事件为(1,1),(1,0),(0,1),(0,0),共4个.

・探究

题型一随机事件与基本事件个数

例1(1)在1,2,3,…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于

5”这一事件是()

A.必然事件B.不可能事件

C.随机事件D.以上选项均有可能

答案A

解析从1,2,3,…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1

+2+3=6,

事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，

由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.

（2）袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，

观察摸出球的颜色，则此随机试验的基本事件个数为（）

A.5B.6C.7D.8

答案D

解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的基本事件有（红，红，红），（红，红，黑）,

（红，黑，红），（红，黑，黑），（黑，红，红），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）共

8个.

【教师备选】

一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两

次依次取两个球.

（1）写出这个试验的基本事件；

（2）“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件？

解（1）这个试验的基本事件有（白，白），（黑，黑），（红，红），（白，黑），（白，红），（黑，白）,

（红,白），（黑,红），（红，黑）.

（2）“至少有1个白球”这一事件包含以下5个基本事件：（白，白），（白，黑），（白，红），（黑，

白），（红,白）.

思维升华确定基本事件个数的方法

（1）必须明确事件发生的条件.

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律

去写，要做到既不重复也不遗漏.

跟踪训练1（1）下列说法错误的是（）

A.任一事件的概率总在［0,1］内

B.不可能事件的概率一定为0

C.必然事件的概率一定为1

D.概率是随机的，在试验前不能确定

答案D

解析任一事件的概率总在［0,1］内，不可能事件的概率为0,必然事件的概率为I,概率是客

观存在的，是一个确定值.

(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(X,y)表示结果，记4为“所得点数之和小于5”，则

事件A包含的基本事件的个数是()

A.3B.4C.5D.6

答案D

解析事件A包含(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6个基本事件.

题型二事件的关系与运算

例2(1)某人打靶时连续射击两次，设事件A=”只有一次中靶"，B="两次都中靶”，给

出下列说法：

①AU&(g)A∩B=0;③AlJB="至少一次中靶”；④4与8互为对立事件.

其中正确的是()

A.①②B.②③

C.③④D.①④

答案B

解析事件A="只有一次中靶"，B="两次都中靶”，所以A,8是互斥但不是对立事件,

所以①④错误，②正确.AUB="至少一次中靶”，③正确.

(2)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则

()

A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件

B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是对立事件

C.事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”

D.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是g

答案D

解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；

事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或

者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B错误；

事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是

对立事件，C错误；

事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分

得红球，事件”乙分得红球”发生的概率是：，D正确.

【教师备选】

I.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：

Ci="点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6;

Di=“点数不大于2”,D2="点数不小于2"，D3=“点数大于5”；

E="点数为奇数”，F="点数为偶数”.

下列结论正确的是()

A.G与C2对立B.Oi与。2互斥

C.D3⊂FD.E≡(D∣∩D2)

答案C

解析对于A,G="点数为1”,C2="点数为2”，G与C2互斥但不对立，故选项A不

正确；

对于B,A="点数不大于2”，D2-“点数不小于2”，当出现的点是2时，A与S同时

发生，所以。与功不互斥，故选项B不正确；

对于C,Q=”点数大于5”表示出现6点，F="点数为偶数”，所以。3发生产一定发生，

所以QUF,故选项C正确；

对于D,O∣∩Z52表示两个事件同时发生，即出现2点，E="点数为奇数"，所以DI∩D2

发生，事件E不发生，所以E2(d∩θ2)不正确，故选项D不正确.

2.从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：

A="恰有一个偶数"；B="恰有一个奇数”；

C="至少有一个是奇数"；D="两个数都是偶数”；

E="至多有一个奇数”.

下列结论不正确的是()

A.A=BB.β⊂C

C.r>∩E=0D.Crlo=0,CUo=Q

答案C

解析事件A,8都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，

或是两个奇数，所以BUc故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件

D,E有公共事件，故C错误；此时C,。是对立事件，所以C∩O=0,CUD=Ω.

思维升华事件的关系运算策略

(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.

(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现

的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图

分析事件.

跟踪训练2(1)(2022・长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，

现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()

A.至少有1个红球与至少有1个黑球

B.至少有1个红球与都是黑球

C.至少有1个红球与至多有1个黑球

D.恰有1个红球与恰有2个红球

答案D

解析对于A,不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所

以A不符合题意；

对于B,至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生.所以为互斥事件,

且为对立事件，所以B不符合题意；

对于C,不互斥.如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不

符合题意；

对于D,恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有

3个红球.

(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A="向上的点数为i"，其中i=1,2,3,4,5,6,

B="向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()

A.T∣⊂BB.A2+B=Ω

C.4与B互斥D.4与B对立

答案C

解析对于A,AI={2,3,4,5,6},B={2,4,6},

.∙.BUA,,故A错误;

对于B,A2+B={2}U{2,4,6}={2,4,6]≠Ω,故B错误；

对于C,4与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于D,Λt={4},石={1,3,5},4与石是互斥但不对立事件，故D错误.

题型三频率与概率

例3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元,

未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求

量与当天最高气温(单位：°C)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气

温位于区间[20,25),需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六

月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

[10,[15,120,[25,[30,[35,

最高气温

15)20)25)30)35)40]

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为K单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450

瓶时，写出y的所有可能值，并估计y大于零的概率.

解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知，

最高气温低于25的频率为2+r+36=0.6.

所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为06

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，

若最高气温低于20,则y=200×6+(450-200)×2-450×4=-l(X);

若最高气温位于区间［20,25),则r=300×6+(450-300)×2-450×4=300;

若最高气温不低于25,

则y=450×(6-4)=900,

所以利润y的所有可能值为一100,300,900.

y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知，最高气温不低于20的频率为

36+25+7+4V

9θ=0.8.

因此丫大于零的概率的估计值为0.8.

【教师备选】

某险种的基本保费为4(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保

费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数0123425

保费0.85〃a∖25a1.5〃L75α2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:

出险次数0123425

β605030302010

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%"，求P(B)

的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值.

解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的

频率为吗招=0.55,故P(A)的估计值为0.55.

(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于

30+30

1且小于4的频率为F^-=O.3,故P(B)的估计值为0.3.

(3)由所给数据得

保费0.85〃a1.25aL5aL75α2a

频率0.300.250.150.150.100.05

调查的200名续保人的平均保费为0.85αX0.30+aX0.25+1.254X0.15+1.54X0.15+

1.754X0.10+24X0.05=1.19254.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.

思维升华(1)概率与频率的关系

「频率是随机的，而概率是一个确定的值，

I菱If通常用概率来反映随机事件发生的可能

ʊ性的大小

(2)随机事件概率的求法

「、通过大量的重复试验，事件发生的频率

Ji会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就

J是事件的概率

跟踪训练3某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上

游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X=70时，y=460;X每增加10,Y

增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,

110,160,220,140,160.

(1)完成如下的频率分布表：

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量70110140160200220

42

频率

202020

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，

求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.

解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有

3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为

降雨量70110140160200220

13~4-7~32

频率

202020202020

X-70Y

(2)根据题意，y=460+-^-X5=j+425,

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时“)=P(Y<490或K>530)

=P(X<130或X>210)

=P(X=70)+P(X=IlO)+P(X=220)

=—1+1—3+,—2—3

20丁20丁20W

3

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为布.

课时精练

过基础保分练

1.下列说法正确的是()

A.任何事件的概率总是在(0,1)之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

答案C

解析不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,故A错；

频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错.

2.2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有

3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为()

A.99.61%B.99.49%

C.99.36%D.99.23%

答案A

777—3

解析中国体育代表团成员的疫苗接种率约为F-M).9961=99.61%.

3.在一个袋子中装有分别标注123,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现

从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事

件个数为()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3),(1,5),(2,4),

(3,5),共4个基本事件.

4.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,

则()

A.AQB

B.A=B

C.A+5表示向上的点数是1或2或3

D.A8表示向上的点数是1或2或3

答案C

解析由题意，可知A={l,2},8={2,3},

则AnB={1},AU8={1,2,3},...AUB表示向上的点数为1或2或3.

5.一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1,从中任取两球，则互斥

而不对立的两个事件为（）

A.至少有一个白球；都是白球

B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.恰有一个白球；一个白球一个黑球

D.至少有一个白球；红球、黑球各一个

答案D

解析对于D,红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、

黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合.

6.下列说法不正确的是（）

A.若事件A与8互斥，则AUB是必然事件

B.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，甲、

乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E="甲取到《红楼梦》"，事件F="乙取到

《红楼梦》”，则E与尸是互斥但不对立事件

C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A="向上的点数不大于5"，事件B=“向上

的点数为质数”，则BaA

D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则包含两个基本事件

答案A

解析对于A,事件A与B互斥时，AUB不一定是必然事件，故A不正确；对于B,事件

E与尸不会同时发生，所以E与尸是互斥事件，但除了事件E与产之外还有“丙取到红楼

梦”“丁取到红楼梦”，所以E与尸不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确；

对于C,事件4={1,2,3,4,5},事件8={2,3,5},所以B包含于A,C正确；对于D,基本事

件为正品，次品，故D正确.

7.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则

剩余动物的脚数为.

答案0,2,4,6,8

解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩

余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.

8.商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情

况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25,

第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40〜42的皮鞋,则售出的这300双皮

鞋中尺码为40-42的皮鞋约为双.

答案60

解析,.∙第1,2,4组的频数分别为6,7,9,

.∙.第1,2,4组的频率分别为

679

布=0.15,而=0∙175,而=0.225.

：第3组的频率为0.25,

二第5组的频率是1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2,

售出的这300双皮鞋中尺码为40〜42的皮鞋约为0.2X300=60(双).

9.盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球、2

个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},

事件。={3个球中既有红球又有白球}.

(1)事件。与A，B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的积事件是什么事件？

解(1)对于事件。，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故。=4+及

(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA

=4

10.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三

个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.

(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A”A2,A3,A4,4,Aa现从这6名运动员中

随机抽取2人参加双打比赛.

①用所给编号列出所有基本事件；

②设A为事件“编号为As和4的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表

示.

解(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27+9+18=54,

则应从甲协会抽取27X$3(人)，

从乙协会抽取9Xa=1(人)，

从丙协会抽取18X击=2(人).

故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.

(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有基本事件为(4,A2),(A∣,4),(A∣,

At),(Ai,As),(Ai,Aβ),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,Aβ)9(A3,A4)9(A3,A5),(A3,

AG),(A4,A5),(A4,4),(A5,Ao),共15种.

②事件A可用集合表示为{(4,A5),(Ai,A6),(A2,A5),(A2,A6),(4,A5),(Λ3,A6),(A4,

A5),(4,4),(4,46)}.

且技能提升练

11.2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活

疫苗(Vero细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单"(EUL).世卫组织

审评认为该疫苗的效力为78.1%,最高达90%,安全性良好，临床试验数据中没有发现安全

问题.所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部

分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效

力=对照组发病率Xlo0%.关于注射疫田，下列说法正确的是()

A.只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎

B.注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低

C.若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则效力为40%

D.若疫苗的效力为80%,对照组的发病率为50%.那么在IOooO个人注射该疫苗后，一定有

1000个人发病

答案B

解析由题意知，疫苗的效力为78.1%,最高达90%,但不是注射该种新冠疫苗，就一定不

会感染新冠肺炎，故选项A错误；

疫苗的效力为78.1%,最高达90%,所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大

降低，故选项B正确；

若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人,发病40人，则注射疫苗的效力=

10040

10OOO-20000…

-----丽-----XIoO%=80%,故选项C错误；

10000

若疫苗的效力为80%,对照组的发病率为50%,只是反应了一个概率问题，并不能说明在IOOoo

个人注射该疫苗后，一定有IOoO个人发病，故选项D错误.

12.一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5件，现

给出以下四个事件：

事件A：“恰有一件次品”；

事件8：“至少有两件次品”；

事件C：“至少有一件次品”；

事件Q：“至多有一件次品”.

则以下结论正确的是（）

A.AUB=AB.OUB是必然事件

C.AUB=BD.AUD=C

答案B

解析AU8表示的事件为至少有一件次品，即事件C,所以A不正确，C不正确；OUB表

示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；AUZ）表示

的事件为至多有一件次品，即事件所以D不正确.

13.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A=｛两次都击中飞机｝,B=｛两

次都没击中飞机｝,C=｛恰有一弹击中飞机）,。=｛至少有一弹击中飞机）,下列关系不正确

的是（）

A.AJDB.B∩D=0

C.AUC=DD.AUC=BUD

答案D

解析对于选项A,事件A包含于事件£>,

故A正确.

对于选项B,由于事件8,。不能同时发生.

故B∩D=0,故B正确.

对于选项C,由题意知正确.

对于选项D,由于41JC=O=｛至少有一弹击中飞机｝,不是必然事件；而为必然事件,

所以AUC≠BU∕）,故D不正确.

14.某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽

车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘坐上等

车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则

他乘坐上等车的概率为.

答案I

解析共有6种发车顺序：①上、中、工；②上、下、至；③中，上、下；④中、下、上；

⑤下、生、上；⑥下、上、中（其中画横线的表示袁先生所乘的车），所以他乘坐上等车的概

出工31

率受∙

应拓展冲刺练

4I

15.若A,B互为对立事件，其概率分别为P（A）=7，P（8）=c且x>0,j>0,则x+y的最小

χy

值为（）

A.7B.8C.9D.10

答案C

41

解析由题意知"1I,

则x+y=(x+y)g++5+(T+耨5+2Λ^∣=9,

当且仅当当即χ=2y时等号成立.

χy

16.甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏，他们将扑克

牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.

(1)写出甲、乙抽到牌的所有基本事件；

(2)若甲抽到红桃3,则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？

(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？

为什么？

解(1)分别用2,3,4,4'表示红桃2,红桃3,红桃4,方片4,则甲、乙抽到牌的所有基本事

件为(2,3),(2,4),(2,4'),(3,2),(3,4),(3,4'),(4,2),(4,3),(4,4'),(4,,2),(4,,3),

(4,,4),共12种.

(2)甲抽到红桃3,乙抽到的只能是红桃2,红桃4,方片4,因此乙抽到牌的数字比3大的概

*目2

率4∙

(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2),(4,2),(4,3),(4,,2),(4,,3),共5个基本事件，

57

因此甲胜的概率为运，乙胜的概率为正.

因为^5⅞<71⅛所以此游戏不公平.

§11.2古典概型与几何概型

【考试要求】1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件的个

数及事件发生的概率∙3.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率4了解几何概型的意义.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.古典概型

(1)古典概型的特征：

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有直限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.

(2)古典概型的概率计算的基本步骤：

①判断本次试验的结果是否是等可能的,设出所求的事件为A:

②分别计算基本事件的总数〃和所求的事件A所包含的基本事件的个数如

③利用古典概型的概率公式P(A)=求出事件A的概率.

(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同

名称不同点相同点

频率计算中的〃7,〃均随随机试验的变化而

频率计算公式变化，但随着试验次数的增多，它们的比值

都计算了一

逐渐趋近于概率值

个比嘴

古典概型的概:是一个定值，对同一个随机事件而言，相，

率计算公式

n都不会变化

2.几何概型

(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这

样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

⑵几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

②每个基本事件出现的可能性相等.

"管八叶构成事件4的区域长度(面积或体积)

(3川算z4式:"A)—试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(A)WL

(2)必然事件的概率：P(A)=ɪ.

(3)不可能事件的概率：P(A)-O.

(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(AiJB)=P(A)+P(B).

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AUB为必然事件.P(AUB)=L

P(A)=∖-P(B).

【常用结论】

若事件4,A2,∙,A“两两互斥，则P(AIIM2U…UA(I)=P(4)+P(A2)T——i-P(An).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)从一3,-2,-1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.(√)

(2)在一个正方形区域内任取一点的概率为0.(√)

(3)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与

不发芽”.(X)

(4)两个互斥事件的概率和为ɪ.(X)

【教材改编题1

I.袋中装有大小、形状完全相同的6个白球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率

为()

A.∣B.∣

eɪd'

答案B

2.在数轴的［0,3］上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()

A.gB.gC.；D.1

答案B

解析坐标小于1的区间为［0,1),长度为1,［0,3］的区间长度为3,故所求概率为今

3.抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则

P(AU8)=,P(ArIB)=.

答案1211

解析抛掷一枚骰子，所有基本事件是123,4,5,6,

2

事件4U3包括出现的点数是1,3,5,6这4个基本事件，故P(AU2)=3

事件ACB包括出现的点数是3这1个基本事件，故P(A∩B)=j

■探究核心题型

题型一古典概型

例1(1)(2022•昆明模拟)2021年，云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云

南省特色小镇”的通知》，命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”，其中

这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、

瑞丽班町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意

选两个去旅游，则其中一个是安宁温泉小镇的概率为()

ʌ'ɜB3C5D-6

答案A

解析6个云南省特色小镇分别为a,h,c,d,e,f,其中〃为安宁温泉小镇，则从6个云

南特色小镇中任意选两个的基本事件有3，6),(4,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,

d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,力共15个，其中一个是安宁

温泉小镇有(4,b),(a,c),(a,d),(«,e),(a,力共5个，所以要求的概率为P=V=

⑵(2021.全国甲卷)将3个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

答案C

解析把3个1和2个。排成一行，共有10种排法，分别是OOllI,10011,11001,11100,01011,

01101,OHIO,10101,10110,11010,其中2个0不相邻的排法有6种，分别是OlOll,01101,01110,

10101,ɪθɪɪθ,IIOIO,所以所求概率Pd=O.6.

【教师备选】

1.甲、乙、丙三位客人在参加中国科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲

山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人

恰好到同一景点参观的概率为()

1CICl

A∙8B-4C-8D∙2

答案B

解析因为三人去2个景点参观，每人只选择其中一个景点，所以每个人都有2种选法，共

有23=8(种)可能结果，其中三人恰好到同一景点有2种可能结果，所以三人恰好到同一景点

2I

参观的概率P=Q=7

O4

2.某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两

女)成立了“交通秩序维护”小分队.若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰

是一男一女的概率是.

答案5

解析三名男生分别记为1,2,3,两名女生分别记为4,5,则从该小分队中任选两名同学的所

有基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.设

“恰是一男一女”为事件A,则A包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),

共6个.故所求的概率为P(A)=益=,.

思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤

定型，根据事件的性质，确定事件类

(第：步卜

型为古典概型

定量，确定试脸包含的基本事件的总

第,步卜

数及所求事件包含的底本事件的个奖

求值，代入古典概型的概率计算公式

(第三步卜

求解

跟踪训练1(1)(2022.深圳模拟)五一国际劳动节放假期间，甲、乙两名同学计划在5月1日

到5月3日期间去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机

选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为()

ʌ-ðB3C2D3

答案B

解析甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方

法，所以一共有6种方法，他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为3=

1

3-

(2)(2022•郑州模拟)皮埃尔・德・费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，

对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若P是质数，且a,P互质，那么。的S一

1)次方除以P的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理,若在数集｛2,3,5,6,8｝

中任取两个数，其中一个作为p,另一个作为小则所取两个数符合费马小定理的概率为()

r92Cl

A

-5β∙20C5D∙S

答案B

解析在数集｛2,3,5,6,8｝中任取两个数，其中一个作为p,另一个作为α,基本事件总数为20,

所取两个数⑦，〃)符合费马小定理包含的基本事件有(2,3),(2,5),(3,2),(3,5),(3,8),(5,2),

9

(5,3),(5,6),(5,8),共9个，・•・所取两个数符合费马小定理的概率为P=而.

题型二几何概型

例2(1)在区间［—1,1］上随机取一个数k,使直线y=Z(x+3)与圆x2+y2=l相交的概率为

()

A.∣B.∣C当D.坐

答案C

解析因为圆心(0,0),半径r=l,直线与圆相交，

解得一坐＜A＜坐,

所以相交的概率p^—=4-

(2)刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的文化遗

产，他提出的割圆术可以估算圆周率兀，理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第

一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的

概率是()

3√3„3√3ClCI

Aλ.-f-C.丁D.τ-

4π2π2π4π

答案B

解析如图所示，设圆的半径为R,则圆的面积为兀k,圆内接正六边形的边长为R,面积为

3√5R2

6×5×Λ2×sinT=等&，则所求的概率P=W-=喳.

ZɔZTiKzπ

【教师备选】

1.已知函数人工)=SinX+Λ∕5COSX,当X£［0,兀］时，"r)21的概率为(

β∙4