数学人教A版必修2课时作业1-3-2球的体积和表面积

课时作业7球的体积和表面积——基础巩固类——1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(B)A．2π B．3πC．4π D．6π解析：由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S＝π×12＋eq\f(1,2)×4×π×12＝3π，故选B．2．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(B)A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2解析：根据题意球的半径R满足(2R)2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2，故选B．3．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是(A)A．eq\f(\r(6π),6) B．eq\f(\r(π),2)C．eq\f(\r(2π),2) D．eq\f(\r(6)π,6)解析：设正方体的边长为a，球的半径为R，则6a2＝4πR2.则eq\f(a,R)＝eq\f(\r(6π),3)，则eq\f(a3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,4π)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6π),3)))3＝eq\f(\r(6π),6).4．设一正方体的表面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是(D)A．eq\r(6)πcm3 B．eq\f(32π,3)cm3C．eq\f(8π,3)cm3 D．eq\f(4π,3)cm3解析：球的直径等于正方体的棱长．5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：S表＝4πR2＝6π，所以R＝eq\f(\r(6),2).设正四棱柱底面边长为x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x))2＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.故选B．6.一个四面体的顶点都在球面上，该四面体与球的组合体的正视图、侧视图、俯视图都是如图所示的图形．图中圆内有一个以圆心为中心，1为边长的正方形(含对角线)．则这个四面体的外接球的表面积是(B)A．π B．3πC．4π D．6π解析：由三视图可知：该四面体是棱长为1的正方体的一个内接正四面体ABCD，如图所示．∴此四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长eq\r(3).∴此四面体的外接球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝3π.故选B．7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π.解析：由三视图还原为实物图为半个球，则表面积为半球面＋底面圆，代入数据计算为S＝eq\f(1,2)×4π×12＋π×12＝3π.8．已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们的表面积S1，S2，S3满足的等量关系是eq\r(S1)＋2eq\r(S2)＝3eq\r(S3).解析：S1＝4πReq\o\al(2,1)，eq\r(S1)＝2eq\r(π)R1，同理，eq\r(S2)＝2eq\r(π)R2，eq\r(S3)＝2eq\r(π)R3，即R1＝eq\f(\r(S1),2\r(π))，R2＝eq\f(\r(S2),2\r(π))，R3＝eq\f(\r(S3),2\r(π))，由R1＋2R2＝3R3，得eq\r(S1)＋2eq\r(S2)＝3eq\r(S3).9.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是eq\f(3,2).解析：设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).10．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？解：设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3))＝eq\f(125π,3)(cm3)．此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以eq\f(125π,3)＝π×52×h，所以h＝eq\f(5,3)，即若取出这两个小球，则水面将下降eq\f(5,3)cm.11．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．解：∵ABBCAC＝182430＝345，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也即是Rt△ABC的外接圆的圆心，∴斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，由题设知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠O′CO＝30°，∴eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，(*)又2r＝AC＝30⇒r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).∴球的表面积为S＝4πR2＝4π(10eq\r(3))2＝1200π.球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.——能力提升类——12．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O­ABC的体积为eq\f(4,3)，则球O的表面积为(B)A．eq\f(16π,3) B．16πC．eq\f(32π,3) D．32π解析：设球O的半径为R，则OA＝OB＝OC＝R，因为OA，OB，OC两两垂直，所以三棱锥O­ABC的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×R2×R＝eq\f(1,6)R3.由eq\f(1,6)R3＝eq\f(4,3)解得R＝2.故球O的表面积为4πR2＝16π.故选B．13.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(A)A．eq\f(500π,3)cm3 B．eq\f(866π,3)cm3C．eq\f(1372π,3)cm3 D．eq\f(2048π,3)cm3解析：利用球的截面性质结合直角三角形求解．如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．14.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？解：设圆锥形杯子的高为hcm，要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥≥V半球，而V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×43，V圆锥＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\