单元提升卷11 统计与概率（解析版）

单元提升卷11统计与概率 （考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某社区有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名儿童居民．为了解该社区居民对社区工作的满意度，现采用分层抽样的方法从这些居民中抽取一个容量为n的样本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，则（

）A．120 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】根据分层抽样的方法计算即可.【详解】由题可知，解得．故选：C2．从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则A，B，C两两互斥，，再根据对立事件及互斥事件概率公式，即可求解.【详解】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则，，且.因为A，B，C两两互斥，所以.故选：C.3．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（

）

A．70.2 B．72.6 C．75.4 D．82.2【答案】C【分析】根据题意，由频率之和为1，可得的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由条件可得，则，故得分的平均数为：.故选：C4．五名学生按任意次序站成一排，则和站两端的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先和排两端，再将其余三人全排列，共有种情况，将五名学生按任意次序站成一排，共有种情况，再利用古典概型公式求解即可.【详解】首先将和排两端，共有种情况，再将其余三人全排列，共有种情况，所以共有种情况.因为五名学生按任意次序站成一排，共有种情况，故和站两端的概率为.故选：B5．已知随机变量，且，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据正态分布的性质求出的值，则，令，，则，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】因为随机变量，且，所以，即，所以，所以令，，所以，又，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为.故选：D.6．设，则等于（

）A．45 B．84 C．120 D．165【答案】D【分析】根据给定等式，利用二项式定理及组合数的性质计算作答.【详解】依题意，.故选：D7．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件为第一次取出的球为i号，事件为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用条件概率及全概率公式即可对每个选项进行分析【详解】由题意可得，故B正确；对于A，表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，故A正确；对于C，表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，应用全概率公式,有，故C错误；对于D，利用条件概率可得，解得，故D正确故选：C8．某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（

）A．若，则取最大值时B．当时，取得最小值C．当时，随着的增大而增大D．当时，随着的增大而减小【答案】C【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可.【详解】对于选项A，在次射击中击中目标的次数，当时对应的概率，因为取最大值，所以，即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故A不正确；对于选项B，，当时，取得最大值，故B不正确；对于选项C、D，，，，当时，为正项且单调递增的数列，所以随着的增大而增大，故C正确；当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故D不正确；故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·福建龙岩·统考二模）下列说法正确的是（

）A．一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16B．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加个单位C．数据的方差为，则数据的方差为D．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100【答案】ACD【分析】由百分位数的定义，即可判断A，由回归方程的性质即可判断B，由方差的性质即可判断CD.【详解】因为，所以这组数据的第75百分位数是第8个数，即为16，A正确；由回归方程可知，当解释变量每增加1个单位时，相应变量减少个单位，B错误；选项C，由，可得，C正确；由，得，所以这组样本数据的总和等于，故D正确；故选：ACD10．甲、乙、丙、丁四名教师分配到，，三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件：“甲分配到学校”；事件：“乙分配到学校”，则（

）A．事件与互斥 B．C．事件与相互独立 D．【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答.【详解】对于A，甲分配到学校的事件与乙分配到学校的事件可以同时发生，即事件与不互斥，A错误；对于B，甲分配到，，三个学校是等可能的，则，B正确；对于C，由选项B知，，，显然，因此事件与相互不独立，C错误；对于D，由选项BC知，，D正确.故选：BD11．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（

）A．B．已知，则等式对任意正整数都成立C．设，则的个位数字是6D．等式对任意正整数都成立【答案】ABD【分析】对A：根据运算求解；对B：可得，结合排列数分析运算；对C：根据组合数分析运算；对D：构建，利用的系数结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】对A：由可知，，A正确；对B：若，则，B正确；对C：，，则，故，，其个位数字是0，故的个位数字是9，C错误；对D：的展开式通项为，故展开式的的系数为，又，则，同理可得：的展开式通项为，即展开式的的系数为，由于，故，D正确；故选：ABD12．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（

）A．B．C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为D．当时，【答案】BC【分析】确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，则，则，，故A错误，B正确；对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，设，则，令，则（舍去）或或，当时，，当时，，故时，取得最大值，即，即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，此时，故C正确；对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，故一天遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D错误，故选：BC【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.【答案】350【分析】根据频率分布直方图及平均值计算出，再根据由频率分步直方图求百分位数的方法求解.【详解】由题意可得，解得，由知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.故答案为：35014．从1，2，3，4，5，6，7，8中依次取出4个不同的数，分别记作，若和的奇偶性相同，则的取法共有种（用数字作答）.【答案】912【分析】分类讨论两组数的奇偶性即可.【详解】若和都是奇数，则为一奇一偶，也一奇一偶，有种取法；若和都是偶数，则有以下两种情况：①两奇（偶）数，两奇（偶）数，有种取法；②两奇（偶）数，两偶（奇）数，有种取法；共计576+48+288=912种取法.故答案为：91215．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为.【答案】240【分析】由已知求得，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可.【详解】的展开式中，二项式系数和为，令，得的展开式中，各项系数和为，由题意可得，即，解得，所以的展开式的通项为，令，解得，故展开式的常数项为，故答案为：24016．某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是.【答案】【分析】根据正态分布的对称性求出学生的成绩高于120的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.【详解】因为，所以，所以，因为，所以，所以，则所求概率为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．已知的展开式中所有项的系数和是243．(1)求n的值，并求展开式中二项式系数最大的项；(2)求值．【答案】(1)，展开式中二项式系数最大的项为与(2)121【分析】（1）令可得n的值，再根据二项式系数的公式分析二项式系数最大项即可；（2）由（1），即求，再根据的展开式，令化简求解即可【详解】（1）由题意，令有，解得，故展开式中二项式系数中最大的为，为第3项与第4项，即展开式中二项式系数最大的项为与（2）由（1），即求，，故令有，故18．（2023·江西九江·统考一模）某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工的业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀.A地区分公司的测试成绩分布情况如下：成绩频数52050205

(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；(2)补充完成下列列联表，并判断是否有的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.优秀不优秀合计A地区分公司B地区分公司4060合计0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)作图见解析，75(2)表格见解析，有【分析】（1）先根据频率分布图的步骤作出频率分布直方图，然后根据中位数的定义求解即可；（2）先完成列联表，然后利用独立性检验作出判断即可.【详解】（1）根据频数分布表求得：的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，的频率为，则A地区分公司的频率分布直方图如图：

由图知A地区分公司员工成绩在的频率为，成绩在的频率为，设该公司员工成绩的中位数为，则，解得.（2）补充完成列联表如下：优秀不优秀合计A地区分公司2575100B地区分公司4060100合计65135200.故有的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异.19．抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）.29.2121634.4

(1)根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②若随机变量，则有，，；③取.【答案】(1)；(2)【分析】（1）用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；（2）根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.【详解】（1）将两边取对数，得，设，，则回归方程变为，由表中数据可知，，，所以，，所以，即，故y关于x的回归方程为，当时，.（2）因为z服从正态分布，其中，，所以，所以，故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为.20．某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值；在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记为人中成绩在的人数，求；(2)规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率．从所有参加考试的同学中随机抽取人，求获得等级的人数不少于人的概率.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得的值；由分层抽样原则可确定人中，成绩在的人数，根据超几何分布概率公式可求得结果；（2）用频率估计概率可确定获得等级的概率，根据二项分布概率公式，由可求得结果.【详解】（1），；成绩在，，的频率之比为，抽取的人中，成绩在的人数为人，.（2）用频率估计概率，获得等级的概率为，记抽取的人中，获得等级的人数为，则，，即获得等级的人数不少于人的概率为.21．网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：网民类型在直播间购买夏橙的情况合计在甲直播间购买在乙直播间购买男网民50555女网民301545合计8020100(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概率为.若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为；若上午选择在乙直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“”的概率取最大值的k的值.附：，其中.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)能(2)(3)40007【分析】（1）根据列联表信息，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）根据全概率公式计算即可；（3）根据二项分布求出在甲直播间购买夏橙的网民人数为k的概率，法一：利用组合数列不等式求解，法二，利用作商法判断概率的单调性求解.【详解】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.经计算得，依据小概率值