第07讲 空间几何体初步（人教A版2019必修第二册）（解析版）

第07讲空间几何体初步【人教A版2019】·模块一空间几何体的结构特征·模块二简单几何体的表面积与体积·模块三课后作业模块一模块一空间几何体的结构特征1．空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义

对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.(2)定理的实质多面体及其相关概念

①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.

③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.

④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.(3)旋转体及其相关概念

①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.

图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.

②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征棱柱棱锥棱台定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.相关概念(1)底面(底)：两个互相平行的面；

(2)侧面：其余各面；

(3)侧棱：相邻侧面的公共边；

(4)顶点：侧面与底面的公共顶点.(1)底面(底):多边形面；

(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；

(3)侧棱：相邻侧面的公共边；

(4)顶点：各侧面的公共顶点.(1)上底面：原棱锥的截面；

(2)下底面：原棱锥的

底面.

(3)侧面：其余各面.

(4)侧棱：相邻侧面的公共边；

(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.图形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱锥S-ABCD(或四棱锥S-AC)棱台ABCD-A'B'C'D'结构特征(1)底面互相平行且全等；

(2)侧面都是平行四边形；

(3)侧棱都相等，且互相平行.(1)底面是多边形；

(2)侧面都是三角形；

(3)侧面有一个公共顶点.(1)上、下底面互相平行，且是相似图形；

(2)各侧棱的延长线交于一点；(3)各侧面为梯形.分类棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……由几棱锥截得的就叫几棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱圆锥圆台球定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.相关概念(1)轴：旋转轴.

(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.

(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.

(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.(1)轴：旋转轴.

(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.

(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.

(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线

(5)顶点：母线的交点.(1)上底面：原圆锥的截面.

(2)下底面：原圆锥的底面.

(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.

(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.

(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分.(1)球心：半圆的圆心.

(2)半径：连接球心和球面上任意一点的线段.

(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.图形及表示圆柱OO'圆锥SO圆台OO'球O结构特征(1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.

(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.(1)底面是圆面.

(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.

(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.

(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.

(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴

的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合.

(2)球的截面都是圆面.棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.4．简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

(2)简单组合体的构成形式

①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.

(3)常见的几种组合体

①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.

③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.5．正方体的截面形状的探究通过尝试、归纳，有如下结论.

(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.

(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.

(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形.

(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.

对应截面图形如图中各图形所示【考点1棱柱、棱锥、棱台的结构特征】【例1.1】（2023·全国·高一随堂练习）下列命题正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱B．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体是棱台【解题思路】根据常见几何体的基本特征判断各选项即可.【解答过程】对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误；对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，故B错误；对于C，根据棱柱的定义，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C正确；对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故D错误.故选：C.【例1.2】（2023上·四川成都·高二校联考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C．多面体至少有5个面D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形【解题思路】根据多面体、棱柱和棱台的定义判断即可.【解答过程】A选项：各侧面都是正方形的四棱柱，可以是底面为菱形的直棱柱，不一定是正方体，故A错；B选项：有2个面平行，其余各面都是梯形，但若是各侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台，故B错；C选项：多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体，故C错；D选项：根据棱柱的定义可知六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.故选：D.【变式1.1】（2023下·山西朔州·高一校联考阶段练习）下列几何体中，棱数最多的是（

）A．五棱锥 B．三棱台C．三棱柱 D．四棱锥【解题思路】根据棱锥和棱柱的特征逐个求解其棱数进行判断【解答过程】因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥，故选：A.【变式1.2】（2023下·辽宁铁岭·高一校考期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（

）A．463 B．263 C．【解题思路】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可.【解答过程】

如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，该棱台的高等于大正三棱锥的高的23设大正三棱锥的高为DH，则：BH=因为大正三棱锥的高为:DH=D所以该棱台的高为23故选：A.【考点2旋转体的结构特征】【例2.1】（2023上·上海奉贤·高二校联考期中）下列命题正确的是（

）A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径【解题思路】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可.【解答过程】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.故选：A.【例2.2】（2023下·河北张家口·高一校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆【解题思路】由几何体的结构特征逐项判断即可.【解答过程】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确；用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故C错误；当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误.故选：B.【变式2.1】（2023上·上海徐汇·高二位育中学校考期中）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（

）A．16 B．18 C．20 D．22【解题思路】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【解答过程】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为CDAB=1设圆锥的母线长为l，根据相似比可得CDAB=ED即原圆锥的母线长为16.故选：A.【变式2.2】（2022下·高一课时练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（

）A．25 B．23 C．42【解题思路】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径.【解答过程】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4nπ180，解得n＝所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝25，所以小虫爬行的最短距离为25.故选：A.【考点3简单组合体的结构特征】【例3.1】（2023·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（

）A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱【解题思路】直接观察,即可出答案.【解答过程】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.【例3.2】（2022上·北京·高二校考阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5）【解题思路】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.【解答过程】当截面ABCD如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；当截面ABCD如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；故选：D.【变式3.1】（2023上·四川·高二校联考期中）如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为310，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为22，A，B，C是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则BC=（

A．2 B．3 C．2 D．5【解题思路】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，根据题意，结合勾股定理和三角形相似，求解即可.【解答过程】过点B，C作垂直于正四棱锥底面的截面，如图所示，由题意可得DE=310因为正四棱锥的底面边长为6，所以EF=62，DG=HI的长度为正四棱柱底面正方形对角线的长度，即HI=4，JA因为HA'EG=D因为BJHA'=DJ故选：C.【变式3.2】（2023下·河南商丘·高一校联考阶段练习）某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（

）

A．该几何体的面是等边三角形或正方形B．该几何体恰有12个面C．该几何体恰有24条棱D．该几何体恰有12个顶点【解题思路】根据几何体的形状逐个选项判断即可.【解答过程】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．故选：B.【考点4平面图形旋转形成的几何体】【例4.1】（2022·高一课时练习）下列叙述中，正确的个数是（

）①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据旋转体的知识逐一判断即可.【解答过程】①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．故选：B.【例4.2】（2022下·广东珠海·高一校考阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（

）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体【解题思路】根据旋转体的定义可得正确的选项.【解答过程】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B.【变式4.1】（2023下·湖北孝感·高一校联考阶段练习）如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴（直线l）旋转而成，这个图形是（

）A． B．C． D．【解题思路】根据旋转体的形成过程即可得出选项.【解答过程】根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A项，旋转后圆台；C项，旋转后圆台；D项，球体中挖去一个小球；故选：B.【变式4.2】（2023·高一课时练习）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点【解题思路】根据旋转体的形成过程，逐项判断，即可得出选项.【解答过程】将该几何体绕轴l旋转180°后形成一个组合体，该组合体是由圆台、圆柱、圆锥和球，半球组成的，由此A选项错误故选A.模块二模块二简单几何体的表面积与体积1．多面体的侧面积、表面积和体积多面体图形侧面积与表面积体积棱柱直棱柱的侧面展开图是矩形，

S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积)V柱=S底h(S底为底面面积，h为高)棱锥正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧=Ch'(C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积)(S底为底面面积，h为高)棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧=(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积)(S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高)2．旋转体的侧面积、表面积和体积旋转体图形侧面积与表面积体积圆柱圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)体积V=S底h(S底为底面面积，h为高)圆锥圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积

S=πr2+πrl=πr(r+l)体积V=S底h(S底为底面面积，h为高)圆台圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l，

表面积体积(S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高)球半径为R的球的表面积S=4πR2半径为R的球的体积3．空间几何体表面积与体积的常见求法(1)常见的求几何体体积的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

(2)求组合体的表面积与体积的方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.4．球的截面(1)球的截面形状

①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；

②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.

(2)球的截面的性质

①球心和截面圆心的连线垂直于截面；

②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：.

图形解释如下：

在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即.5．几何体与球的切、接问题常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.

常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：【考点1多面体的表面积与体积】【例1.1】（2023上·河北衡水·高三校考阶段练习）O,O1分别为正四棱台ABCD-A1BA．22 B．62 C．76【解题思路】分别算出上下底面面积，结合高以及棱台体积公式运算即可.【解答过程】由题意可知上、下底面的面积、高分别为S1所以正四棱台的体积为V=1故选：C.【例1.2】（2023·全国·模拟预测）已知体积为36π的球O与正四面体P1-A1B1A．13 B．33 C．3 D【解题思路】设球O的半径为R，根据球O的体积为36π，求得半径R，设正四面体P1-A1B1C1的棱长为aa>0，易得正四面体的高h=63a，利用等体积法求得棱长，将正四面体P2-【解答过程】解：设球O的半径为R，因为球O的体积为36π，所以43πR设正四面体P1-A1B所以该正四面体的体积VP又VP所以212a3=3a2如图所示，易知正方体的内切球即与正四面体P2-因为球O的半径R=3，所以正方体的棱长为6，则正四面体P2-A所以SP故选：D．【变式1.1】（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点均在同一个半径为A．3 B．33 C．6 D．【解题思路】利用正三棱柱外接球的性质得到a,h的关系式，从而利用二次函数的性质或基本不等式即可得解.【解答过程】解法一：设正三棱柱底面边长为a，高为h，底面外接圆的半径为r，则2r=asin60°=2a3，故又三棱柱的侧面积S=3ah，所以S2当h=2时，等号成立，则三棱柱的侧面积S=3ah最大值为3解法二：设正三棱柱底面边长为a，高为h，底面外接圆的半径为r，则2r=asin60°=2a因为a23+当且仅当a=62，h=2时，等号成立，则三棱柱的侧面积S=3ah故选：B.【变式1.2】（2023上·上海黄浦·高二格致中学校考期中）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（

）

A．618 B．69 C．612【解题思路】利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积.【解答过程】

如图所示，连接AC，EF∩AC=O，则四边形ABCD为正方形，且EO⊥平面ABCD，由正八面体可知，AB=BC=EA=EC=2，则AC=22，EO=所以V=2V表面积S=8S所以VS故选：B.【考点2旋转体的表面积与体积】【例2.1】（2023下·陕西西安·高一期中）两个球表面积的比为1:4，则体积的比为（

）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不确定【解题思路】由表面积的比得到半径之比，再得到体积之比.【解答过程】设两球的半径分别为r1，r∵表面积之比S1S2=4∴体积之比V1故选：C.【例2.2】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆台的上、下底面的半径分别为1，3，其表面积为26π，则该圆台的体积为（

A．76π3 B．383π3 C【解题思路】利用圆台的表面积公式求得母线长，进而求得圆台的高，从而利用圆台的体积公式即可得解.【解答过程】设圆台的母线长为l．高为h．所以π×12所以h=l所以该圆台的体积V=13×故选：D．【变式2.1】（2023上·辽宁·高三校联考期中）如图，在圆锥PO中，用一个平行于底面的平面去截圆锥PO，可得一个圆锥PO1和一个圆台O1O，若圆锥PO1的体积是圆锥PO体积的18A．12 B．14 C．23【解题思路】根据体积之比可得半径之比，即可根据圆锥和圆台的侧面积的公式即可求解.【解答过程】设圆锥PO1,PO的底面圆半径分别为r,R因为VPO1VPO=即R=2r，L=2l.所以SP故选：D.【变式2.2】（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，在该圆锥中内接一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为（

）A．2π B．3π C．23【解题思路】由题意作图，根据圆锥与圆柱的几何性质，可得到答案.【解答过程】由题意作图如下：由题设可知该圆锥的高PO=h=23该圆柱的底面半径为OF=r，由△PDC∼△PAB，则CDAB=PQPO故该圆柱的侧面积S=2π当x=3时，侧面积S取得最大值2故选：C.【考点3球的截面问题】【例3.1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（

）A．13π B．52πC．20π D．36π【解题思路】根据球中截面圆的性质，结合锥体体积公式即可求解半径，进而由球表面积公式求解.【解答过程】设平面截得截面圆的半径为r，球半径为R,所以2=R所以外接球的表面积为4π故选：B.【例3.2】（2023上·上海闵行·高二校考期末）如图，已知平面α截球O所得截面圆的半径为3，该球面的点到平面α的最大距离为3，则球O的体积为（

）

A．4π3 B．8π3 C．【解题思路】根据条件求出球O的半径即可.【解答过程】依题意得：截面圆半径r=3，设球O的半径为R，则球心O到截面圆的距离d=3-R如图，由勾股定理得：R2=3-R2+33故选：D.【变式3.1】（2023上·高二课时练习）已知三棱锥P-ABC满足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是线段AC上一点，且AD=3DC，球O为三棱锥P-ABC的外接球，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44π，则球O的表面积为（

A．72π B．86π C．112π D．128π【解题思路】先找到外接球球心，过BC的中点M作OM//PA，则OM⊥平面ABC，取OM=12PA，则O为P-ABC外接球球心，过点D作球O的截面，最大的截面过球心，最小的截面是过D且与OD【解答过程】如图，M是BC边中点，E是AC边中点，∵AB⊥AC，∴M是△ABC的外心，

作OM//PA，∵PA⊥平面ABC，∴OM⊥平面ABC，AM,MD⊂平面ABC，∴OM⊥AM,OM⊥MD，取OM=12PA∴O是三棱锥P-ABC的外接球的球心.E是AC中点，则ME//AB，ME=12AB=3，∵AD=3DC，∴ED=14AC=2，设PA=2a，则OM=a，OD2=O∴OA过D且与OD垂直的截面圆半径为r，则r=O这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径OA，∴πOA2OA2=故选：D.【变式3.2】（2023·河南·校联考模拟预测）一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积S=2πRH，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为H1H2A．12 B．85 C．2011【解题思路】由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题.【解答过程】∵H1H2=2，H1+∴S1故选：B.【考点4几何体与球的切、接问题】【例4.1】（2023下·山东德州·高一统考期末）如图：三棱台ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，球心位于上下底面所在的两个平行平面之间，AA1=B

(1)求三棱台ABC-A(2)计算球O的体积．【解题思路】（1）点O1,O2分别是正△ABC和△A1B1C1的中心，球的半径为R，且O1（2）在Rt△OO1A中，OO1【解答过程】（1）如图

设点O1,O2分别是正△ABC和△A1B1C在等边△ABC中，由AB=3，得A同理，得A1如下图，过点A作AP⊥A1O2，则在△A所以正三棱台ABC-A1B1CO1所以MN=372，所以正三棱台ABC-A

正三棱台ABC-A1B又因为正三棱台ABC-A12所以正三棱台ABC-A1B（2）在Rt△OO1即OO12+1=R即3-OO12所以球O的体积为：V=4【例4.2】（2022上·四川·高二校考阶段练习）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2cm

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V；(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.【解题思路】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；（2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.【解答过程】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4又因为三棱柱ABC-A1B所以V

设圆柱底面圆的半径为r，则r=2圆柱体积VO所以剩下的几何体的体积V=(12-2（2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为1cm则内切球球的体积V=4直三棱柱ABC-A1B它的外接球的球半径R满足2R=32所以，该直三棱柱的外接球的表面积为S=4π【变式4.1】（2023上·上海浦东新·高二校考期中）如图，已知球O的表面积为900π，ABCD-(1)若AB=12，BC=9，求球心O到平面ABCD的距离：(2)若ABCD-A1【解题思路】（1）由球的表面积可得半径R，又球为长方体的外接球，则直径等于体对角线，进而可侧棱长，即可求解；（2）根据外接球得2a2【解答过程】（1）由球O的表面积为900π=4πR2即2R=(12)2+因为球位长方体的外接球，则球心即为长方体的中心；则球心O到平面ABCD的距离为AA（2）ABCD-A1B1C1D则2R=a2+S侧当且仅当2a2=即b=152，a=15则V=a×a×b=15×15×152【变式4.2】（2022下·广东东莞·高一校联考期中）如图，在长方体ABCD-A1(1)若该长方体被过顶点A，B1，D(2)若该长方体的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积和表面积.【解题思路】（1）利用柱体和锥体的体积公式即可求解；（2）根据长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线长度，即可求出外接圆半径，再结合球的表面积和体积公式即可求解.【解答过程】（1）因为长方体的体积为V长三棱锥的体积为VA-所以剩余部分的体积为V=2-（2）由题可知球O为长方体的外接球，则球O的半径R=1故球O的体积为V球球O的表面积：S=4π模块三模块三课后作业1．（2023上·新疆·高二八一中学校考阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（）A．

B．

C．

D．

【解题思路】结合几何体的特征逐个判断即可.【解答过程】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球．故选：B．2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（

）A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台【解题思路】根据圆柱，棱柱，棱台，棱锥的定义进行判断.【解答过程】对于A，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，而以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；对于B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；对于C，如图所示，若AB=AC=CD=BD=4，BC=AD=3，满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面BCD不是正三角形，故C错误；对于D，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.若截面与底面不平行，则不是梭台，故D错误.故选：B.3．（2023下·高一课时练习）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是（

）A． B． C． D．【解题思路】将A、B、C、D选项图形绕对称轴旋转可知A选项符合题意.【解答过程】此几何体自上向下是由一个圆锥和一个圆台构成，是由A中的平面图形旋转形成的.故选：A.4．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（

）A．6π B．63π C．9π D【解题思路】利用圆锥与其内切球的轴截面，由已知数据计算出圆锥底面半径和母线长，可求圆锥的表面积.【解答过程】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，由已知O1D=1,SO因为SO=3，所以圆锥底面圆半径AO=SO⋅tan30∘则圆锥的表面积为S=π故选：C．5．（2023下·广东深圳·高一校考期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（

）A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成B．一个球、一个长方体、一个棱台构成C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成D．一个球、一个五棱柱、一个校台构成【解题思路】根据组合体基本构成即可得答案.【解答过程】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.故选：B.6．（2023下·辽宁·高一校联考期末）若正五边形ABCDE的中心为O，以AO所在的直线为轴，其余五边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（

）A．该几何体为圆台B．该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体C．该几何体为圆柱D．该几何体是由圆柱和圆锥组合而成的简单组合体【解题思路】根据圆柱、圆锥、圆台的概念判断即可.【解答过程】由题意可知形成如图的几何体，

该几何体是由圆台和圆锥组合而成的简单组合体.故选：B.7．（2023上·湖南衡阳·高三校联考阶段练习）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为1km，峰底A到峰顶S的距离为4km，B是山坡SA的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（A．2km B．3km C．25【解题思路】根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得∠A'【解答过程】以SA为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.则从点A到点B的最短路径为线段A'B，lA过S作SP⊥A'B因为A'B=4故选:D.8．（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有某种溶液，AB=6,A1B1=2，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的34，若图1和图2中溶液体积分别为A．34 B．3839 C．1 D【解题思路】根据棱台的体积公式，列出两个等式，相除即可得到本题答案.【解答过程】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为4，在图2中，中间液面四边形的边长为5，则V1所以V1故选：D.9．（2023上·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）三棱锥A-BCD的四个顶点都在表面积为20π的球O上，点A在平面BCD的射影是线段BC的中点，AB=BC=23，则平面BCD被球O截得的截面面积为（A．23π BC．4π D．【解题思路】分别找出△BCD和△ABC的外接圆圆心F和H，通过过F作平面BCD的垂线，过H作平面ABC的垂线，两垂线的交点即为三棱锥A-BCD外接球球心O，再通过几何关系求出△BCD外接圆半径，即可求其被球O截得的圆的面积．【解答过程】设BC中点为E，∵点A在平面BCD的射影是线段BC的中点E，∴AE⊥平面BCD，AE⊥BC，∴AB=AC，又∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形．取AC中点为G，连接BG交AE于H，则H是△ABC外心．连接ED，在ED上取F，使得FD=2EF，则F为△BCD外心．过F作平面BCD的垂线，过H作平面ABC的垂线，两垂线的交点即为三棱锥A-BCD外接球球心O，则四边形OHEF是矩形，OF=HE=1连接OB，BF，设△BCD外接圆半径FD=BF=r，设球O半径为OB=R．∵球O的表面积为20π，∴4∴在Rt△OBF中，r=BF=R∴平面BCD被球O截得的截面面积πr故选：C.10．（2023上·山东青岛·高三校考期中）如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1=2，AC=BC=1A．81π16 B．6π C．243【解题思路】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.【解答过程】因为△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=1，所以△ABC的外接圆的圆心为AB的中点O1，且A设A1B1的中点为E，连接O1E