2023年湖南省郴州市普通高校对口单招数学自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省郴州市普通高校对口单招数

学自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

1.直线3x+4y=b与圆χ2+y2-2x-2y+l=0相切，则b的值是（）

A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12

2.函数'i1的定义域为()

A.(0,2)B,(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)

3.己知∣x-3∣<a的解集是{x卜3<x<9},则a=()

A.-6B.6C.±6D.0

4.不等式-2χ2+x+3<0的解集是()

A.{x∣x<-1}B.{x∣x>3∕2}C.{x∣-1<x<3∕2}D.{x∣x<-1或x>3∕2}

5.函数y=Asin（wx+α）的部分图象如图所示，则（）

A.y=2sin(2x-π∕6)

B.y=2sin(2x-π∕3)

C.y=2sin(x+π∕6)

D.y=2sin(x+π∕3)

6.5人排成一排，甲必须在乙之后的排法是（）

A.120B.60C.24D.12

7.如图，在长方体ABCD—AIBlClDl中，AB=AD=3cm,AA∣=2cm,

则四棱锥A-BBiDiD的体积为OCm3.

A.5B.6C.7D.8

8不等式χL2x<0的解集为()

(-∞,0)U(2»+∞)

A.

B.(0,2)

C10,21

D.R

9.在等差数列｛a11｝中,若a2=3,a5=9,则其前6项和S6=()

A.12B.24C.36D.48

10.正方形ABCD的边长为12,PA_L平面ABCD,PA=12,则点P到

对角线BD的距离为（）

A.12后

B.12圾

C.βV3

D.6√6

二、填空题（10题）

IL在:RtAABC中,已知C=90°,C=2®b=6则B=.

12.已知等差数列｛al1｝的公差是正数，且a3∙a7=-l差上+%=-%则

S20=.

ɪɜ不等式∣3-2W≤1的解集是_______________________________

14.已知（2,0）是双曲线χ2-y2∕b2=［（b>0）的焦点，贝IJb=.

15.1+3+5+...+(2n-b)=

16.已知α为第四象限角，若COSa=I/3,则cos(a+π∕2)=.

17.设f(x)是定义在R上的奇函数，当XWO时，f(x)=2χ2-χ,则f⑴

不等式-F-2x-8>0的解集为________

18.

19.正方体ABCD-A∣B∣CιD,中AC与AC1所成角的正弦值为J

20.已知正实数a,b满足a+2b=4,贝IJab的最大值是.

三、计算题(5题)

21.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这

些书随机排在书架上.

(1)求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种？

(2)求英语书不挨着排的概率P。

22.求焦点X轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

f(x)+3f(—)=x

23.已知函数f(x)的定义域为｛x∣x≠O｝,且满足X

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并简单说明理由.

24.己知｛a11｝为等差数列，其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,求公差d.

25.已知函数y=0cos2x+3sin2x,x£R求：

(1)函数的值域；

(2)函数的最小正周期。

四、简答题(10题)

26.已知向量a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∕∕v;求

实数Xo

ax2+1

XX)=

27.设函数bx+c是奇函数(a,b,c∈Z)且f(1)=2,f(2)<

3.

(1)求a,b,c的值;

(2)当x<0时一，判断f(x)的单调性并加以证明.

28.在等差数列&；中，已知a”a4是方程χ2-10x+16=0的两个根，且a4

>a,,求S8的值

29.一条直线1被两条直线：4x+y+6=0,3x-5y-6=0截得的线段中点恰好

是坐标原点，求直线1的方程.

/(x)=log^(α>0.α≠0)

30.已知函数

(1)求f(χ)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性，并加以证明；

(3)a>l时，判断函数的单调性并加以证明。

31.证明：函数照必R+R(xe火)是奇函数

32.某商场经销某种商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买，根

据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,求3为顾客中至

少有1为采用一次性付款的概率。

33.在抛物线y2=12x上有一弦(两端点在抛物线上的线段)被点M

(1,2)平分.

(1)求这条弦所在的直线方程;

(2)求这条弦的长度.

34.等比数列｛an｝的前n项和Sn,已知Si,S3,S2成等差数列

(1)求数列｛atl｝的公比q

(2)当ai—a3=3时，求Sn

35.设等差数列的前n项数和为Sn,已知

4=［且幽=1.号+S?=21,求㈤

A」的通项公式及它的前n项和Tn.

五、解答题(10题)

36.甲、乙两人进行投篮训练，己知甲投球命中的概率是1/2,乙投球

命中的概率是3/5,且两人投球命中与否相互之间没有影响.

(1)若两人各投球1次，求恰有1人命中的概率；

(2)若两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率.

37.

已知函数/(x)=Sin.jacosA的一个零点是J.

4

(I)XX数。的值；

(∏)igg(x)h∕Q∙).∕(-x)+2∕sinΛ∙cosΛ∙,求g(x)的单调递增区间.

38.已知等差数列｛a<1｝的公差为2,其前n项和Sn=Pnn+2n,n∈N

(1)求P的值及an;

(2)在等比数列｛bn｝中，b3=aι,b4=a2+4,若｛&｝的前n项和为Tn,求

证:数列｛L+1∕6｝为等比数列.

39.

已知数列｛b∏｝是等差数列>b∣=l.bι+b2+...-b∣o=145.

⑴求数列｛bn｝的通项公式b„:

(2)设数歹|｛%｝的通项an=loga(l+y)(其巾a>0且a=l)记Sn是数列｛an｝的前n项和，试比较

n

Sn与gIOgabw的大小，并证明你的结论.

40.

已知二次函额f(x)=ax∙⅛x∙⅛的图象过两点A(-1，0)和B(5.0).且其顶点的纵坐

标为-9,求

①a、b、c的值

②若f(x)不小于7，求对应X的取值范围。

41.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著

名品牌”A系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的A系列一个阶段

的调研得知，发现A系列每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格

x(元/千克)近似满足关系式f(x)=a∕x-4+10(l-7)2其中4<x<7,a为常

数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格X的值，使该商场每

日销售A系列所获得的利润最大.

42.已知函数f(x)=Iog?l+x/1-x.

⑴求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)用定义讨论f(x)的单调性.

43给定椭圆C=x2∕a2+y2∕b2(a>b>0),称圆Sχ2+y2=a2+b2为椭圆C的

“伴随圆已知椭圆C的离心率为丁彳72,且经过点(0,1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)求直线1:x—y+3=0被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长.

44.已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=i(a>b>0)的离心率为一，其中左焦点F(-

2,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中

点M在圆ιχ2+y2=l上，求m的值.

]M

求证：-----Λ------A=4λ

SinlO0CoslO0

45.

六、单选题(0题)

46.下列四组函数中表示同一函数的是()

B.y=21nx与y=lnx2

3π

C.y=sinx与y=cos(2)

D.y=cos(2π-x)与y=sin(π-x)

参考答案

LD

圆的切线方程的性质.圆方程可化为C(X-I)2+(y-l)2=l,.∙.该圆是以(1,

1)为圆心,以1为半径的圆，半直线3x+4y=

.3×ɪ÷4×ɪAI,

≡6'I修圜利切•・・------77-≡I.HAe

√3r÷T

故i⅛D.

2.C

对数的性质.由题意可知X满足log2X-l>0,即bg2X>bg22,根据对数函数

的性质得x>2,即函数f(x)的定义域是(2,+∞).

3.B

若α≤0,则不等式忸一3|<。的解集为0,不符

题意

若。〉0,由忸-3∣<α可得-a<x-3<a

解得-α+3<z<α+3

由不等式的解集为口∣-3<z<9｝可得

—α÷3=-3

α÷3=9

解得〃=6

4.D

一元二次不等式方程的计算.-2χ2+χ+3<0,2χ2-x-3>0即(2x-3)(x+l)>

0,x>3∕2或XV-L

5.A

三角函数图像的性质.由题图可知，T=2[π∕3-(-π∕6)]=π,所以ω=2,由五

点作图法可知2×π∕3+α=π∕2,所以a=-π∕6所以函数的解析式为

y=2sin(2x-兀/6)

6.C

此题分两步，

第一步排甲乙，

甲、乙相邻可把甲乙捆绑看成一个元素，

又甲必须在乙之后，

故甲、乙相邻且甲必须在乙之后只有一种排

法，

第二步,甲乙看成一个元素和其余三个人共四

个元素随便排，

有«=24种排法,

.∙.共有1XA：=24排法，

7.B

四棱锥的体积公式;长方体底面ABCD是正方形，.∙.Z∖ABD中BD=3

应cm,BD边上的高是3/2&cm,...四棱锥A-BBIDDl的体积为去

1/3x3应×2×3∕2√2=6

8.B

9.C

等差数列前n项和公式.设

等卓数列的公叁为d,∖∙<ij«3∙α∣≡9

∕0I+d,3.

•••储用d∙2.α.∙L则其前6M和

∣aI+4d≡9>

S.=6+与BX2・36.故选C∙

10.D

连结4。交BO于0,由线面垂直的判定与性质

证出8D_L平面P4C,从而得到PO_L8。，可

得Po长就是点P到B。的距离.在zλP40

中，利用勾股定理算出P。，即可得到点P到

的距离.

bVβV∑

SinB=-=-k=—

c

11.45°,由题可知2√32,因此B=45。。

12.180,

由等差数列的性质可得

。3+。7=。4+。6=—4,

又。3•。7=-12,.∙.。3,。7为方程

X2+42?-12=O的两根，

解方程可得两根为：-6,2,又公差是正

数，

。3=-6,。7=2,「.公差d=ʒ—合=2,

(一ɔ

.,.flɪ•—Q32d—10,

C/、20×19

.∙,⅛o=20×(-10)+―--×2=180,

13.{x∣l<=x<=2}

14.

J双曲线的性质.由题意：c=2,a=L由c2=a?+b2.得b2=4-l=3,所以b=

15.n2,

l+3+5+...+(2τι-1)共有/1项

1+3+5+.∙.+(2τι—ŋ

=i×[l÷(2n—l)]×n

1C

=1y×2n×τι

=n2.

16.

2√2

飞利用诱导公式计算三角函数值.∙∙∙a为第四象限角，・•.Sina­

/i2~^_2-72/IK、,2√2

Vɪ-∞sa----------,cos(α4^-)=~sɪna

JN3

is.函数的奇偶性的应用.∙∙∙f(x)是定义在只上的奇函数，且x<0时,

f(x)-2x2-x,f(1)==-f(-1)=-2x(-1)2+(-l)=-3.

18.(-∞,-2)U(4,+∞)

19.

正g

H,由于CG=I,ACl=百，所以角AClC的正弦值为3O

20.2基本不等式求最值.由题

意得4=α+2622J标.即ah≤2《当且仅当

α=2.6=1时等号成立）.即ab的最大值是2.

21.

解：（I）利用捆绑法

先内部排：语文书、数学书、英语书排法分别为/；、"、W

再把语文书、数学书、英语书看成三类，排法为4；

排法为：H=103680

（2）利用插空法

全排列：/1,2

,

语文书3本，数学书4本排法为：A1

插空：英语书需要8个空中5个：4

英语书不挨着排的概率：尸=4津=2

黑99

22.解：

实半轴长为4

Λa=4

e=c∕a=3∕2,Λc=6

Λa2=16,b2=c⅛2=20

）1

双曲线方程为162。

23.

(1)依题意有

/(x)+3/(1)=x

X

∕d)+3∕(x)J

XX

解方程组可得：

3-x2

/(x)

Sx

(2)函数为奇函数

・・•函数/(x)的定义域为卜卜W0｝关于原点对称，且

3_(T『3-χ2

ʃ(-ɪ)==一/(χ)

8(-x)8x

工函数/(x)为奇函数

24.

解；因为a3=6,S3=i2,所以S3=12=独立也=幽土义

22

解得aι=2,a3=6=aι+2d=2+2d,解得d=2

25.

:解：y=V5cos2x+3sin2x

=2√3(-ɪ-cos2x+~sin2x)

=2√3(sin^cos2x+cosɪsin2x)

=2λ∕Jsin(2x+*

(1)函数的值域为[一2百,20].

(函数的最小正周期为

2)T=22=7Γ.

2

26.

μ-a∙∖-2b-(L2)+(x,l)≡(2x,l4)v=(2-x.3)

*.,μ∕∕v

1

x=—

/.(2x+1.4)=(2-x,3)得2

27.

∙.∙函物p*)=W^是奇函数/(x)=-∕(-x)

ax2+↑ax2^↑

.∙.-bx+c⅛x+c，得2c=0，得C=O

£11=2

又∙；由f(1)=2，得b

又■⑵<3，竽。∙W<b<J

/八X3+1

J(X)=—

Vb∈Z，b=lΛ'X

(2)设一l<七<X2V0

/(⅞)-∕(Xi)=^-^

V⅞^1.∙.⅞-ɪι>0l>vp>θ∕(⅞)-∕(⅞)≤θ

若x«-l时/(⅞)-∕(xι)>0

故当XV-I时为增函数；当一wx<o为减函数

28.方程Xa-IOX+16=0的两个根为2和8,又4＞出

/,ɑɪ=2,0.=8

又∙.∙a4=aI+3d,.*.d=2

W%8(8-l)rf..8x7×2„

弘x

,=Iial1+-----------O×Λ+-----------Ii

∖22o

29.

解:设所求直线L的方程为y=kx,由题意得

V=Ax.、{y≈kκ,、

-(1)√(2)

4x+y+6=0[3x-5j-6=0

解方程组(1)和(2)分别是王=---,x2=-^-

4+A3—5k

又∙冲=066=0,得A=-ɪ

4+A+3-5A6

若k不存在,则直线L的方程为x=0

因此这直线方程为y=-,x

6

30.(1)-l<x<l

(2)奇函数

(3)单调递增函数

31.证明：3∕(x)=⅛(Jx'+l+x)

.,.∕(-^)=ɪg(Vx3+1-X)=-/(χ)

则，此函数为奇函数

32.

P=I-(1-0,6)5=l-0.064=0.936

33.V(1)这条弦与抛物线两交点4孙无次马J2).∙.M=l2xι*=12丐

•••(必-力)(必+%)=12(七-七)•••弦的中点为Md,2)

.V.-V12126Cc/1、

••-------2=--------=------=—=y-2=2(X-1)

χιfyl+y12%2

二弦所在的直线方程为3χ-y-l=0

(2)：.\y2=Xlx得(3x-l)2-12x=0Λ9xz-18x+l=0

[3x-y-l=0

弦长/=√1T9^4-4×∣=√I5x殍=半

34.

(1)由已知得

αl÷(αl+aq)=2(α1+qg+qg?)

U

35.(1)V的¾2¾+5s=21ʌɑɪɪrfɪl

又丁等差数列加：

)+N

2

T_%

(2)*Λ+1

36.

W：记甲投球命中为事件A,甲投球未命中为事件；J:乙投球命中为事件B,乙投球未命中为事件后。则：

1—1?—2

P(4)=-;P(A)ɪQ；P(S)=-;P(B)=-

(I)记两人各投球1次.恰右】人命中为事件

——12131

P(C)≈P(A)∙P(B)+P(A)∙P(B)≈-×→-×-≈-

(2)记两人各投球2次4次投球中至少有1次命中为步件D,则.两人各投球2次，4次投球中全未命中为事

件方

-----1122124

P(P)=l-P(D)=l-P(∕l).P(∕l)∙P(β)∙P(B)=l--×-×-×-=l4--=—

ZZ33/3ZA

37.

(I)依题意，得/¢)=0,

4

.ππ√2√2i∕

gπ∏πsin----ncos—=--------------=0

4422'

解得α=l.

(∏)由〔I〕彳导/(x)=SinX-CoSX.

g(V)=/(-V)∙/(-V)+2√3sinXCOS.v

=(sin.v-cos.v)(-sin-V_cos.v)+jɪsin2.v

=(cos2Λ-sin^ɪ)+6Sin2.v

=cos2.r+0sin2.v

=2sin(2.λ+—).

6

由2Eq≤2x+V≤2E+3,

彳导*7Γ-1≤xwk7i+?,k∈Z.

36

所以g(-r)的单调递增区间为［E-N,a+工］,A∈Z.

38.

(1)S≈naIH------------d≈na∣+n(w

w£»

—I)=+(αι—1)〃•又SR=/nJ+2〃∈N

A=I9。】-1=2.。1=3,。,=3+(〃-1)

•2,∙'∙α.=3+(〃-1)×2=2n+1.

e

(2).∙bi=a]=3,∙'∙6∣=。2+4=9,∙'∙q=3,:∙btt

3i,

=63g"-=3×3"=3"^,Λ6,=ɪΛT,=

ɪ(l-3^)

3_______3--1.τ,13".

1-3一Γ-∙∙T∙+R=1^∙'TI+4

O

r

=Ui=S3«>2)・；•数列｛T∙+』)为等比

3O

ʃ

数列.

39.

b=1

χb∖=1

（1）设数列附J的公差为/由题意得,.*.h,=3n—2

+华心”=145=c∣=3l

(2)由儿=3”-2知

5=Iogα(1+1)+logu(1+—)+...÷lot∣(1+--------)

π43«-2

=log,,[(1+1)(1+-)...(1+——)]

43∕∣-2

而!Io浜d+t=bg“痂∑7∙于是，比校S"与∣log16,+∣的大小O比较(l+l)(l+1)…(1+

不匕)与师TT的大小•

取"=1,<(1+1)=√8>√4=√3∙1+1

取"=2,<(1+1)(1+A)>√8>√7-√3×2÷1

推测：(1+1)(1+4)...(1+-ɪ-)>√ξ^7T「)

43"-2v

①当〃=I时，已验证()式成立.

②假设”=A(A≥1)时「)式成立，gP(l+l)(l+-!-)...(l÷-!—)>√3FT7

43K-2v

则当“2+1时，(l+l)(l+2)∙∙∙(l+-)(1+——L_-)>√3A+I(1÷-I-)

43κ-23(λ+1)-234+1

∙.∙J√3A+1--(，31+41

+1

(3442)，—(3衣+4)(34+1)-9人+4

=-------------------------..........-=-----------T>O

(3代+1厂(3代+1)-

/.7；；(3λ+2)>√3A÷4=步(&+1)+1

从而(l+l)(l+')…(I+，一)(l+-ri-)>∖3(k+l)+l.即当〃4+1时，(')式成立

43k_2ɜjt_JW

由①②知，S式对任意正整蕨〃都成立.

于是，当a>l时，log1⅛,:,当O<a<l时，log1⅛,1

40.

①依题意，图象的顶点为(2,-9)

设这二次函数的解析式为f(x)=a(χ-2)-9∙

由于其图像过点A(-1.0)

a(-l-2)-9=0

解得李1

二这二次函数为f(x)=(x-2)-9

即f(x)=x-4x-5

∙,∙arl,b=_4,c=-5,'

②依题意，f(x)≥7

即X-4χ-5≥7

X-4χ-12≥0

(x-6)(x+2)≥0

∙・∙x=≤-2或x36■

41.(1)由题意可知,当x=6时，f(x)=15,即a∕2+10=15,解得a=10,所

以f(x)=10f(x-4)++10(x-7)2.

(2)设该商场每日销售A系列所获得的利润为h(x),h(x)=(x-4)[10∕x-

4+10(x-7)2]=1Ox3-180x2+1050x-l950(4<x<7),h(x)=30x2-360x+1050,令

h(x)=30χ2-360x+1050=0,得x=5或x=7(舍去)，所以当4VχV5时，

h(x)>O,h(x)在(4,5]为增函数;当5<乂<7,h(x)<O,11仪)在[5,7)为减函

数，故当x=5时，函数h(x)在区间(4,7)内有极大值点，也是最大值

点，即x=5时函数h(x)取得最大值50.所以当销售价格为5元/千克时，

A系列每日所获得的利润最大.

42.⑴要使函数f(x)=bg21+x∕l-x有意义，则须l+x∕l-x>0解得-IVXV

I,所以f(χ)的定义域为{χ∣-lVχ<l}∙

1

(2)因为f(x)的定义域为{x∣-lVxVl},且f(-x)=log2(l+x∕l-x)-=-log

21+χ∕l-χ=-f(χ).所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.

(3)设-1<乂1<乂2<1,则f(x1)-f(x2)=l0g1+χ1/1+x2=l0g(1+χ1)(1-x2)f(1