高考数学（理）一轮复习课时训练第13章推理与证明算法复数66

【课时训练】第66节数学归纳法一、选择题1．(2018德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23【答案】D【解析】当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.2．(2018常德一模)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A．3n－2 B．n2C．3n－1 D．4n－3【答案】B【解析】计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.3．(2018沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3【答案】A【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．4．(2018太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1 B．2nC.eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1【答案】C【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)个区域．5．(2018山东菏泽模拟)对于不等式eq\r(n2＋n)＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，eq\r(12＋1)＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立．即eq\r(k2＋k)＜k＋1，则当n＝k＋1时，eq\r(k＋12＋k＋1)＝eq\r(k2＋3k＋2)＜eq\r(k2＋3k＋2＋k＋2)＝eq\r(k＋22)＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【答案】D【解析】在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法．∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．二、填空题6．(2018合肥检测)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n－1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．【答案】k＋2【解析】n＝k(k≥2，且k为偶数)的下一个偶数为k＋2，根据数学归纳法的步骤可知，应填k＋2.7．(2018淮北三校联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn－1))2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.【答案】eq\f(n,n＋1)【解析】由(S1－1)2＝Seq\o\al(2,1)得：S1＝eq\f(1,2)；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝eq\f(2,3)；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝eq\f(3,4).猜想Sn＝eq\f(n,n＋1).8．(2018三亚模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．【答案】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2【解析】当n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答题9．(2018秦皇岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．(1)求a1，a2的值；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．(1)【解】当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝eq\f(1,2).当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－eq\f(1,2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)))2－a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－\f(1,2)))－a2＝0，解得a2＝eq\f(1,6).(2)【证明】由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝eq\f(1,2－Sn－1).由(1)得S1＝a1＝eq\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).猜想Sn＝eq\f(n,n＋1)(n∈N*)．下面用数学归纳法证明这个结论．①当n＝1时，结论成立．②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝eq\f(k,k＋1)，当n＝k＋1时，Sk＋1＝eq\f(1,2－Sk)＝eq\f(1,2－\f(k,k＋1))＝eq\f(k＋1,k＋2).即当n＝k＋1时结论成立．由①②知Sn＝eq\f(n,n＋1)对任意的正整数n都成立．10．(2018长春三校联考)已知f(n)＝1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,n3)，g(n)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n2)，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．(1)【解析】当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝eq\f(9,8)，g(2)＝eq\f(11,8)，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝eq\f(251,216)，g(3)＝eq\f(312,216)，所以f(3)＜g(3)．(2)【证明】由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立．即1＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,33)＋eq\f(1,43)＋…＋eq\f(1,k3)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋eq\f(1,k＋13)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k2)＋eq\f(1,k＋13)，因为eq\f(1,2k＋12)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2k2)－\f(1,k＋13)))＝eq\f(k＋3,2k＋13)－eq\f(1,2k2)＝eq\f(－3k－1,2k＋13k2)＜0，所以f(k＋1)＜eq\f(3,2)－eq\f(1,2k＋12)＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．11．(2018江苏南通模拟)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c(n∈N*)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；(2)若0＜c≤eq\f(1,4)，证明数列{xn}是递增数列．【证明】(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－xeq\o\al(2,n)＋xn＋c≤xn＋c＜xn，∴数列{xn}是递减数列．必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0.又x2＝－xeq\o\al(2,1)＋x1＋c＝c，∴c＜0.故{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0.(2)若0＜c≤eq\f(1,4)，要证{xn}是递增数列．即xn＋1－xn＝－xeq\o\al(2,n)＋c＞0，即证xn＜eq\r(c)对任意n≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0＜c≤eq\f(1,4)时，xn＜eq\r(c)对任意n≥1成立．①当n＝1时，x1＝0＜eq\r(c)≤eq\f(1,2)，结论成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即xk＜eq\r(c).因为函数