7.3 复数的三角形式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）

试卷第=page44页，共=sectionpages99页7.3复数的三角形式【考点梳理】考点一、复数的三角形式的概念1.复数的辐角(1)定义：以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z=a+bi的辐角。(2)辐角主值[0，2)内的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值，记作argz，即0≤argz<2。非零复数与它的模和辐角主值一一对应。(3)常用的有关辐角主值的结论当aR+时arga=0，arg(-a)=,arg(ai)=，arg(-ai)=，arg0可以是[0，2π)中的任一角。2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。3.复数的三角形式复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角θ来表示：z=r(cosθ+isinθ)，其中，，。r(cosθ+isinθ)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。考点二、复数的三角形式的乘除法1.复数的乘法与乘方把复数，分别写成三角形式(cosθ2+isin。则。这就是说，两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘：=。因此，如果就有[。这就是说，复数的次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。2.复数的除法设则z₁除以z₂的商：)]。这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。【题型归纳】题型一：复数的三角表示1．（2023·高一课时练习）以下不满足复数的三角形式的是（

）．A．； B．；C．； D．．2．（2022·高一课时练习）设，则复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．3．（2022春·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．题型二：复数的辐角4．（2022春·新疆巴音郭楞·高一校考期末）任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（

）A． B． C． D．5．（2021·高一课时练习）复平面内，向量对应复数的共轭复数为，则对应复数的幅角主值为（

）A． B． C． D．6．（2022春·河北张家口·高一统考期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（

）A． B． C． D．题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义7．（2022·高一课时练习）复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足，则的辐角为（

）A． B． C． D．8．（2021·高一课时练习）计算：(1)(2)(3)(4)9．（2020·高一）（1）计算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]；（2）已知复数z＝r(cosθ＋isinθ)，r≠0，求的三角形式.【双基达标】一、单选题10．（2023·高一课时练习）下列结论中正确的是（

）．A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍；B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个；C．实数0不能写成三角形式；D．复数0的辐角主值是0．11．（2023·高一课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（

）A． B．C． D．12．（2023·高一课时练习）欧拉公式建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②．下列说法正确的是（

）A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对13．（2022·高一课时练习）已知复数，则（

）．A． B． C． D．14．（2022·高一课时练习）复数化成三角形式，正确的是（

）A． B．C． D．15．（2023·高一课时练习）回答下面两题(1)求证：；(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：①；②；③．16．（2023·高一课时练习）设复数，求证：(1)，，1都是1的立方根；(2)．【高分突破】一、单选题17．（2022春·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）设，则下列命题中的真命题为（

）A．若，则B．若，则为纯虚数C．若，则或D．若，则18．（2022·全国·高一假期作业）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．的虚部为 B．C． D．的共轭复数为19．（2022·全国·高一假期作业）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（

）A． B． C． D．20．（2022·全国·高一专题练习）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．21．（2022春·全国·高一期末）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限22．（2022春·江西南昌·高一南昌县莲塘第一中学校考期中）复数(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)的三角形式是（

）A．sin30°＋icos30° B．cos160°＋isin160°C．cos30°＋isin30° D．sin160°＋icos160°二、多选题23．（2022·高一单元测试）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数C．复数的模等于 D．的共轭复数为24．（2022春·江苏常州·高一统考期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（

）A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B．C． D．25．（2022·全国·高一假期作业）以下不是复数的三角形式是（

）A． B．C． D．26．（2022春·河北张家口·高一张北县第一中学校联考阶段练习）欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（

）A．复数的值为 B．为纯虚数C．复数的模长等于 D．27．（2022·高一单元测试）欧拉公式（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（

）A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点的轨迹是圆28．（2022春·福建莆田·高一莆田一中校考期中）已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛（1667—1754年）创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，则29．（2022春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校联考阶段练习）（，i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（

）A．对任意的，B．在复平面内对应的点在第一象限C．D．30．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（

）A． B．当，时，C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数31．（2022春·广东广州·高一）已知复数，则下列关于复数z的结论中正确的是（

）A．B．C．复数z是方程的一个根D．复数的辐角主值为三、填空题32．（2023·高一课时练习）设，则______．33．（2023·高一课时练习）已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______．34．（2023·高一课时练习）计算：______．35．（2022春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______．36．（2022·高一课时练习）任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.37．（2022·全国·高一专题练习）计算：_________．(用代数形式表示)38．（2022·高一课前预习）将复数z＝化为代数形式为________．四、解答题39．（2023·高一课时练习）设i为虚数单位，n为正整数，．(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；(2)若复数，利用（1）的结论计算．40．（2023·高一）复数的辐角主值是，且为一实数，求复数．41．（2023·高一）已知，且，若．(1)求复数的三角形式与；(2)求．42．（2022春·上海普陀·高一校考期末）在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．(1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；(2)若，且点满足，求的重心所对应的复数；(3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．【答案详解】1．C【分析】逐一计算每个选项即可得答案.【详解】对于A：，符合；对于B：，符合；对于C：，不符合；对于D：，符合故选：C.2．B【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．【详解】解：，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为．故选：B.3．C【分析】根据复数的三角形公式可求解.【详解】解：故选：C.4．A【分析】将复数写成三角形式，可得结果.【详解】复数，因此，复数的辐角主值为.故选：A.5．D【分析】由已知得到向量对应复数，并求出的模，再表示成的形式，再由辐角主值的正弦和余弦值，求出在范围的辐角主值．【详解】因为复数的共轭复数为，即向量对应的复数为，，，则的幅角主值为即对应复数的幅角主值为故选：D【点睛】方法点睛：本题考查了复数的基本概念，先求共轭复数，再根据辐角主值的概念求出，是基础题．6．B【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可.【详解】，故选：B.7．C【分析】根据题意，先求出复数，再结合，即可求出.【详解】由得，故，所以.故选C．8．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.（4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.(1)(2).(3)(4).9．（1）；（2）【分析】（1）由复数三角形式的除法公式直接可求；（2）1可看作，即，对应的辐角为0，结合复数三角形式的除法公式即可求解.【详解】由，则进行计算即可：（1）因为所以4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]；（2）因为,令，即，对应的辐角为0，所以【点睛】本题考查复数三角形式的除法运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.10．B【分析】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误.【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误；B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确；C：其中，故实数0能写成三角形式，错误；D：复数0的辐角主值不唯一，错误.故选：B11．D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】，.故选：D.12．A【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②【详解】①②则①②均正确故选：A13．A【分析】由已知，可根据题意直接表示出，化简即可得到结果.【详解】由已知，复数，故选：A．14．A【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解.【详解】解：设复数的模为，则，，所以复数的三角形式为．故选：A.15．(1)详见解析(2)详见解析【分析】（1）证法1，按照复数三角形式的除法运算法则计算；证法2，等价转化为证明两个复数相乘；（2）将复数化成三角形式，用（1）的结论求出，再化为三角形式.【详解】（1）证法1：左边右边证法2：，∴原等式成立.（2）①时，，的模为，辐角为.②时，.的模为1，辐角为.③时，，的模为1，辐角为.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明；（2）利用复数的三角运算求出，进而可得的值.【详解】（1），，，所以，，1都是1的立方根；（2），17．C【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D.【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误；当时，满足，但不为纯虚数，故B错误；当时，，故或，所以或，故C正确；当时，，，即，故D错误.故选：C18．D【分析】对于A，由，其虚部为1，可判断A；对于B，，判断B；对于C，，判断C；对于D,求得，结合共轭复数的概念即可判断.【详解】对于A，，其虚部为1，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，则，故C错误；对于D,，故的共轭复数为，D正确，故选：D19．C【分析】根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C.【详解】因为所以，故A正确，，故B正确，故C错误，故D正确故选：C20．D【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果.【详解】.故选：D.21．B【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：，又，为第二象限角，故，故在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.22．B【分析】根据复数乘法运算的三角表示即可得出结果.【详解】(sin10°＋icos10°)(sin10°＋icos10°)＝(cos80°＋isin80°)(cos80°＋isin80°)＝cos160°＋isin160°．故选：B．23．BC【分析】根据欧拉公式写出、、，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.【详解】由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误；，则为纯虚数，故B正确；，则的模为，故C正确；，其共轭复数为，故D错误．故选：BC24．BCD【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．【详解】解：对于A：，因为，所以，，所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：由，，所以，所以，选项D正确；故选：BCD25．AD【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.故选：AD26．CD【分析】由复数的指数形式化为三角形式，然后计算化简，结合复数的模、复数的概念判断各选项．【详解】由于，所以A错误；为实数，故B错误；复数的模长为，故C正确；，D正确．故选：CD27．ABD【分析】根据纯虚数、共轭复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解.【详解】解：对A：因为复数为纯虚数，故选项A正确；对B：复数，因为，所以复数对应的点为位于第二象限，B正确；对C：复数的共轭复数为，故选项C错误；对D：复数在复平面内对应的点为，因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确.故选：ABD.28．BCD【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误.【详解】A.若，则，所以该选项正确；B.若，则，所以该选项错误；C.若，，则，所以该选项错误；D.，，则.所以该选项错误.故选：BCD.29．ABD【分析】根据已知的欧拉公式，利用复数和三角函数的性质直接带入运算即可.【详解】对于A选项，，正确；对于B选项，，而，故在复平面内对应的点在第一象限，正确；对于C选项，错误；对于D选项，===，正确.故选：ABD30．AC【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案.【详解】对于复数有，，而，所以选项A正确；根据复数的三角形式，时，此时，，选项B错误；时，根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；时，，n为偶数时，设,，所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.故选：AC.31．ABC【分析】利用复数的三角运算及得复数的几何意义，即可得到答案；【详解】，，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，复数的辐角主值为，故D错误；故选：ABC32．【分析】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简.【详解】因为，所以，.故答案为：.33．【分析】根据复数的三角表示可得，从而可得其共轭复数，即可得共轭复数的辐角主值.【详解】解：的辐角主值是，则，，所以共轭复数，则共轭复数的辐角主值是.故答案为：.34．【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可.【详解】解：故答案为：35．【分析】根