第09讲 空间的平行关系（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

第09讲空间的平行关系【人教A版2019】·模块一空间中的平行关系·模块二平行关系的相互转化及综合应用·模块三课后作业模块一模块一空间中的平行关系1.直线与直线平行(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：判断或证明空间中两条直线平行.(2)空间等角定理

①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2.直线与平面平行(1)判定定理①自然语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.(2)性质定理①自然语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.(3)性质定理的作用①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.3.平面与平面平行(1)判定定理①自然语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语售.该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.(2)判定定理的推论①自然语言如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语言.(3)性质定理①自然语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.(4)两个平面平行的其他性质①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.【考点1证明线线平行】【例1.1】（2023下·全国·高一专题练习）下列结论中正确的是（

）①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a//b，c//d，且a//d，那么b//c.A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【变式1.1】（2023·全国·高一专题练习）已知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，则A．30° B．30°或150°C．150° D．30°或120°【变式1.2】（2023·上海·高二专题练习）若∠AOB=∠A1O1B1，且OA∥A．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行 D．OB【考点2直线与平面平行的判定】【例2.1】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行与平面MNQ的是（

）A．

B．

C．

D．

【例2.2】（2023下·重庆沙坪坝·高一校考期末）过四棱锥P-ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有（

）A．4条 B．5条 C．6条 D．7条【变式2.1】（2023下·广东广州·高一统考期末）在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，AD=2BC，则下列结论中不成立的是（A．平面PAB内任意一条直线都不与CD平行B．平面PCD内存在无数条直线与平面PAB平行C．平面PCD和平面PAB的交线不与底面ABCD平行D．平面PBC和平面PAD的交线不与底面ABCD平行【变式2.2】（2023下·浙江温州·高一统考期末）下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB//平面MNP的是（

）A．

B．

C．

D．

【考点3平面与平面平行的判定】【例3.1】（2023下·河南信阳·高二校考阶段练习）设直线l,m，平面α,β，则下列条件能推出α//β的是（

）A．l⊂α,m⊂α，且l//β,m//β B．l⊥α,m⊥β，且l//mC．l⊂α,m⊂β，且l//m D．l//α,m//β，且l//m【例3.2】（2023下·江西·高一校考期末）在正方体ABCD-A'B'A．BDC'与B'D'C．B'D'D与BDA【变式3.1】（2023·全国·高一专题练习）下列四个正方体中，A、B、C为所在棱的中点，则能得出平面ABC//平面DEF的是（

A． B．C． D．【变式3.2】（2023下·全国·高一专题练习）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB．其中正确的有（）A．①③ B．①④ C．①②③ D．②③模块二模块二平行关系的相互转化及综合应用1.平行关系的相互转化及综合应用(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.使用定理时，一定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必须在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.

③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.(3)平面与平面平行的判定方法

①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.

②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.

③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.

④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.(4)平行关系的相互转化常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.【考点1线面平行性质定理的应用】【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BC，A1B1上的点，且CM=2B1A．34 B．23 C．12【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）若直线a//平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC=4，CF=5，AF=3，则EF的长为（

A．3 B．32 C．34 D【变式1.1】（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，下列条件不能证明EH//FG的是（）A．E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点B．AEEB=C．BD//平面EFGHD．BEEA=【变式1.2】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图所示，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是矩形，D是

A．13 B．12 C．23【考点2面面平行性质定理的应用】【例2.1】（2023下·安徽·高一校联考阶段练习）已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩γ=m，β∩γ=n则“m//n”是“α//β”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例2.2】（2023上·北京·高二校考阶段练习）已知P为△ABC所在平面外一点，平面α/平面ABC，且α交线段PA，PB，PC于点A',B',CA．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25【变式2.1】（2023下·高一课时练习）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，DEEB=1

A．12 B．13 C．23【变式2.2】（2023下·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，E、F分别是AB，BC的中点，P为SD上一点，且SD=3PD，Q为正方形ABCD内一点（包含边界）.若PQ//平面SEF，则Q的运动轨迹的长度为（

A．42 B．32 C．22【考点3平行问题的综合应用】【例3.1】（2023下·浙江金华·高一校考期中）在正方体ABCD-A1B1C1D

(1)MN//C(2)MN//平面CC(3)平面MNP//平面CC【例3.2】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

(1)求证：平面MNQ//平面PAD；(2)求证：BC//l．【变式3.1】（2023下·山西运城·高一统考期中）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G分别为棱

(1)证明：B1E∥平面(2)在线段CC1是否存在一点N，使得平面NEF∥平面【变式3.2】（2023·江苏·高一专题练习）如图，在正四面体S-ABC中，AB=4，E，F，R分别是SB，SC，SA的中点，取SE，SF的中点M，N，Q为平面SBC内一点．

(1)求证：平面MNR//平面AEF(2)若RQ//平面AEF，求线段RQ模块三模块三课后作业1．（2023·全国·高一专题练习）已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定2．（2023·高一课前预习）给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．（2023下·青海西宁·高一校考期中）已知平面α//平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是（

A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定4．（2023上·江苏南京·高三校考阶段练习）在空间中，直线l/平面α的一个充要条件是（

A．α内有一条直线与l平行 B．α内有无数条直线与l平行C．任意一条与α垂直的直线都垂直于l D．存在一个与α平行的平面经过l5．（2023下·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则AFFC的值为（

A．1 B．2 C．12 D．6．（2023上·上海虹口·高三校考期中）已知m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若α⊥β,β⊥γ，则α/B．若m⊂α,n⊂β,m//n，则α//βC．若m,n是异面直线，m⊂α,m//β,n⊂β,n//α，则α//βD．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α//β.7．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体AC1的棱长为1，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 D8．（2023·全国·高三专题练习）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CA．Q为CC1的三等分点 B．Q为C．Q为CC1的四等分点 D．Q与C9．（2023·全国·模拟预测）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，D，①直线BC1∥平面A1DC；

②③直线A1D∥平面B1EC；

④其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4