第9章 平面向量综合测试卷（解析版）

第9章平面向量综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.2．如图，在矩形中，为中点，那么向量等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为四边形为矩形，为中点，所以，所以.故选：B3．已知，，且，的夹角为，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】由题意得，所以，故，故选：D4．已知向量不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线【答案】C【解析】因为不共线，，，，易得互不共线，所以A，B，C三点不共线，B，C，D三点不共线，故AD错误；又，易得不共线，则A，C，D三点不共线，故B错误；而，所以A，B，D三点共线，故C正确.故选：C.5．已知向量，，.若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，由可得，，即，整理得.又因为，所以，联立，解得或，故，故选C.6．在平行四边形中，是线段的中点，则（

）A．1 B．4 C．6 D．7【答案】A【解析】.故选：A7．已知平行四边形，若点是边的三等分点（靠近点处），点是边的中点，直线与相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，设，，则，，因为，所以，解得，所以，即.故选：C.8．已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，，，且，时，取最小值；时，取最大值，∴的取值范围是，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列结论不正确的是（

）A．单位向量都相等B．对于任意，，必有C．若，则一定存在实数，使D．若，则或【答案】ACD【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，A错误；对于B，任意，根据向量加法的几何意义知，当且仅当、共线同向时取“=”，B正确；对于C，若，不一定存在实数，使，如且时，命题不成立，C错误；对于D，若，则或或，∴D错误.故选：ACD10．已知，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为2D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为【答案】AB【解析】已知，若，则，解得，A选项正确；若，则，解得，B选项正确；，，当时，有最小值，C选项错误；当时，，，向量与向量的夹角为，D选项错误.故选：AB11．若正方形，O为所在平面内一点，且，则下列说法正确的是（

）A．可以表示平面内任意一个向量B．若，则O在直线BD上C．若，，则D．若，则【答案】ABD【解析】A：由题意，又，以为基底的坐标系中，根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量，对；B：由向量共线的推论知：，则O在直线BD上，对；C：由题设，则，所以，错；D：由，则，若为中点，则，即且，如下图示，所以，对.故选：ABD12．如图所示，在凸四边形中，对边，的延长线交于点，对边，的延长线交于点，若，，，则（

）A． B．C．的最大值为 D．【答案】BD【解析】A.，故A错误；B.过作交于，则，，,由向量关系知：，即，故B正确；C.由B知,当且仅当时成立，故C错误；D.由，，，则当且仅当时成立，故D正确.故选：BD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功J．【答案】300【解析】J.故答案为：30014．在平行四边形中，点E满足且，则实数．【答案】4【解析】由题意可得：,故答案为：4.15．设是内部一点，且，则．【答案】【解析】设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，则，，即.故答案为：.16．如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，．则的取值范围为．

【答案】【解析】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则，∵．当时，有且，∴，∴，当时，有且，∴，当时，有且，∴，当时，有且，∴，综上，，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）向量，如图所示，求：(1)；(2)．【解析】（1）由题图知，，，所以，，，所以．（2）结合（1）可得，，所以．18．（12分）已知．(1)若θ为与的夹角，求θ的值；(2)若与垂直，求k的值．【解析】（1）由可得，则且，由因，故.（2）由与垂直知，即得：，因，故得：，解得：19．（12分）在中，已知，，，、边上的两条中线、相交于点.

(1)求、的长；(2)求的余弦值.【解析】（1）因为的中点，则，所以，，所以，，所以，，因为为的中点，所以，，则，故.（2）因为，所以，.20．（12分）如图，在等腰梯形中，，，M为线段中点，与交于点N，P为线段上的一个动点．(1)用和表示；(2)求；(3)设，求的取值范围．【解析】（1）由向量的线性运算法则，可得，①，②因为M为线段中点，则，联立①②得：，整理得：．（2）由AM与BD交于点N，得，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，解得：．所以，即．（3）由题意，可设，代入中并整理可得．又，故，可得：，．因为，所以，．在单调递增，则当时，，当时，，所以，的取值范围为．21．（12分）在三角形中，，，，为线段上任意一点，交于.(1)若.①用表示.②若，求的值.(2)若，求的最小值.【解析】（1）①因为，所以，故在中，；②因为三点共线，设，所以，因为，所以，所