专题四-二次函数的图像和性质

./专题四二次函数的图像与性质〔一[知识梳理]1．一般地,形如_______的函数叫做二次函数,当a_______,b________时,是一次函数．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是_______,对称轴是_______,顶点坐标是_______．3．抛物线的开口方向由a确定,当a>0时,开口_______；当a<0时,开口_______；越大,开口越_______．4．抛物线与y轴的交点坐标为_______．当c>0时,与y轴的_______半轴有交点；当c<0时,与y轴的_______半轴有交点；当c＝0时,抛物线过________．5．若a_______0,当x＝时,y有最小值,为_______；若a_______0,当x＝时,y有最大值,为_______．6．当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而_______,在对称轴的右侧,y随x的增大而_______；当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而_______,在对称轴的右侧．y随x的增大而_______．7．当m>0时,二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝a〔x＋m>2的图象；当k>0时,二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝ax2＋k的图象．平移的口诀：左"＋"右"－"；上"＋"下"－"．[考点例析]考点一二次函数的有关概念例1已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为<>A．<－2,－1> B．<2,1>C．<2,－1> D〔－2,1考点二抛物线的平移例2将抛物线y＝3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为<>A．y＝3<x＋2>2＋3B．y＝3<x－2>2＋3C．y＝3<x＋2>2－3D．y＝3<x－2>2－3考点三同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题例3在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是<>考点四利用二次函数的增减性比较坐标大小例4设A〔－2,y1>,B<1,y2,C〔2,y3是抛物线y＝－<x＋1>2＋m上的三点,则y1、y2、y3的大小关系为<>A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3[反馈练习]1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是<>A．直线y＝ B．直线x＝－C．y轴 D．直线x＝22．已知二次函数y＝2<x－3>2＋1,下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为〔3,－1；④当x<3时,y随x的增大而减小．其中说法正确的有<>A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．抛物线y＝<x＋2>2－3可以由抛物线y＝x2平移得到,则下列平移过程正确的是<>A．先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位,再向上平移3个单位4．将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________．5．已知点A<x1,y1>、B〔x2,y2在二次函数y＝〔x－1>2＋1的图象上,若x1>x2>1,则y1_______y2．二次函数的图像与性质〔二1．二次函数解析式的求法：<1>若给出抛物线上三点,通常可设一般式：________<a≠0>．<2>若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式：________〔a≠0,其中点〔h,k为顶点,对称轴为直线x＝h．<3>若给出抛物线与x轴的两个交点<x1,0>、〔x2,0>及其他一个条件,通常可设交点式：_______<a≠0>．其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c<a≠0>,当给定y的值时,二次函数可转化为一元二次方程,所以我们可ax2＋bx＋c＝_______．3．当b2－4ac>0时,方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0有两个不相等的实数根,则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．4．当b2－4ac＝0时,方程ax2＋bx＋c＝0<a≠0有两个相等的实数根,则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．5．当b2－4ac－<0时,方程ax2＋bx＋c＝0<a≠0没有实数根,则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴_______交点．[考点例析]考点一二次函数的各项系数与图象之间的关系例1已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0<a≠0的图象如图所示,现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a,其中结论正确的是<>A．①③ B．③④ C．②③ D．①④考点二求二次函数的解析式例2<1>任选以下三个条件中的一个,求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．①y随x变化的部分数值规律如下表：②有序数对<－1,0>、<1,4>、<3,0>满足y＝ax2＋bx＋c；③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分〔如图．<2>直接写出<1>中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．考点三利用图象求一元二次方程的解例3二次函数y＝ax2＋bx的图象如图,若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根．则m的最大值为<>A．－3 B．3 C．－6 D．9考点四二次函数图象与坐标轴的交点个数 例4抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是<> A．3 B．2 C．1 D．0考点五二次函数图象与不等式的关系例5如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象,由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是<>A．－1<x<5 B．x>5C．x<－1且x>5 D．x<－1或x>5[反馈练习]1．已知抛物线y＝x3－x－1,与x轴的一个交点为<m,0>,则代数式m2－m＋2011的值为<>A．2009B．2012C．2011D．20102．二次函数y＝a<x＋m>2＋n的图象如图,则一次函数y＝mx＋n的图象经过<>A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c<a≠0>的图象如图所示,对称轴为直线x＝－,下列结论中,正确的是<>A．abc>0B．a＋b＝0C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A<2,1>,且经过点B<1,0>,则抛物线的函数关系式为_______．5．如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．<1>求该二次函数的解析式；<2>结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．课后练习1.〔2017XX省XX市二次函数〔a≠0的图象如图所示,则下列命题中正确的是〔A．a＞b＞cB．一次函数y=ax+c的图象不经第四象限C．m〔am+b+b＜a〔m是任意实数D．3b+2c＞02．〔2017XX省阿坝州如图,抛物线〔a≠0的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为〔﹣1,0,其部分图象如图所示,下列结论：①4ac＜b2；②方程的两个根是x1=﹣1,x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时,x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数是〔A．4个B．3个C．2个D．1个3.〔2017XX省黔南州二次函数的图象如图所示,以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为〔,﹣2；⑤当x＜时,y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有〔A．3个B．4个C．5个D．6个4.〔2017XX省XX市如图,抛物线与x轴交于点A〔﹣1,0,顶点坐标〔1,n,与y轴的交点在〔0,3,〔0,4之间〔包含端点,则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm〔m为任意实数；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根,其中正确的有〔A．2个B．3个C．4个D．5个5.〔2017XX省资阳市如图,抛物线〔a≠0的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1〔k≠0的图象上,它的对称轴是x=1,有下列四个结论：①abc＜0,②,③a=-k,④当0＜x＜1时,ax+b＞k,其中正确结论的个数是〔A．4B．3C．2D．16.〔2017XX省XX市已知二次函数的图象如图所示,有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m〔am+b〔其中m≠1,其中正确的结论有．7.〔2017XX省莱芜市二次函数〔a＜0图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1,与y轴交于点C,下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P〔﹣5,y1,Q〔,y2是函数图象上的两点,则y1＞y2；③a=﹣c