2024届五年高考数学（文）真题分类训练：三 导数及其应用

专题三导数及其应用

考点7导数的计算与导数的几何意义

题组

一、选择题

1.［2023全国卷甲，5分］曲线y=£■在点(1,3处的切线方程为(C)

eeee3e

AA.y=-%B.y=-xC.y=-x+-D.y=-%H——

y4,2,44z24

［解析］由题意可知y'==品，则曲线y=白在点(1，0处的切线

斜率k=y|%=1=3,所以曲线y=今在点(1，0处的切线方程为y-f=

即y=：%+：，故选c.

4,44

2.［2021新高考卷I,5分］若过点(a,匕)可以作曲线y=e%的两条切线，则

(D)

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

［解析］设切点为(%o，yo)，M)>0，则切线方程为y-b=eXo(%-a),由

1°一匕；::“一。)'得e久。(1一&+a)=b，则由题意知关于&的方程

xx

e°(l—x0+a)=b有两个不同的解.设/(%)=e(l—x+a),则/'(%)=

ez(l—x+a)—ex——ex(x—a),由/'(%)=0得％=a,所以当％<a时，

/'(%)>0,/(%)单调递增，当％>a时，/'(久)<0,/(%)单调递减，

所以/(%)max=/(a)=e°(l-a+a)=e。，又当％<a时，a-%>0,所以

/(%)>0,当％T—00时/(%)T0，当％T+00时/(%)T—00,

画出函数/(久)=眇(1一%+a)的大致图象，如图所示，因为/(光)的图象与直

线y=b有两个交点，所以0<匕<e。.故选D.

【速解】过点(a,6)可以作曲线)7=心的两条切线，则点(a,b)在曲线y=心的

下方且在％轴的上方，得0<5<ea.故选D.

【方法技巧】导数的几何意义把函数的导数与曲线的切线联系在一起，曲线

/(%)在点(%0，/(久0))处的切线的方程为y-/(%o)=(%-%。)/'(%o),其中

/'(右)表示曲线/(%)在点(右,/(久0))处的切线的斜率.有关曲线的切线方程，若

没有见到切点，应当先设出切点，再根据切点的“一拖三”(切点与切线斜率

相关、切点在切线上、切点在曲线上)来求切线方程.

3.［2019全国卷II,5分］曲线y=2sinx+cosx在点(n,—1)处的切线方程为

(C)

A.%—y—TT—1=0B.2x—y—2TT—1=0

C.2%+y—2ir+1=0D.x+y—TT+1=0

［解析］依题意得y'—2cosx—sinx,y'\x=lt—(2cosx—sinx)|x=1T=2cosTV—

sinTC——2,因此所求的切线方程为y+1=—2(%—n),即2%+y—2n+l=

0,故选C.

4.［2019全国卷III,5分］已知曲线牛=a二+%ln%在点(l,ae)处的切线方程为

y—2x+b，则(D)

A.a=e,b——1B.a—e,b—1C.a—e-1,b—1D.a=e_1,b—

-1

［解析］因为y'=ae*+In%+1,所以y1x=i=ae+1,所以切线方程为y-

ae-(ae+1)(%—1),即y=(ae+l)x—1,与切线方程y-2x+b对照，可

得｛片二'J2,解得｛:二，:故选D.

二、填空题

5.［2022新高考卷II,5分］曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为经三

11

——X,V=——％.

e-e-

［解析］先求当久＞0时，曲线y=In%过原点的切线方程，设切点为(&,y()),则

由旷=工，得切线斜率为三，又切线的斜率为也，所以上=也，解得出=1,

人人0人0人0人0

代入y=ln%,得久°=e,所以切线斜率为切线方程为y=己%.同理可求得

当久＜0时的切线方程为y=-［%.综上可知，两条切线方程分别为y=

11

-x,y=——x.

ee

6.［2022新高考卷I,5分］若曲线y=(%+a)eX有两条过坐标原点的切线，则

a的取取范围是(-8,-4)U(0,+8).

［解析］因为y=(久+a)ex,所以y'=(久+a+l)e久.设切点为(久0+

a)e"。)，。为坐标原点，依题意得，切线斜率在。4=y'lx=x。=(&+a+

l)ex°=(x°+a)e°,化简，得脂+a%。一a=0.因为曲线y=(%+a)e”有两条过

x0

坐标原点的切线，所以关于久。的方程贿+axo-a=O有两个不同的根，所以

/=a?+4a>0,解得a<-4或a〉0,所以a的取值范围是(-8,-4)U

(0,+oo).

7.［2021新高考卷II,5分］已知函数/(%)=|e*—1］,小<0,x2>0,函数

/(%)的图象在点2(%1，/g))和点B(%2，/(%2))处的两条切线互相垂直，且分别

交y轴于M,N两点，则黑的取值范围是地□.

［解析］/(%)=1a一1|=C二;'：H，则当%>0时，/'(%)=屋，〃(%2)=

eX2；当％<0时,fz(x)=-ex,广(%i)=-e*i.因为函数/(%)的图象在点

4,B处的两条切线互相垂直，所以一e%e久2=-1,即於1+&=1,所以%】十

%2=0.因为1-ex9,8(%2，a2—1),所以函数/(%)的图象在点2,B处

的切线方程分别为y-(1-eX1)=-eX1(x一%J,y-(e%2-1)=

X2X2

e*2(%—%2),分别令％=0,得M(0,%遇工i+1—e*i),N(0,—x2e+e—

1),所以|4W|2=就+(久*%)2,|BN|2=诏+(%2院2)2,所以部

媚+(%送%1)2_x^+(xeX1)22x

1l+ei=e2X1.即罂=e%,因为%i<0，所以

x+xe%222-x2-2Xi

2(2)(-%i)+(-%iei)1+e\DN\

热的取值范围是(0,1).

8.［2020全国卷I,5分］曲线y=ln%+%+l的一条切线的斜率为2,则该切

线的方程为y=2%.

［解析］设切点坐标为(与,In&+&+1).由题意得y'=；+1，则该切线的斜率

k=G+1)|片与=A+1=2,解得出=1,所以切点坐标为(1,2),所以该

切线的方程为y—2=2(%—1),即y=2x.

9.［2020全国卷III,5分］设函数/(%)=三.若/，(1)=(则61=1.

［解析］由于/'(%)=4翳F，故/'(1)=品=，解得。=1・

I人"i(X)I-L"iIX)T(

10.［2019全国卷I,5分］曲线y=3(/+')讲在点(0,0)处的切线方程为经三

3x.

［解析］因为y=3(/+%)心，所以y'=3(/+3%+l)e工，所以y'lx=o=3,故

曲线y=3(一+%九久在点(0,0)处的切线方程为y—0=3(%—0),即y=3x.

11.［2019江苏，5分］在平面直角坐标系％。y中，点4在曲线y=In久上，且该

曲线在点2处的切线经过点(-e,-l)(e为自然对数的底数)，则点2的坐标是

(e,1).

［解析］设2(%o/n%o),又y'=：，则曲线y=InX在点2处的切线方程为y-In

x--(x-x),将(一e,一1)代入得，-1-In%。=三(一e-%o),化简得In

0XO0XO

x=—,解得%o=e,则点2的坐标是(e,1).

0%o

三、解答题

12.［2022全国卷甲，12分］已知函数/(为)=/—%,g(%)=/+0,曲线y=

/(%)在点(久1，/(久1))处的切线也是曲线y=g(%)的切线.

(1)若石——1，求a;

［答案］当/=-1时,/(—1)=0,所以切点坐标为(一1,0).

由/(%)=x3-x,得/'(%)—3%2-1,

所以切线斜率k=/'(一1)=2,

所以切线方程为y=2(%+1),即y=2%+2.

将y=2%+2代入y=/+a,—2x+a—2=0.由切线与曲线y=

g(%)相切，得/=(一2)2-4(a-2)=0,解得a=3.

(2)求a的取值范围.

［答案］由/(%)=x3-x,得/'(%)=3%2-1,

所以切线斜率k=f=3就一1,

所以切线方程为y-(%i-%i)=(3xf-1)(%-,即y=(3xf-l)x-

2xf.

将y=(3%i—l)x—2x1代入y=x2+a,得x?—(3就—1)%+a+2xf=0.

由切线与曲线y=g(%)相切，得/=(3xf-l)2-4(a+2婢)=0,

整理，得4a=—6好+1.

令九(%)=9%4—8%3—6x2+1,则"(%)=36x3—24%2—12%—

12x(3%4-1)(%—1),

由九'(%)=0,得x=—1,0,1,

九(%)，九'(%)随％的变化如下表所示：

%(-00,-0(_|,0)0(0,1)1(1，+8)

九'(%)-0+0-0+

%(%),极小值/极大值,极小值/

由上表知，当％=后时，九⑺取得极小值九(一1)=条

当尤=1时，九(%)取得极小值八(1)=-4,

易知当％T—8时，%(%)T+8，当％T+8时，九(%)T+8,所以函数Zl(%)

的值域为［一4,+8),

所以由4aG［—4,+oo),得aG［-1,+8),

故实数a的取值范围为［—1,+8).

13.［2021全国卷乙，12分］已知函数/(久)-x3—x2+ax+1.

(1)讨论/(K)的单调性；

［答案］由题意知/(%)的定义域为R,fz(x)=3x2-2x+a,对于/'(%)=0,

/--(—2)2—4x3a=4(1―3a).

①当a2(时，/'(%)20,/(%)在R上单调递增；

②当a时，令/'(尤)=0,即3/-2%+a=0,解得%［=—J［3a=

l+Vl-3a

3，

令/'(%)>0,则X<x1或%>x2；令/'(%)<0,则%i<x<x2.

所以f(K)在(一8,%1)上单调递增，在(%1，%2)上单调递减，在(%2，+8)上单调

递增

综上，当a2：时，/(%)在R上单调递增；当a时，/(%)在

(_叫上与亚)，(上言,+8)上单调递增，在(匕笋，上笋)上单调递减.

(2)求曲线y=/(久)过坐标原点的切线与曲线y=/(K)的公共点的坐标.

［答案］记曲线y=/(%)过坐标原点的切线为，，切点为P(%o，*-%o+axo+

1).

因为/'(%o)=3%o-2x0+a,

所以切线，的方程为y-(%o-XQ+ax0+1)=(3%Q-2x0+a)(%一%o).

由Z过坐标原点，得2煽-%o-1=0,即(2*-2%o)+(%o-1)=

(%o一1)(2/+X。+1)=0，解得第o=1，所以切线/的方程为y=(1+a)x.

令第3—%2+ax+1=(1+a)x,

则第3—%2—%+1=0,解得％=±1,

所以曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=/(%)的公共点的坐标为

(1,1+Q)和(―L—1—CL).

14.［2020新高考卷I,12分］已知函数f(%)=aex~r—In%+Ina.

［答案］/(%)的定义域为(0,+8),f'(x)=aeX-1_j.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线与两坐标轴围成的三

角形的面积；

［答案］当a=e时,/(%)=e*-In%+1,/'(1)=e-1,曲线y=/(%)在点

(1,/(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(%-1)，即y=(e-l)x+2.

直线y=(e-1)%+2在％轴，y轴上的截距分别为言,2.

因此所求三角形的面积为三.

e-1

(2)若/(%)>1，求a的取值范围.

［答案］当0<a<1时，/(I)=a+Ina<1.

当a=1时，f(x)=ex~1—\nx,ff(x)=ex-1—；.当％G(0,1)时，/'(%)<

o；当Xc(1,+8)时，u(%)>o.所以当％=1时，f(x)取得最小值，最小值

为/(I)=1，从而/(%)>1.

当a>1时,/(%)=aex~1—In%4-Ina>ex-1—In%>1.

综上，a的取值范围是［1,+8).

【方法技巧】e"2%+1-12In%,ex>ex.

考点8导数的单调性、极值与最值

题组一

一、选择题

1.［2023新高考卷II,5分］已知函数/(%)=ae久—In%在区间(1,2)单调递增，

则a的最小值为(C)

A.e2B.eC.e-1D.e-2

［解析］因为函数/(%)=aex-Inx,所以/'(%)=aex一］.因为函数/(%)=aex-

Inx在(1,2)单调递增，所以/'(久)>0在(1,2)恒成立，即ad-i>0在(1,2)

恒成立，易知a>0,则0<1£%e*在(1,2)恒成立.设g(x)=%e久，则g'(%)=

(%+l)e".当％C(1,2)时,g'［x)>0,g(%)单调递增，所以在(1,2)上，

g(%)〉g(l)=e,所以;We,即aN，=eT,故选C.

2.［2022全国卷甲，5分］当久=1时，函数/(%)=aln%+2取得最大值一2,则

/'⑵=(B)

11

A.-1B.--C.-D.1

22

［解析］由题意知，/⑴=aln1+b=b=-2.因为?一夕久>0),所

以/'(1)=a—b=0,所以a=—2,所以/'(2)=~~~=~~.故选B.

24Z

二、填空题

3.［2021新高考卷I,5分］函数/(%)=|2%-1|一2m％的最小值为1.

［解析］函数/'(%)=\2x-1|-2Inx的定义域为(0,+00).

①当%〉:时，/(%)=2%—1—21n%,所以/，(%)=2-：=2(；i)，当：<久<

1时，/'(%)<0,当％>1时，/'(%)>0,

所以/(%)min=/⑴=2-1-21nl=1；

②当0<%4时，/(%)=-2%—21n%在(0,刍上单调递减，

所以/(%)min=/C)=-21nj=21n2=In4>Ine=1.

综上,/(%)min—1"

三、解答题

4.［2021全国卷甲,12分］设函数/(%)=a2x2+ax—3Inx+1，其中a>0.

(1)讨论/(K)的单调性；

［答案］由题意，/(%)的定义域为(0,+8),/3=2a2%+a_：=2a工；ax-3=

(ax-l)(2a%+3)

X9

则当％〉5时，/'(%)〉0,/(%)单调递增；当0<%<5时，/'(%)<0,/(%)

单调递减.

故函数/(%)在(0,£)上单调递减，在0,+8)上单调递增.

(2)若y=/(%)的图象与％轴没有公共点，求a的取值范围.

［答案］由(1)知函数/(%)的最小值为/(£),

要使y=/(%)的图象与无轴没有公共点，只需/(%)的最小值恒大于0,即

/(£)>0恒成立,

2

故小«(―)+a.—31n—F1>0,得a>-,

\Cl/CLCLe

所以a的取值范围为G，+8).

5.［2021北京，15分］已知函数/(%)=9

(1)若a=0,求曲线y=/(%)在点处的切线方程;

3-2%2x2-6x-2a

因为/(%)=所以/'(%)=

x2+a(x2+a)2

［答案］若a=0,则/<1)=-4,/(1)=1,

代入y-/(I)=/'(1)(%-1),得4%+y-5=0,

所以曲线y=/(%)在点(1,/(1))处的切线方程为4%+y-5=0.

(II)若函数/(%)在％=-1处取得极值，求/(%)的单调区间，以及最大值和

最小值.

［答案］由函数/(%)在％=-1处取得极值可知/'(—1)=0,即关去=0,解得

.十aj

a=4.

3-2%2(x-4)(x+l)

止匕时f(%)=所以广(%)=

X2+4(X2+4)2

当久G(—8,—1)u(4,+8)时，/(%)>o,所以/(%)的单调递增区间为

(―8,—1),(4+8);

当第W(—L4)时，/"(%)<0,所以f(%)的单调递减区间为(-1,4).

又当％->一8时,/(%)->0,当％->+8时，/(%)<0且/(%)70,

所以/(%)的最大值为/(-1)=1,/(%)的最小值为/(4)=—；.

4

6.［2020全国卷II,12分］已知函数/(%)=21n%+l.

(1)若/(%)W2%+c,求c的取值范围；

［答案］设九(%)=/(%)—2%—c,则九(%)=2Inx—2x+1—c,

其定义域为(0,+8),»(%)=|-2.

当0<%<1时，九'(%)>0；当％>1时，九'(%)<0.所以九(%)在区间(0,1)单

调递增，在区间(1,+8)单调递减.从而当久=1时，八(%)取得最大值，最大值

为九⑴=-1-c.

故当且仅当一1—cW0，即c>-1时，/(%)<2x+c.

所以C的取值范围为LL+8).

(2)设a>0,讨论函数g(£)=与普的单调性.

［答案］9(%)=03=2(…na),xe(0,a)U(a,+oo).

x—ax-a

=2(/+lna-ln久)=2(1(+呜

甘IJ(x-a)2(x-a)2.

由(1)可得，当I>0时，取c=—1得h(x)=21n%—2x+240恒成立，当

且仅当％=1时，h(x)=0，故当第E(0,a)U(a,+oo)时，2(1—三+In三)V

0,即g'(x)<0.

所以g(%)在区间(0,。)，(见+8)单调递减.

7.［2019全国卷II,12分］已知函数/(%)=(x—l)ln%—%—1.证明：

(1)/(、)存在唯一的极值点；

［答案］f(%)的定义域为(0,+8).

f’(%)=七二+lnx—l=lnx-

XX

因为y=In久单调递增，y=；单调递减，

所以/'(%)单调递增.又/'(1)=一1<0/'(2)=ln2-j=咛二>0，故存在唯

一%0e(1,2)，使得/'(%o)=0•

又当为<%0时，/'(%)<0,/(%)单调递减；当%>%0时，f"(x)>0,/(%)单

调递增.

因此，/(%)存在唯一的极值点.

(2)/(为)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

［答案］由(1)知/(&)</(I)=-2，又/(")=e2-3>0,

所以/(%)=0在(%o,+8)内存在唯一根％=a.

由a>Xo>1得(<1<%0.

又/(a)=C1)I”：!-1==0，故:是/(*)=0在(。，％0)的唯一根.

综上，/(%)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

题组二

一、选择题

1.［2022全国卷乙,5分］函数f(%)=cosx+(%+l)sinx+1在区间［0,2互］的

最小值、最大值分别为(D)

A.--B.--C.--,-+2D.--+2

22222222

［解析］/(%)=cos%+(x+l)sin%+1,xE［0,2ir］,贝!J/'(%)=—sin%+sin%+

(%+l)cos%=(%+l)cos%.令/'(%)=0,解得％=—1(舍去)，%=］或％=

3•因为f(5)=c吗+鲁+l)s吗+l=2+//(T)=cos^+

倍+1)sin：+1=—号，又/(0)=cos0+(0+l)sin0+1=2,/(2ir)=

cos2n+(2TT+l)sin2n+1=2，所以/(%)max=/Q)=2+,/(x)min=

/(引=_号.故选D.

2.［2021全国卷乙，5分］设aW0，若％=a为函数/(%)=a(%—a)2(%—b)的极

大值点，贝U(D)

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

［解析］因为函数f(%)=a(x-a)2(%-b),所以f'(%)=2a(x-a)(%-b)+

a(%—a)2=a(x—a)(3%—a—2b).令/'(%)=0,结合aW0可得％=a或%=

a+2b

3・

(1)当a>0时，若％=a为函数/(%)的极大值点，则a<史告，即b>a.

(2)当a<0时，若％=a为函数/(%)的极大值点，则a>的券，即b<a.

综上，a>0且b>a满足题意，a<0且b<a也满足题意.

据此可知，必有ab>a?成立.故选D.

【速解】易知a与b为/(久)图象与％轴交点的横坐标.因为%=a为函数/(久)的

极大值点，所以当a>0时，根据题意画出函数/(久)的大致图象，如图1所

示，观察可知匕>a;

当a<0时，根据题意画出函数/(%)的大致图象，如图2所示，观察可知a>

b.

综上可知，必有必>a2成立.故选D.

二、解答题

3.［2023全国卷乙，12分］已知函数/(久)=G+a)ln(l+%).

(1)当a=—1时，求曲线y=/(久)在点(1,/(1))处的切线方程.

［答案］当a=-1时，/(%)=(；-1)ln(l+%),/<%)=-*ln(l+%)+

(i-1),

\x/1+x

所以/'(1)=-In2,

又/(l)=0,所以所求切线方程为y-0=-(%-l)ln2,即％In2+y-In2=

0.

(2)若函数/(久)在(0,+8)单调递增，求a的取值范围.

+x,xx

X+1

［答案］由题意得/'(%)=-点ln(l+%)+G+。>氏=x2------2

0(%>0),即竺*-ln(l+x)>0(x>0).

设9(%)=*-ln(l+%)(%>0),则g'(x)=*等—击=

人I_L1人"iJ.)人i_.L

当名外>0)

(%+1)2、/

当。工0时，则g'(x)<0在(0,+oo)上恒成立，即g(%)在(0,+8)上单调递减,

所以9(%)<。(。)=0，不满足题意.

当a>0时，令a%+2a-1=0，则%=上空.

a

若/£40,即a之|,则g(%)在(0,4-00)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,

满足题意.

若詈〉0,即0<a<］则9(%)在(0,詈)上单调递减，在(詈,+8)上

单调递增，则有g(詈)<g(0)=0，不满足题意.

综上，a的取值范围是［j,+8).

4.［2023新高考卷II,12分］

(1)证明:当0<%<1时,％—x2<sin%<%;

［答案］令h(%)=%—%2—sin%,

则//(%)=1—2x—cosx,

令p(%)=1—2%—cosx，则p'(%)=-2+sin%<0,

所以p(%)即〃(%)单调递减，又八'(0)=o,

所以当0V%V1时，”(%)<〃(0)=0,/i(x)单调递减，

所以当0V%<1时，/i(x)<h(0)=0，即%—%2<sin%.

令g(%)=sin%%,

则“(%)=cos%—1<0,

所以g(%)单调递减，又g(0)=0,

所以当0V%<1时，g(%)<g(0)=0，即sin%<x.

综上，当0V%V1时，%—%2<sin%<%.

(2)已知函数/(%)=cosax-ln(l-%2)，若X=0是/(%)的极大值点，求Q的

取值范围.

［答案］解法一由/(%)=cosax-ln(l-x2)(-l<x<1),

得/'(%)=/(-%)，所以/(久)为偶函数.

/'(%)=—asinax+(―1<%<1),

令t(x)=—asinax+不区(―1<%<1),

贝!Jt'(x)=—a2cosax+(―1<%<1).

(l-x2)2

1

令九(%)=—a2cosax+J，：、?，贝!Jn/(x)=a3sinax+©(二)

当a=0时，

当0<x<1时，/'(%)>0/(%)单调递增，当一1<%<0时，f'Q)<0/(%)

单调递减，

所以比=0是/Q)的极小值点，不符合题意.

当a>0时，取；与1中的较小者，为m,

2a

则当0<x<m易知n'(%)>0,

所以九(久)即«久)在(0,m)上单调递增，

所以t'(%)>tz(0)=2—a2.

①当2—a220,即0<aW鱼时,t'(%)>0(0<x<m).

所以武久)在(0,ZH)上单调递增，

所以t(x)>t(0)=0，即/'(久)>0.

那么/(久)在(0,771)上单调递增，

由偶函数性质知/(久)在(-犯0)上单调递减.

故久=0是/(久)的极小值点，不符合题意.

②当2—a?<0,即a>V2时，

当工<1,即a>2时，

2a2

因为"0)<0“勺>0,

所以«久)在(0,771)上存在唯一零点久1,

且当0<X<%1时,«%)<0,t(x)单调递减,

因为t(0)=0，所以当0<%<时，t(x)<0,即/'(%)<0,

所以/(%)在(0,久1)上单调递减，

因为/(%)为偶函数，所以/(久)在(-久1,0)上单调递增，

故可得％=0是/(%)的极大值点，符合题意.

当二>1,即/<a<1时，

2a2

因为t'(0)<0,t'(I)=—a2cos£+£>0,

所以t'(%)在(0,7H)上存在唯一零点%2,

且当0<%<%2时，t'(%)<0，t(x)单调递减.

因为t(0)=0，所以当0<%<冷时，t(x)<0,即/'(%)<0,

所以/(%)在(0,X2)上单调递减.

因为/(%)为偶函数，所以/(久)在(-冷，。)上单调递增，

故可得％=0是/(%)的极大值点，符合题意.

当a<0时，由偶函数图象的对称性可得a<-/.

综上所述，a的取值范围是(一8,-a)u(VX+8).

解法二由/(%)=cosax—ln(l—%2)，得/'(%)=—asinax+(—1<x<1),

令O=—asinax+工^(—1<%<1),

则«%)=—a2cosax+乎+：、?(-1<%<1).

(1-

由％=0是/(%)的极大值点，易得/'(0)=0,t'(0)<0,(二级结论：已知函数

/(%)的导函数为/'(%)，令g(%)=/'(%)，若%=%0为/(%)的极小值点，则

7

f(%0)=o,g'(&)>o；若％=%0为/(%)的极大值点，则/'(久o)=o,g'(&)<0)

所以2—a2<0,

解得a<一立或a〉V2.

所以a的取值范围是(一8,-鱼)U(V2,+oo).

5.［2020全国卷III,12分］已知函数f(%)=x3—kx+k2.

(1)讨论/(%)的单调性；

［答案］/'(%)=3x2-k.

当kW0时，/'(%)=3x2—k>0,故/(%)在(—8,+00)上单调递增.

当攵>0时，令/'(%)=0,得X=±苧.当8,-苧)时，f'(x)>0；当

%C(—亨，亨)时，f"(%)<0；当％C(苧,+8)时，/<%)>0.故/(%)在

(-T)，(书+8)上单调递增，在(-苧，苧)上单调递减.

(2)若/(%)有三个零点，求k的取值范围.

［答案］由(1)知，当kWO时，/(%)在(一8,+8)上单调递增，/(%)不可能有

三个零点.当k>0时，％=-苧为/(%)的极大值点，%?为/(%)的极小值

点.此时，—k—1<—~~~<~~<左+1且/(—k—1)<0,/(/c+1)〉0,

/(一苧)>0.根据/(%)的单调性，当且仅当/(苧)<0,即兴―独泮<0

时，/(%)有三个零点，解得左<；因此k的取值范围为(0,—.

6.［2019全国卷III,12分］已知函数f(%)=2x3—ax2+2.

(1)讨论/(%)的单调性；

［答案］/'(%)=6答—2ax=2x(3%—a).

令/'(%)-0,得%—0或%—］,

若a>0,则当％e(-8,o)ua+8)时，f'(x)>0；当％e(o,g时，

//(%)<0.故/(%)在(一8,0),(|,+00)上单调递增，在(0,§上单调递减.

若a=0,则/(%)在(一8,+8)上单调递增.

若a<0,则当％e(-8,§u(0,+8)时，/<%)〉o；当％6(三,0)时，

/'(%)<0.故/(%)在(一8,§,(0.+OO)上单调递增，在G，0)上单调递减.

(2)当0<a<3时，记/(%)在区间［0,1］上的最大值为M,最小值为m,求

M-m的取值范围.

［答案］当0<a<3时，由⑴知，/(%)在(0马上单调递减，在91)上单调

递增，所以/(%)在［0,1］上的最小值为/(§=—9+2,最大值为/(0)=2或

/(I)=4一a.于是

4—Q,0VaV2,

m+2

=-^^M=2,2<a<3.

2—aH---f0VaV2,

所以M—m=

—,2<a<3.

“3

当0<a<2时，可知y=2-a+—单调递减，所以M-zn的取值范围是

当2W"3时，y=9单调递增，所以M—m的取值范围是嗜,1).

综上，M-m的取值范围是碌,2).

7.［2019北京，14分］已知函数f(%)=-x3—x2+x.

(I)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；

［答案］由/(%)—工工3—X2+X得/'(%)=-X2—2%+1.

44

令/'(%)—1，即I，—2%+1=1，得％=0或%=|.

又/(。)=。，/(1)=%

所以曲线y=/(%)的斜率为1的切线方程是y=x与y-%1，即y=%与

y=x---6-4-.

,27

(II)当％G［—2,4］时，求证：x—6</(%)<x;

［答案］令g(x)=/(%)-x,xE［-2,4］.

由g(x)=^x3—x2得g'(x)=—2x.

令。'(%)—0得x-0或％—|.

g'(x),g(x)的情况如下:

X-2(-2,0)084

(弱3厚4)

g'M+0-0+

g(%)-6706470

27

所以g(x)的最小值为-6，最大值为0.

故一6<g(x)<0，即％-6</(%)<x.

(III)设F(x)=|/(x)-(x+a)|(aG/?),记F(%)在区间［—2,4］上的最大值为

M(a).当M(a)最小时，求a的值.

［答案］由(II)知，

当a<—3时,M(a)>F(0)=|g(0)—a\=—a>3；

当a〉—3时,M(a)>F(—2)—|g(—2)—a|=6+a>3；

当a=-3时,M(a)=3.

综上，当M(a)最小时,a=-3.

8.［2019浙江，15分］已知实数a中0，设函数/(无)=alnx+V1+x,x>0.

(I)当a=时，求函数/(%)的单调区间;

4

［答案］当a=--时,/(%)=--In%+/1+%,%>0.

44

夕、_(Vl+X-2)(2Vl+%+l)

J⑺=4%V1+^'

令/'(%)>0，得％>3；令/'(%)<0，得0<%<3.

所以函数/(第)的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,+8).

(II)对任意久G装,+8)均有/(久)w3，求a的取值范围.

注:e=2.71828...为自然对数的底数.

[答案]由/(I)W5,得0<aW当.

2.CL4

当0<aW立时，/(%)£立等价于与一次正—21nx20.

472aa2a

令t=L则tZ2/.

a

设=t2y/x—2t7\+x—21nx,t>2A/2，则

(i)当《,+8)时，1+工工2立,则

/\l%

g⑴>9(2鱼)=8y—4\/2V1+x—21nx.

记p(%)=4y-2V2V1+x—In%,x>，则

12^Xy/x+1.—yf2x-\/x+l,(X—1)[1+V2X

、2x+2—

P'8二尢gX%Vx+l

1)]%V%+1(V^+l)(Vx+1+V2x).

故

X11(L+8)

7(川

P'O)-0+

P(%)p(9极小值p(l)7

所以，p(x)>p(l)=0.

因此，g(t)>g(2近)=2P(%)>0.

(ii)当46日,分时，

令q(%)=2V%lnx+(%+1),xG则

//、Inx+2,y、八

q(%)=-+1>o,

故式%)在Ej上单调递增，

所以q(x)<qQ).

由①得，qg)=—『p(I)<_?p(i)=o.

所以q(%)<0.因止匕g(t)>g(J1+：)=一等>0.

由①(ii)知对任％EE，+8)"C［2V2,+00),g(t)>0，即对任意％G,+00),

均有/(%)£今

综上所述，所求a的取值范围是(0，争.

考点9导数的综合应用

题组一

解答题

1.12023全国卷甲，12分］已知函数/(久)=a%—注，％C(0,-).

cosx2

(1)当a=1时，讨论/(%)的单调性；

cosxcos2x-sinx(-2sinxcos%)cos2x+2sin2x

［答案］由题意可得/'(%)=a一=a—

cos4xcos3x

2-cos2%

CL一

cos3x

2-cos2xCOS3X+COS2X-2

当Q=1时,f\x)=1-

cos3xCOS3X

因为％E(0,；)，所以COSXE(0,1),COS3X+COS2%<2故/''(%)<0，

故当a=1时，/(%)在(0用上单调递减.

(2)若/(久)+sin%<0,求a的取值范围.

sinx

［答案］依题意，/(%)+sin%=a%-+sin%=ax+sin%(1-----),xG

COS2%\cos^x/

。弓

①当aW0时,易知/(%)+sin%<0;

②当a>0时，因为汽e(0,；)时满足sin第<%,

所以/(%)+sin%=ax+sin%(1-----)>asin%+sin%(1-----)=

\cos2%/\cos2%/

sin%(Q+1....-),

\coszx/

因为函数y=二b(％e(0,9)的值域为(l,+8),a+1〉1,所以对于任意大

COSX\\2/J

于0的参数a，一定存在%oe(0,；),使得总需<a+l,

即存在&G(。彳)，使得f(%o)+sinx0>0,故a>0不能确保/(%)+sin%<

0,与题意矛盾，故a>0不成立.

综上，a的取值范围为(一8,0］.

2.［2022全国卷乙，12分］已知函数/(久)=ax—|—(a+l)lnx.

(1)当a=0时，求/(无)的最大值；

［答案］当a=0时，/(%)=-：-In%(%>0),

所以/'(%)=或一；1-x

X2

若％G(0,1),/'(%)>0,f(x)单调递增；

若“E(1,+00),/<%)<0,/(%)单调递减,

所以/(%)max=/(l)=-1.

(2)若/(久)恰有一个零点，求a的取值范围.

［答案］由/(%)=ax--(a+l)lnx(x>0)，得/'(%)=a+*-号=

弋尸(%>0).

当a=0时，由(1)可知，/(%)不存在零点；

当a<0时，/'(无)=代色7,

若％G(0,1),/'(%)>0,/(x)单调递增，

若%e(1,+oo),f'(x)<0,/(%)单调递减，

所以/(%)max=/(I)=a-1<0,所以/(%)不存在零点；

当a〉0时，/'(%)=,若a=1,/'(%)>0,/(%)在(0,+oo)上单

调递增，因为/(I)=a—1=0,所以函数/(%)恰有一个零点，

若a>l,/(%)在(0,J,(l,+8)上单调递增，在0,1)上单调递减，因为

/(I)=a—1>0,所以/&)>/(I)〉0,当％-0+时，f(x)一-8,由零点

存在定理可知/(%)在(0，。上必有一个零点，所以a>1满足条件，

若0<a<l,/(%)在(0,1),G，+8)上单调递增，在(1,£)上单调递减，因为

f(l)=a-1<0,所以/(J</(I)<0，当％t4-00时，/(%)t4-00,由零

点存在定理可知/(%)在G，+00)上必有一个零点，即0<a<1满足条件.

综上，若/(%)恰有一个零点，a的取值范围为(0,+8).

3.［2022新高考卷II,12分］已知函数/(%)=xeax-ex.

(1)当a=1时，讨论/(%)的单调性；

［答案］当a=1时，/(%)=xex—ex,fz(x)=xex,

当％>0时，/'(%)=xex>0,函数/(%)在(0,+8)上单调递增;当％<0时，

f'(X)=xex<0,函数f(%)在(一8,0)上单调递减.

(2)当汽>0时，f(%)<-1,求Q的取值范围；

［答案］f'(%)=(1+ax)eax—ex(xE(0,+oo),

①当a21时，/'(》)=(1+ax)eax—ex>eax—ex>ex—ex=0,

・•・/(%)在(0,+8)上单调递增，・•・/(%)>-1,与题意矛盾.

②当a<0时，/'(%)<eax-ex<1—ex<0.

・•・/(%)在(0,+8)上单调递减，.・./(%)<-1,满足题意.

1/XXYX

③当0<aW；时/'(%)<(1+0ez-e%=e"(l+［|)一e可，

x.11%

设G(%)=1+-v-e2(%>0)，则G'Cr)=---e2<0,

・•・G(x)在(0,+8)上单调递减，

x

・•.G(x)<0/'(%)=e5G(%)<0,/(%)在(0,+8)上单调递减，

・•・/(%)<-1,满足题意.

④当］<a<1时，/'(%)=eax［l+ax-e(-a)x］,

令H(x)=