2023-2024学年高二上数学练习：直线与圆、圆与圆的位置关系（附答案解析）

2023-2024学年高二上数学：2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

一.选择题(共5小题)

1.圆/+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线4x+y-1=0的距离为√Σ,贝IJa=()

A.0或-1B.0C.7D.-1或7

2.已知直线/：x+ay-1=0Ca为实数)是圆C：/+)?-6x-2y+∖=0的对称轴，过点力(-

4,a)作圆C的一条切线，切点为P,则∣∕⅝∣=()

A.2B.4√3C.7D.2√10

3.当。为任意实数时，直线(α-1)χ-y+l=0恒过定点C,则以C为圆心，遍为半径的

圆的一般方程为()

A.x2+y2+4γ+5=0B.x2+y2+4y-5=0

C.√+√-2γ-5=0D.√+γ2-2y+5=0

4.已知圆O：x2+y2-ri(r>0),设直线/：x+2y-8=0与两坐标轴的交点分别为A,B,若

圆。上存在点P满足HPl=IB尸则r的最小值为()

6V56-

A.-----B.-C.2VSD.3

55

5.圆(x+l)2+(>-2)2=1与X轴的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

二.填空题(共4小题)

6.若直线/过A(0,5),且被圆C：Λ2+)2+4X-12y+24=0截得的弦长为4√1则直线/方

程为.

7.已知圆/+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆截得的弦的长度的最小值为.

8.已知直线0r+y-2=0与圆C：(X-I)2+(y-α)2=4相交于A,B两点，且aABC为

等腰直角三角形，则实数〃的值为.

9.在平面直角坐标系X。)，中，若圆(χ-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于X

轴的对称点N在直线区+y+3=0上，则实数人的最大值为.

三.解答题(共3小题)

10.已知直线/：ax+(2-α)y+l=0.

(I)若直线/在X轴上截距和在y轴上截距相等，求”的值；

(II)若直线/与圆(X2+(丁一》2=之相切，求〃的值.

ɪɪ.己知圆C的圆心在直线/:Zr-y-3=0上，且过点4(5,2)和点8(3,-2).

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点D(-1,2)的圆C的切线方程.

12.设圆C的半径为r,圆心C是直线y=2r-4与直线y=x-1的交点.

(I)若圆C过原点O,求圆C的方程；

(II)已知点4(0,3),若圆C上存在点M,使IMAI=2∣Mo求r的取值范围.

2023-2024学年高二上数学：2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

参考答案与试题解析

选择题(共5小题)

1.圆/+/-2χ-8y+13=0的圆心到直线Or+)，-1=0的距离为√Σ则α=()

A.0或-1B.0C.7D.-1或7

【解答】解：圆/+/-标-8)，+28=0的圆心。(1,4),

：圆?+/-2x-8>+13=0的圆心到直线ax+y-1=O的距离为√Σ,

.∙∙7T⅛=瓜

√Q2+12

解得〃=7或a=-1.

故选：D.

2.已知直线/：x+ay-1=0(«为实数)是圆C-√+√-6x-2y+∖=O的对称轴，过点A(-

4,a)作圆C的一条切线，切点为P,则∣∕¾∣=()

A.2B.4√3C.7D.2√10

【解答】解：由直线为圆的对称轴可得圆心在直线/上，

由圆的方程可得圆心C(3,1),半径r=3,

所以3+α-1=0,解得a=-2>

所以A(-4,-2),

可得IACI=λ∕(3+4)2+(1+2)2=√49+9=√58,

圆心到直线的距离d=r=3,

所以HPI=√∣ΛC∣2-r2=√58-9=7,

故选：C.

3.当“为任意实数时，直线(4-1)χ-y+l=O恒过定点C,则以C为圆心，病为半径的

圆的一般方程为()

A.x2+y2+4y+5=0B.x2+y2+4y-5=0

C./+y2-2y-5=0D.x1+y2-2y+5=0

【解答】解：根据题意，直线(0-1)X-y+l=0即ax-(x+y-1)=0,恒过定点(0,

1),

则C的坐标为(0,1),

则要求圆的标准方程为7+(y-1)2=6,变形可得x2+y2-2y-5=0,

故选：C.

4.已知圆O：W+/=/(r>0),设直线/：x+2y-8=0与两坐标轴的交点分别为A,B,若

圆。上存在点尸满足HPl=IBPl,则r的最小值为()

6√56L

A.——B.-C.2√5D.3

55

【解答】解：不妨设点A是直线/：x+2y-8=0与X轴的交点，

令y=0,解得x=8,故4(8,0),

设点B是直线/：x+2y-8=0与y轴的交点，

令X=0,解得y=4,故B(0,4),

设P(x,ʃ),

若点P满足HPI=IB尸|,则J(X—8)2+(y—0)2=收-0)2+(y—4)2,整理可得，2χ

-y-6=0,即点尸的轨迹为直线2x-y-6=0,

依题意可得，圆O:X1+y2=ι2(r>0)与直线2χ-y-6=0有公共点P,

故圆O与直线2x-y-6=0相交或相切，

故圆心0(0,0)到直线2χ-y-6=0的距离dW八即粤上粤≤r,解得-≥弊，

“√22+(-l)25

6√5

故/•的最小值为

故选：A.

5.圆(x+l)2+(y-2)2=1与X轴的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【解答】解：圆(x+1)2+(j-2)2=1的圆心坐标为(-1,2),半径为1,

圆心(-1,2)至IJX轴的距离d=2>l,

圆(X+1)2+(y-2)2=1与X轴的位置关系是相离.

故选：C.

二.填空题(共4小题)

6.若直线/过A(0,5),且被圆C：/+)2+4χ-12y+24=0截得的弦长为48，则直线/方

程为X=O或3x-4y+20=0..

【解答】解：圆C的标准方程为(X+2)2+(y-6)2=16,d=J16-(2√3)2=2,

当斜率不存在时，方程为X=0；

当斜率存在时，设直线方程为y-5=依，d=-"+5∣=2,解得∕c=去

Jk+(T)

故直线方程为3x-4y+20=0.

即所求直线I的方程为x=0或3x-4y+20=0.

故答案为：X=O或3χ-4y+20=0.

7.已知圆/+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆截得的弦的长度的最小值为2.

【解答口解：由圆的方程可得圆心坐标C(3,0),半径r=3;

设圆心到直线的距离为“，则过。(1,2)的直线与圆的相交弦长HBl=2√r2-d2,

当d最大时弦长HBl最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时J=ICDI=

√(3-I)2+(0-2)2=2√2,

所以最小的弦长HB∣=2J32-(2√2)2=2,

故答案为：2.

8.已知直线Or+y-2=0与圆C：(x-1)2+(y-α)2=4相交于A,8两点，且AABC为

等腰直角三角形，则实数。的值为，±遮_.

【解答】解：由圆的方程可得圆心C(1,«),半径r=2

可得圆心到直线的距离d=毕刍，

Jl+α2

又因为aABC为等腰直角三角形，则d=孝r=√2,

所以√I=毕刍，整理可得：J-4α+l=0,

Jl+a2

解得:α=2±√3,

故答案为：2±V5.

9.在平面直角坐标系XO)，中，若圆(χ-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于X

轴的对称点N在直线fcc+y+3=0上，则实数A的最大值为0.

【解答】解：M在圆上，故设M(2+cos0,2+sinθ),

可得N(2+cosθ,-2-sinθ),将N的坐标代入kx+y+3=0,

可得sinO-"os8=2A+l,∣2fc+l∣≤√fc2+l,化为得3廿+4卜≤0,-j≤k≤O,

k的最大值为0.

故答案为：0.

≡.解答题(共3小题)

10.已知直线/：cιx+(2-Q)y+l=0.

(I)若直线/在X轴上截距和在y轴上截距相等，求。的值;

(II)若直线/与圆(%-芥+@-扔=/相切,求「的值.

【解答】(I)易知直线/的截距不能为0,

11

令X=O,y=^^2≡α,令y=。，X=一£；

11

则_H=_『a=l；

(II)圆心©，当到直线/的距离d=呼+入2-砂+1|=1

22ja2+(2-α)2区

41

整理，得一;-------=-=>a2-2a-8=0n<∕=4或a--2；

2α2-4α+45

11.己知圆C的圆心在直线/：2χ-y-3=0上，且过点A(5,2)和点8(3,-2).

(1)求圆C的标准方程；

(2)求过点O(-1,2)的圆C的切线方程.

【解答】解：(1)根据题意，要求圆的圆心在直线2χ-y-3=0上，

则设圆心CCa,2a-3),半径为r,

则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r,

把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程，

得(5-α)2+(2-24+3)2=J①，(3-“)2+(-2-2α+3)2=/②,

由①②可得：a=2,尸=10

故所求的圆的方程为(χ-2)2+(ʃ-I)2=10;

(2)根据题意，所求的圆的方程为(χ-2)2+(y-1)2=10；

点。(-1,2)满足(-1-2)2+(2-1)2=10,则D在圆上，

,2