（江苏专用）高考数学大一轮复习 第四章 三角函数 第22课 同角三角函数间基本关系式 文-人教版高三全册数学试题

第22课同角三角函数间基本关系式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16例1改编)已知cosα=，且α∈，那么tanα=.【答案】-【解析】由cosα=，α∈，得sinα=-，所以tanα=-.2.(必修4P18练习4改编)已知tanα=3，且α为第三象限角，那么sinα=.【答案】-【解析】由题意，构造方程组解得sinα=±.因为α是第三象限角，所以sinα=-.3.(必修4P23习题11改编)若tanα=3，则=.【答案】【解析】===.4.(必修4P23习题20改编)若sinα+cosα=，则sin3α+cos3α=.【答案】【解析】sinαcosα=[(sinα+cosα)2-(sin2α+cos2α)]=，则sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=×=.5.(必修4P17例3改编)已知α是第一象限角，那么tanα·=.【答案】1【解析】tanα·=tanα·=·=1.同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：sin2α+cos2α=1.2.商数关系：tanα=.【要点导学】要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值例1(1)已知sinx=，求cosx与tanx的值.(2)已知3sinα=-cosα，求的值.【思维引导】(1)结合同角三角函数关系式直接求解，但是要注意分类讨论.(2)所求式是关于sinα与cosα的齐次式，若将分式的分子、分母同除以cos2α，则所求式用tanα表示，从而求值；也可以用tanα表示sinα，cosα，一般地，关于sinα，cosα的齐次式都可化为关于tanα的函数式.【解答】(1)因为sinx=，所以cosx=±=±=±，当cosx=时，tanx=；当cosx=-时，tanx=-.(2)因为3sinα=-cosα，所以tanα=-，原式===-.【精要点评】(1)已知sinα的值，利用平方关系求cosα的值时，如果α的范围没有确定，cosα的值有两种可能；(2)在求tanα的值时，要分类讨论；(3)在利用齐次式求值时，一定要凑齐次式.【高频考点·题组强化】1.若tanα=2，则=.【答案】【解析】原式==.2.若sinx=2cosx，则sin2x+1=.【答案】【解析】由已知得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x===.3.若cosα+2sinα=-，则tanα=.【答案】2【解析】由将①变形代入②得(sinα+2)2=0，所以sinα=-，cosα=-，所以tanα=2.4.已知tanx=2.(1)求的值；(2)求2sin2x-sinxcosx+cos2x的值.【解答】(1)===.(2)2sin2x-sinxcosx+cos2x===.利用同角三角函数关系化简、证明例2求证：=.【解答】方法一：由cosx≠0，知sinx≠-1，所以1+sinx≠0.于是，左边=====右边，所以原式成立.方法二：因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx·cosx，且1-sinx≠0，cosx≠0，所以=.方法三：因为-===0，所以原式成立.方法四：因为cosx≠0，左边=====右边.所以原式成立.变式化简：.【解答】原式====sinα+cosα.sinθ±cosθ及sinθcosθ的关系问题例3已知0<θ<π，且sinθ+cosθ=-，求tanθ的值.【思维引导】利用sinθ+cosθ的值可以求得sinθcosθ的值，进而可以知道tanθ的值，注意到0<θ<π，因此解题时应特别留意角θ的范围.【解答】因为sinθ+cosθ=-，两边平方得1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=-<0.则sinθcosθ===-，解得tanθ=-或tanθ=-.因为θ∈，所以sinθ>0，cosθ<0.又sinθ+cosθ=-<0，所以|sinθ|<|cosθ|，所以|tanθ|<1，故tanθ=-.【精要点评】本题容易出错，原因在于注意到sinθcosθ=-<0，故tanθ<0.但两解是否都满足条件，还应考虑sinθ+cosθ=-<0，所以得到|sinθ|<|cosθ|，从而得解.本题还可以根据已知条件求sinθ-cosθ的值，然后再求sinθ与cosθ的值，进而求得tanθ的值.变式已知sinαcosα=，且<α<，那么cosα-sinα的值为.【答案】-【解析】因为<α<，所以cosα<sinα，所以cosα-sinα<0.而(cosα-sinα)2=1-2cosαsinα=1-2×=，所以cosα-sinα=-.1.已知α是第二象限角，sinα=，那么cosα=.【答案】-2.若tanα=2，则sinαcosα=.【答案】【解析】sinαcosα===.3.化简：sin2α+cos2αsin2β+cos2αcos2β=.【答案】1【解析】原式=sin2α+cos2α(sin2β+cos2β)=sin2α+cos2α=1.4.设α是第三象限角，若tanα=，则cosα=.【答案】-5.已知sinθ+cosθ=，则sinθ-cosθ的值为.【答案】-【解析】方法一：因为0<θ<，所以cosθ>sinθ，即sinθ-cosθ<0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=，所以2sinθcosθ=，所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-=，所以sinθ-cosθ=-.方法二：因为sinθ+cosθ=，且θ∈，所以θ+，sinθ+cosθ=sin=，即sin=.又cos===，所以sinθ-cosθ=-(cosθ-sinθ)=-cos=-.【融会贯通】融会贯通能力提升已知sinθ，cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根，且<θ<2π，求θ的大小.【思维引导】【规范解答】因为sinθ，cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根，所以…………4分由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，得m2=1+2×，解得m=. ………………6分又因为<θ<2π，所以sinθcosθ=<0，所以m=.………8分所以所以………………12分又因为<θ<2π，所以θ=.……………14分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第43~44页.【检测与评估】第22课同角三角函数间基本关系式一、填空题1.(2015·福建卷)若sinα=-，且α为第四象限角，则tanα的值为.2.已知α是第二象限角，那么-sinα=.3.若α为钝角，且sinα=，则tanα=.4.已知tanα=-2，那么sinα=.5.已知sinα-cosα=，α∈(0，π)，那么tanα=.6.若sinθ=，cosθ=，则m=，tanθ=.7.若α是三角形的内角，且sinα+cosα=，则tanα=.8.化简：=.二、解答题9.已知α是第四象限角，化简：+.10.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个实数根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值，求实数m的值.11.求证：=.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知0<α<，若cosα-sinα=-，求的值.【检测与评估答案】第22课同角三角函数间基本关系式1.-【解析】由sinα=-，且α为第四象限角，得cosα==，则tanα==-.2.03.-【解析】因为α为钝角，且sinα=，所以cosα=，所以tanα=-.4.±【解析】由tanα=-2，得=-2，所以sinα=-2cosα.又sin2α+cos2α=1，所以sin2α+=1，所以sin2α=，所以sinα=±.5.-1【解析】由sinα-cosα=，得1-2sinαcosα=2，所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=0，所以sinα=-cosα，所以tanα=-1.6.0或8-或-【解析】由+=1，得4m2-32m=0，解得m=0或8.当m=0时，sinθ=-，cosθ=，tanθ=-；当m=8时，sinθ=，cosθ=-，tanθ=-.7.-【解析】由sinα+cosα=，及sin2α+cos2α=1，得25sin2α-5sinα-12=0，因为α是三角形的内角，所以sinα=，cosα=-，tanα=-.8.-1【解析】原式=====-1.9.因为α是第四象限角，所以sinα<0，cosα>0.原式=+=+=+=+=-.10.设直角三角形的两个锐角分别为α，β，则有α+β=，所以cosα=sinβ.在方程4x2-2(m+1)x+m=0中，Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0，所以方程恒有两个实数根.又因为cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα·cosβ=sinβ·cosβ=，所以由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2·=，解得m=±.当m=时，经检验满足题意；当m=-时，cosα+co