2023-2024学年高一上数学《三角函数、三角恒等变换、解三角形》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一数学《三角函数、三角恒等变换、解三角形》

选择题（共12小题）

1.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知〃=CoS1,⅛=sin2,c=tan4,则()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

2.（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为生的弧所对的圆心角为三，则该弧所在的扇形

36

面积为（）

A.√3πB.《兀cπdπ

3-⅜-⅜

a

3.（2022•鼓楼区校级三模）若Sina=-3，且a∈（兀，多），则——H=(

52

1+tan-ɪ

A.ɪB.」C.2D.-2

22

4.（2022春•福州期中）已知a为锐角,且sin（a-∙2L）=工，则,cos(-ɪ-a)=()

424

A.ɪB.-ɪC.√3D.-ɔʃɜ-

2222

5.（2021秋•鼓楼区校级期末）已知a-,-ɪ"),tana=3

2J

COS(a+β)=-^~,则tan(a-β)=(

)

5

A.苴B.ɪC.2D.旦

222

6.（2017春•马尾区校级期中）在C中，已知ta玛殳=Sine,则C的形状为（

A.正三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

7.(2016秋•福州月考)己知tan(ɑ-ɪ)=1,则Sina+coSa的值为()

42Sina-CQSa

A.ɪB.2C.2√2D.-2

2

8.(2021秋•鼓楼区校级期中)已知Sin(-2L-+a)=—,则Sin(―∑.+2a)=()

336

A.ɪB.-ɪC.±AD.-A

9999

9.(2022春•仓山区校级期中)在锐角4/8C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,△

ABC的面积为S,若sin(J+C)=—^—,则ta∏C+---------ɪ-------的取值范围()

b2_c22tan(B-C)

第1页（共32页）

A.[√2,^-)B.[√2,3)D.(1,追)

cα

62∙1哈2

10.(2022春•仓山区校级期中)在ANBC中,根据下列条件解三角形，其中有两个解的是

()

A./7=10,4=45°，C=70°B.Q=6，C=8，8=60°

C.a=8,b=16,4=30°D.<7=13,6=16,4=45°

11.（2021秋•鼓楼区校级期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》

中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即aMC的面积

I2222

SK[a2C2_（里+2二2_）],其中α,b,C分别为4/8C的内角N,B,C的对

边，若6=1,且tanC=吟'1，则4N8C的面积的最大值为（）

_l-√2cosB_

A.场B.√2C.近D.√3

22

12.（2022春•马尾区校级月考）已知4/18C的内角4B,C对边分别为a,h,c,若2csinC

=Ca+b）（sin5-sin4）,则当角C取得最大值时，B=（）

A.—B.—C.—D.22L

3623

二.填空题（共4小题）

13∙（2022∙福州模拟）写出一个使等式一Sina兀_F__c。Sa兀=2成立的α的值

Sin（a+ɪ）cos（ɑ-

为.

14.（2021秋•仓山区校级期末）函数/（x）=SinX-2cosx+√^的一个零点是O,则tanθ

15.（2021秋•鼓楼区校级期末）已知Sina-3CoSa=0,则si∏2a+sin2a=.

16.（2021秋•鼓楼区校级期末）若在Xt[0,ɪ]ɪ.有两个不同的实数值满足方程

co≡2x+√3sin2x=⅛+l-则%的取值范围是.

≡.解答题（共5小题）

17.（2020秋•福州期末）已知工<a<π,Sina=2

25

（ɪ）分别求tana,Sin（a÷j;）的值；

（2）若角β终边上一点尸（7,1）,求tan（2a+β）的值.

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18.(2022•鼓楼区校级模拟)记4/8C的内角/,B,C的对边分别为α,h,c,点。在边

ACl.,且满足。8：DA-.OC=2：3：4,Z∖∕8C的面积S=BD∙b∙sιnB

b2

(1)证明：2p=7ac∙,

(2)求COSN4BC.

19.(2022春•马尾区校级月考)在△中，角4,B,C的对边分别是α,b,c,且

b+c=a(V3sinC÷cosC)∙

(1)求角Z；

(2)求SinB+sinC的最大值.

20.(2022•鼓楼区校级三模)已知448C的内角4B,C所对的边分别为α,b,c

・A+B.

bsιn-2~^csιnθ'

(ɪ)求角G

(2)若/8边上的高线长为2√E,求4/8C面积的最小值.

21.(2022春•鼓楼区校级期中)已知4/8C中，角/,B,C所对的边分别为α,b,c,点

。在NC边上，8。为NNBC的角平分线.Se期£3

SZkABD2

(1)求SinNC；

SinNA

(2)若BD=b,求COSN45C的大小.

第3页(共32页)

2023-2024学年高一数学《三角函数、三角恒等变换、解三角形》

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.（2021秋•鼓楼区校级期末）已知α=cosl,b=sin2,c=tan4,贝IJ（）

A.c>b>aB.a>h>cC.h>a>cD.b>c>a

【考点】三角函数线.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】让1与工，2与四，4与且L分别比较即可求解.

444

【解答】解：因为α=coslVCOS2-N^,6=sin2>si∏3无

4242

c=tan4>tanʒ--1,又b<l,

4

所以c>b>a,

故选：A.

【点评】本题考查了三角函数线的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

2.（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为生的弧所对的圆心角为工，则该弧所在的扇形

36

面积为（）

A.√3πB.lπc.2兀D.Aπ

333

【考点】扇形面积公式.

【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】由已知利用弧长公式先求出圆半径，由此能求出这条弧所在的扇形面积.

【解答】解：•••弧长为工的弧所对的圆心角为工，

36

π

-⅞-

.∙.圆半径，•=景=2,

^6^

.∙.这条弧所在的扇形面积为S=Lr=工Xz-X2=工.

2233

故选：B.

【点评】本题考查扇形面积的求法，考查弧长公式、扇形面积等基础知识，考查运算求

第4页（共32页）

解能力，是基础题.

α

3.(2022•鼓楼区校级三模)若Sina=-冬，且a∈(兀，江)，则------>=()

521+tan-y

A.ɪB.二C.2D.-2

22

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

.ɑa

2sin-^-cos-^-

【分析】由已知可得3,可求tan巴=-3,进而可求值.

.2a2Q.

sin∙^^∙+cos52

.aa

2sin-7^-cos-^^∙

【解答】解：Sina=-->可得3

.2a

sin-^~+cos5

a

2tan-^-

所以-----√—二-―,解得tan-⅛-=-3或tan工-=--9

2a

tan"ɪ+15223

又α∈(兀，"),・・.2(ɪ,")，Jtanq=3,

2,2242

α

l-tan-ʒ-

故一⅞-1-(-3)=_2

l+tan-^-1+(-3)

故选：D.

【点评】本题考查二倍角的正弦公式，属中档题.

4.(2022春•福州期中)已知α为锐角，且Sin(a--ɪ)=工，则COS(ɪ--a)=()

424

A.AB.-ɪC.2ZΣD.-ɔʃɪ.

2222

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算.

【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得CoS(ɪ-a)的值.

4

【解答】解：：a为锐角，且Sin(a-ɪ)=工，二a-二为锐角，CoS(a-ɪ)=

4244

JI-Sin2(aT)=亨，

第5页(共32页)

则COS(2I_-α)=cos(a-.2—)=^^_,

442

故选：C.

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题.

5.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知CL,B∈(ɜ-,―),tana=3,

cos(CL+β)则tan(a-0)=()

5

A.心B.AC.2D.H

222

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】运用三角函数的同角公式,可得sin(a+β)的值，结合正切函数的两角差公式，分

别求得tanB、tan(a-β)的值，即可求解.

【解答】W：Vtanα>0,a∈ɪ)

TTJT

∙∙a∈(0,—)>a+β∈(-ɪ,兀))

COS(ɑ.+β)=IS<O,

O

・TT

∙∙a+B∈(ɪ,兀)，

由三角函数的同角公式可得，

sin(a+B)=√l-cos2(O.+β)=J1-(-ʌ^)2二,

Vbb

∙∙tan(a+β)=：+W(-=~=-2»

cos(a+β)j/5_

∙∙.a.∕rf.Orr、_tan(a+B)-tana=-2-3

FnB=tan(a+B-a)=TKKy石记TZ方E

•/ro∖tanɑ-tanβ—3-11

∙∙tan(a邛)XtanCLtanB-

故选：B.

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，需要学生熟练掌握公式，属

于基础题.

6.(2017春•马尾区校级期中)在△48C中，已知ta∏^殳=SinC,贝UaZBC的形状为()

A.正三角形B.等腰三角形

第6页(共32页)

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】解三角形.

【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式求得Sing

_2

=场，可得C=三，故a∕8C的形状为直角三角形.

22

【解答】解：Z∖N8C中，：已知tanA；B=SinO，cot£=sinC,

C

cosy

即------=2si∏A⅛os-.

C22

又COSCWO,.∙.sinC=-1（舍去），或Sin匚=1,

22222

c=2L,.*.Z∖∕BC的形状为直角三角形，

242

故选：C.

【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用,

属于基础题.

7.(2016秋•福州月考)已知tan(ɑ-ɪ)=1,则Sina+cos°的值为()

42Sina-Ce)Sa

A.ɪB.2C.2√2D.-2

2

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.

【专题】计算题：函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】由tan(ɑ-ɪ)=工，求出tana,然后对表达式的分子、分母同除以CoSa,然

42

后代入即可求出表达式的值.

【解答】解：由tan(a-ɪ)=tan0-I=L

41+tanCC2

得tana=3.

则Sina+cosa=ta∏a+1_3+1

Sina-CoSatanɑ-13-l

故选：B.

【点评】本题考查了三角函数的化简求值，注意表达式的分子、分母同除以COSα,是解

题的关键，是基础题.

第7页(共32页)

8.(2021秋•鼓楼区校级期中)已知Sin(-2L-+α)则Sin(-ΞL+2a)=()

336

A.ɪB.-ɪC.±AD.-ɪ

9999

【考点】二倍角的三角函数.

【专题】计算题：转化思想：转化法：三角函数的求值：数学运算.

【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的三角函数公式化简所求即可求解.

【解答】解：因为Sin(2L+a)=1,

33

所以sin(JΞ-+2a)=sin[(2a+-.ʃɛ..)--ZLl=-cos(2a+±.兀.)=-[1-2sin2(a+-ZL.)]

63233

=-(1-2×A)=-ɪ.

99

故选:B.

【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的三角函数公式在三角函数化简求值中的应

用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

9.(2022春•仓山区校级期中)在锐角4/8C中，角N,B,C的对边分别为a,b,c,△

的面积为若

ZBCS,Sin(/+C)=—^—,则tanC+------------------的取值范围()

b,2-C22tan(B-C)

Λ近)

A.[√2,B.[Λ∕2-3)c.d,7ZJ..)D.(1,

6262

【考点】解三角形；正弦定理.

【专题】计算题；整体思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合三角形面积公式和余弦定理即可求出8=2C,根据三角形

是锐角三角形可求C的范围，tanC+--------7一丁化简为tanC∙＜一」，根据双勾函数

2tan(B-C)2tanC

性质即可求其范围.

【解答】解：由Sjn(Ay)=一枳S万'得SinB=—?2S屋即SinB二

-Cb-cb-C

•・,6是三角形内角，Λsin5≠0,.∖h2=c2+ac,

由余弦定理得，b2=a2+c2-2〃CCoS4,

-2ccosB=c,

由正弦定理得，SirL4-2sinCcos^=sinC,

即sin8cosC+cos8sinC-2sinCcos8=sinC,

即Sin^COSC-CoSBSinC=SinG

即Sin(B-C)=sinC,

第8页(共32页)

♦△/BC是锐角三角形,IB-C=C,即B=2C,

,Q<C<^

∙∙.∙0<2C<^..∙,A<c<A,∙∙.tanc∈(亨，1)，

0<π-3C<^

・11

∙^tanct2tan(B-C)≈tanc+2T^C,

根据双勾函数的性质可知，

j

tanC+π→⅛tanC=乐■取最小值企，

2tanC2

且tanC+—^—<1+---ɪɪ,

U2tanC2×12

,tanC∙^-------7一的取值范围是［如，—}■

2tan(B-Cr)LV"

故选：B.

【点评】本题考查了三角形中正余弦定理的应用，属于中档题.

10.(2022春•仓山区校级期中)在4/8C中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是

()

A.b=10,∕=45°,C=70°B.a=6,c=8,8=60°

C.α=8,b=16,4=30°D.a=13,b=16,A=45

【考点】解三角形.

【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】对于/,由/和C,利用三角形内角和定理求出&再由6的值，利用正弦定理

求出。与c,得到此时三角形只有一解，不合题意；

对于8,由α,C及COS8的值，利用余弦定理列出关系式，得到庐，解得三角形只有一

个解，不合题意；

对于C,由正弦定理可得sin5=l,只有一解，三角形唯一确定，不合题意；

对于。，由。，人及SinZ的值，利用正弦定理求出sin8的值，由α小于人得到力小于8,

可得出此时8有两解，符合题意.

【解答】解：对于Z选项，因为N=45°,C=70°,

所以8=65°,又b=10,

所以由正弦定理，一=—^=—^,

sinAsinBsinC

第9页(共32页)

得α=二一孝.,C=IoSin7',

sin65sin65

三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；

对于8选项，因为α=8,C=I6,8=60°,

所以由余弦定理，M⅛2=α2+c2-2accosfi=36+64-48=52,b>0,

三角形三边唯一确定，所以此时三角形有一解，不合题意；

对于C选项，r-=Y-=ITr又α=8,6=16,1=30°，

sinAsinBsinC

可得sin8=l,只有一解，三角形唯一确定，故选项C不合题意；

对于。选项，a=l3,6=16,/=45°，

所以由正弦定理

sinAsinBsinC

得sin5=上Z亚=返_>退__,

13132

因为α<6,所以45°=A<B,45"<5<135o,

所以8有两解，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能

力和转化思想，属于中档题.

II.（2021秋•鼓楼区校级期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》

中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即4N8C的面积

I2222

s^-ɪ［a2C2-+<^---）］-其中b,C分别为BC的内角4B,C的对

边，若6=1,且tanC="ginβ，则4/8C的面积的最大值为（）

_l-√2cosB_

A.亚B.√2C.近D.√3

22

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理.

【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】由已知利用正弦定理可求c=√5",代入“三斜求积”公式即可计算得解.

【解答］解：ItanC=@迎，

tantl√2cosB

第10页（共32页）

.・.sinC—V^SinB,

Ce)SCl-√2cosB

/.sinC=y∕2^inBcosC+y∕2^osBsinC

ΛsinC=√2sin(5+C)=y∕2sinAf

:∙c=Gta,

Vfe=1,

出外2_(^!=G[2a"fA)2]=

・•・〃=«时，A4BC的面积S的最大值为1∙

2

故选：A.

【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

12.(2022春•马尾区校级月考)已知的内角4B,C对边分别为a,h,c,若2csinC

=(α+6)(sin5-siιι4),则当角C取得最大值时，B=()

∖∙----B.—πT

36ɪ

【考点】正弦定理.

【专题】转化思想；转化法；解三角形：数学运算.

【分析】根据题设条件可得2C2=房-02,进一步利用余弦定理及基本不等式可知当COSC

取得最小值近时，角C取得最大值工，止匕时川=3〃2,c1=a2,再利用余弦定理可求得

26

cos3的值，进而得到答案.

【解答】解：V2csinC=(α+⅛)(SinB-SilU),

22

，由正弦定理可得，2<?=(〃+6)Qb-Cl)=b-af

,22

2.,2b-a

Ca2+b2-c2-+b

由余弦定理可得c°sc^2ab-2ab

堂£》述刍旦=Y1,当且仅当接=3次时等号成立，

4ab4ab2

当CoSC取得最小值近时，角C取得最大值工，且此时於=3/，则c2=『,

26

第11页(共32页)

故选：D.

【点评】本题考查正余弦定理与基本不等式的综合运用，考查转化思想及运算求解能力,

属于中档题.

二.填空题(共4小题)

13.(2022•福州模拟)写出一个使等式一Sina兀∣_c。Sa冗=2成立的α的值为

sin(a4-^-)cos(a

工(答案不唯一，a=?LMLAeZ任取一个佰均可)

882

【考点】两角和与差的三角函数.

【专题】计算题：整体思想；综合法；三角函数的求值：数学运算.

【分析】利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到

Sin(2a`tɪ)=Sin(2a∙k∙^~)，由正弦函数性质可确定

2a÷γ+2a+ɪ=(2k+l)π(k∈Z)>由此可解得结果•

【解答】解：V

sin(2CCT)

Sina

冗、?l'π~=2

sin(a+^^)ysin(2d-*-^-)

∙∙sin(2d-tɪ)ɪsin(2Q-tɪ)(

・TT兀/、/一、

∙∙2Ct-t-y+2CL-Hy=(2k+l)K(k∈Z))

解得：a考工兀—(kCZ)，

4o

当《=0时，ahɪ,

8

故使得等式成立的一个a的值为N(答案不唯一).

8

故答案为：占(答案不唯一，只要满足LJrT(kCz)即可)•

【点评】本题考查了二倍角公式，两角和差正弦公式以及三角函数的求值问题，属于中

档题.

14.(2021秋•仓山区校级期末)函数/(x)=SilU•-2COSA∙+的一个零点是。，则tan。=∑.

第12页(共32页)

~2~'

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值：数学运算.

【分析】利用辅助角公式化简/(x)-Λ∕5sin(X+φ)+∖[ζ,其中tanφ=-2,根据已知

及正弦函数的性质可得e=2Aπ-工-φ,Λ∈Z,再利用诱导公式即可求解tanθ的值.

2

【解答】解：f(x)=SinX-2COSX+Λ/^='^Sin(x+φ)+ʧʒ,其中tanφ=-2,

因为函数/(x)的一个零点是。，

所以J"^sin(θ+φ)+J^=0,即sin(θ+φ)=-1,

所以6+φ=2⅛π-JL∙,⅛∈Z,Q=Ikn--21--φ,⅛∈Z.

22

所以tanθ=tan(2⅛π--ZL-φ)=-tan(-2Ξ-+φ)=-----ɪ----=-ɪ,A∈Z,

22tanΦ2

故答案为：-ɪ.

2

【点评】本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础

题.

15.(2021秋•鼓楼区校级期末)已知Sina-3cosα=0,则si/a+sinZa=3.

—2―

【考点】二倍角的三角函数.

【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tana的值，进而利用二倍角的正弦公

式及同角三角函数基本关系式即可求解.

【解答】解:因为Sina-3cosa=0,

所以tana=3,

OO9

则sin2ct+sin2a=四19t2里&铝&..=第2❷+?.怎Rj=.3.+.22S&=1.

Sin2(1+cos?atan?a+132+12

故答案为：3.

2

【点评】本题主要考查了二倍角的正弦公式及同角三角函数基本关系式在三角函数化简

求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

16.(2021秋•鼓楼区校级期末)若在Xe[Q,与]上，有两个不同的实数值满足方程

cos2x+V3si∏2χ-⅛+1＞则左的取值范围是[0,1).

第13页(共32页)

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；三角函数的求值.

【分析】原问题等价于y=sin(2X+2L)与y=X±L的图象有两个不同的交点，由Xq0,

62

当可得2x+2L的范围，数形结合可得.

26

【解答】解：化简可得COS2x+J§sin2x=2sin(2x+H),

6

原问题等价于y=sin(2X+2L)与V=XtL的图象有两个不同的交点，

62

∙.∙χ∈[o,ɪ],:.2X+2LE[—,lɪ],

2666

作出图象可得工≤KiL<ι,解得O≤A∙<I,

22

故答案为：[0,1)

【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及两角和与差的三角函数公式和数形结合

的思想，属中档题.

三.解答题(共5小题)

17.(2020秋•福州期末)已知兀，Sina=鱼

25

(1)分别求tana,sjɪɪ(a∙κ^-)的值；

(2)若角B终边上一点尸(7,1),求tan(2a+β)的值.

【考点】两角和与差的三角函数；任意角的三角函数的定义.

【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算.

【分析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得tana,

sin(a+^-)的值∙

(2)由题意利用利用任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，求得tan(2a+0)

第14页(共32页)

的值.

2

【解答】解：(I)：己知匹<α<7l,Sina=4，∙^∙Cosa=-√i-sina=-ɪ,

255

tana=式门。=-―,

cosa3

Sin(Ct+)=sinaeosɪʃt-eosasin-ɪ=—X-ɪ-+(-ɪ)..

'3'33525210

(2)若角B终边上一点尸(7,1),则tanβ=工，tan2a=^^tanɑ——=&",

71-tan2α7

Λtan(2α+β)=tan2O∙+tanB=7.

l-tan2a∙tanβ

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，属于中档题.

18.(2022•鼓楼区校级模拟)记4/8C的内角/,B,C的对边分别为α,b,c,点。在边

ΛC±,且满足。8：DA：DC=2：3：4,A4BC的面积<=BD∙b∙sinB.

'2

2

(1)证明:Ib=Iaci

(2)求COSN/8C.

【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理.

【专题】方程思想；综合法；解三角形；数学运算.

【分析】(1)不妨设BD=2x,DA=3x,DC=4x,可得x=_l»,8Z>=2fe,再结合三角

77

形面积公式，得证；

(2)分别在AZBO和aBCA中，运用余弦定理表示出cosZADB和COSNBz)C,由2408+

ZBDC-Tt,知COSN4D8+cosN8Z)C=0,代入化简运算，推出α=2c或α=2c,再在△

3

/8C中，利用余弦定理计算CoSNN8C,即可.

【解答】(1)证明：由。5：DAtOC=2：3：4,可设8C=2x,D4=3x,OC=4x,

所以？IC=ZM+OC=7x=b,即x=∙l⅛,

7

所以坨=区=2,即BO=%C=

AC7x777

因为C的面积s=BD∙b∙sinB=LCSin8,

22

所以8。=总£，

b

故2⅛=3≤∙,即如2=7".

7b

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p

222222

(2)解：在a∕8O中，由余弦定理知，cos4D8=AD+B[=蛆_=9X+4x-C

2AD∙BD2∙3x∙2x

22

同理可得，COSN8。C=

16X23

因为NZO8+/8DC=n,

2222

所以CoSNZDB+cosZBDC=0,即.UW二£—+20I_二5_=θ,

12X216X2

所以3t∕2+4c2=112χ2=a⅛2=J^∙7ac=8℃,

772

所以(34-2c)Ca-2c)=0,即a=∙‰或α=2c,

3

由(1)2h2=Iac,所以。2=3)2或/=L2,

77

在4/8C中，由余弦定理知，Ct)SNABC=a2+c"b2=上1£匕@二叱=

当a=&,即,2=邑2时，cosZΛBC=2

3

综上所述，CoSNASC=-Zgit-ɪ,

32

【点评】本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握三角形面积公式，余弦定理是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

19.（2022春•马尾区校级月考）在△中，角4,B,C的对边分别是α,b,c,且

b+c=a（V3sinC+cosC）∙

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(I)求角/；

(2)求SirL8+sinC的最大值.

【考点】正弦定理.

【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑

推理；数学运算.

【分析】(1)直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换求出4的值;

(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.

【解答】解：(1)由正弦定理.a=b=.c.

sinAsinBsinC

WsinB÷sinC=sinAcosC-V3SinAsinC-

又sim?=Sin(J+C)=SinJCOSC+cos力SinG

所以CoSASinC+sinC=V^SinASinC，

又sinC≠O,

所以CoSA+I=EsinA,

利用三角函数关系式的变换，ʌ/ɜsinA-cosA=L

sin(A∙^τ~)=57