解三角形-2023年高考数学一轮复习（全国通用）（解析版）

考向16解三角形

1.12022年甲卷理科卷第11题】将函数f(x)=sin5-0)的图像向左平移、个单位长度后得到

曲线C,若C关于y轴对称，则。的最小值是()

1

A

6-B.-C.-

43

【答案】C

【解析】记g(x)为/(X)向左平移/个单位后得到的曲线，则g(x)=∕[x+mJ=sin[s+W3+(J由

^rrJrJr∖I

g(x)关于Y轴对称，可得：一口+—=版■+—,kez,故有＜y=-+2k,所以0的最小值为一.选C.

,23233

AC

2.【2022年浙江卷】16.已知aABC中，点。在边BC上，NAoB=I20。，AD=2,CD=IBD.当——

AB

取得最小值时，BD=.

【答案】√3-l

【解析】令BO=r,以。为坐标原点，DC为X轴建立直角坐标系，则C(2t,0),A(l,右)，B(-r,O),

提PJ""

t+∖

当且仅当，+1=百,即戍)=G-1时取等号.

3.【2022年北京卷第16题】在ΔA3C中，sin2C=∙ΛsinC.

(1)求NC

(2)若/?=6,且ΔABC的面积为6百，求AABC的周长。

【答案】(1)-(2)66+6

6

∕ξ

【解答】(I)Sin2C=√5sinC2sinCcosC=√3sinCcosC=-NC=土。

，*ɔA

(2)SΔ4SC=66.∙.ifl⅛sinC=6√3«=4√3,由余弦定理得dCoSC

c=2√3所以ΔABC的周长为64+6

，•

4.【2022年乙卷理科第17题】17.(12分)

记ΔABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

sinCSin(A-B)=sinBSin(C-A).

(1)证明：2a2=b2+c2;

?5

(2)若α=5,cosA=—,求ΔABC的周长.

【答案】⑴见证明过程；(2)14；

［解析】L已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)可化简为

sinCsinAcosB-SinCcosAsinβ=sinβsinC∞sΛ-sinBcosCsinA,

山正弦定理可得(7rcosB—hecosA=hecosA—«Z?cosC,即accosB=2Z?ccosA—ahcosC,由余弦定理可得

b2+c2

aca2+c2-b2=2bc-ʃ-ab^^-即证2/=62+C?,

2ac2bc2ab

.I.∙L7h~+c~_er50_252525.

(2)由(zι1x)可J知从+/7=2.29=50，CoSA=---------------=----------=——=——，.∖2bc=31

2bc2bc2bc31f

Z?2÷c2÷2bc=(b+c)2=81,.∖h+c=9,.∖a+h+c=∖4,AABC的周长为14

5.【2022年乙卷文科第17题】记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinCSin(A—B)=sinβsin(C—A).

(1)若A=2B,求C;

(2)证明：2a2=b2+c2.

【答案】(1)—;(2)略.

8

【解析】(1)解：因为A=28,A+3+C=τt

所以A-B=B,π-C=A+B=3BfC-A=π-2A-B=π-5B

所以sin(A-B)=SinB,sinC=sin38,sin(C-A)=Sin53

代入sinCsin(A一B)=sinBSin(C-A)中得sin3B=Sin53

X0<B<-,所以33+58=兀，所以8=工，所以C=兀-38=2

288

(2)证明:因为sinCsin(A-B)=sinBSin(C-A)

所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA)

所以sinA(sinCcosB+cosCsinB)=2sinBsinCcosA

所以sinAsin(B÷C)=2sinBsinCcosA,又sin(B+C)=sinA

所以sin?A=2sinBsinCcosA

由正弦定理得=2ftccosA①

又由余弦定理得/=62+/-2^CCOSA,所以6+H-片=2⅛ccosA②

由①@得〃*一a?=/,所以2储=从+/.

证法2：因为SinCSin(A-B)=sinβsin(C-A)

所以sin(A+3)Sin(A-B)=sin(C+A)Sin(C-A)

乂Sin(A+5)Sin(A-B)=Sin2Acos2B-cos2Asin2B

=sin2A(l-sin2B)-(l-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B

同理sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2所以sin?A-sin?3=sir?C-siɪ?A

由正弦定理得a2-b2=C2-a2^2a1=h2+C2

6.【2022年新高考1卷第18题】记AABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,已知

cosA_sin2B

1+sinAl+cos2S

兀

(1)若C=巧2,求5；

3

(2)求之殳的最小值.

C

【答案】(I)B=-(2)4√2-5

6

【解析】(1)由己知条件得：sin2B+sinAsin2B=cosA+cosAcos2B

sin2B=cosA+cosA∞s2B—sinAsin2B=cosA+cos(A+28)

=cos[ττ—(8+C?)]+CoSm-(B+C)+28]=—CoS(8+C)+COSm+(B—C,)]

=—2cosBcosC

所以2sinBcosB=-2cosBcosC,即(sinB÷cosC)∞sB=O,

JT

由已知条件：1+COS23W0,则Bw—,可得cos3wO,

2

1TT

所以sin8=-cosC=-,B=—.

26

JTTT

(2)由(1)知SinB=—CoSc>0,贝IJB=C——，sinB=sin(C——)=-cosC,

22

π

sinA=sin(B+C)=sin(2C--)=-cos2C,

a2+b2sin2A+sin2Bcos22C÷cos2C(1-2sin2C)2+(1-sin2C)

由正弦定理

sin2Csin2Csin2C

2+4sin4C-5sin2C2

+4sin2C-5

sin2C

..2.1——∙4sin2C-5=4√2-5,

Vsin2C

当且仅当sin?。=弓时等号成立’所以学的最小值为4血-5.

7.【2022年新高考2卷第18题】记448C的三个内角分别为4、B、C,其对边分别为〃，b,。，分别

以“，b,，为边长的三个正三角形的面积依次为4,52,S3,已知S∣-S2+S3=当,SinB=L

3

(1)求AABC的面积；

(2)若SinASinC="，求b.

3

【答案】(I)—；(2)ɪ

82

【解析】(1)Q边长为。的正三角形的面积为且

4

2

51-S2+S3-b?+c)=-ɪ-,即accosB=l,

由sin3=1得：COSJB2√213√2

334

gC_1,0」3夜1_&

SΔABC=2aCSinS=2X~4~X3=~8~

3&

b2ɪ-931

(2)由正弦定理得:故b=—SinB=—.

sin2BSinAsinCsinAsinC∖∣2422

3

8.【2022年浙江卷第18题】在ΔΛ8C中，角A8,C的对边分别为α,b,c,已知44=√^c,cosC=-

5

(I)求SinA的值;

(II)若6=11,求ΔA8C的面积.

【答案】(I)(H)22.

ι4

【解析】(D由于cosC=-t,且C是三角形的内角，则SinC=

55

由正弦定理知4sinΛ=T5sinC,则sinA=—sinC=—

45

/+121-3/II-Y

2,223

3)由余弦定理，得°。SC=F^_________5___=5

22a2a5

即“2+6α-55=0,解得α=5.

114

所以AABC的面积S=-absinC=-×5×↑∖×-=22.

225

份法就ɔ

1.解三角形的常见题型及求解方法

(1)已知两角A,B与一边a,由A+B+C=兀及篇=磊=U7,可先求出角C及4

再求出c.

(2)已知两边Z?,C及其夹角A,由/=^2+,,2-2。CCOSA,先求出”,再求出角8,C.

(3)已知三边α,b,c,由余弦定理可求出角A,B,C.

ah

(4)已知两边α,匕及其中一边的对角A,由正弦定理器2^=忑F可求出另一边人的对角8,

ɔlɪɪ/1ɔɪlɪLJ

由C=π-(A+B),可求出角C,再由白=舟可求出c,而通过；⅛=白求角B时，可

Sl∏/1Sl∏VSinZiSl∏D

能有一解或两解或无解的情况.

2.求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或

该角的两边之积，代入公式求面积.

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积.总

之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

3.已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.

(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.

4.判定三角形形状的两种常用途径

恒

代数

通过

边，

角为

理化

弦定

、余

定理

正弦

判;通过

角化边

判断

进行

关系

间的

边之

边与

求出

换，

定一;等变

__________

___________

___________

___________

__________

__________

__________

__________

__________

途I_______

变

三角

,利用

为角

化边

定理

、余弦

定理

正弦

径，通过

角

边化

断

行判

系进

的关

之间

内角

角形

出三

;换得

意点

状的注

形的形

定三角

5.判

形过程

，在变

.另外

条件

隐含

挖掘

注重

一，并

是否唯

注意解

一定要

形状时

形的

三角

在判断

,

公因式

要约去

两边不

，一般

形中

式变

，在等

的影响

函数值

对三角

的范围

B,C

角A,

注意

中要

.

免漏解

，以

因式

取公

项提

应移

结论

I常用

/

r

定理

内角和

三角形

1.

C

兀

A+B

=

~2,

2

：